Relatorio de Calculo Numérico
Briot Ruffini Horner
Rafael Saraiva Carvalho, Vitor Queiroz, Maykom Douglas, Alexandre Oliveira
Fundação Universidade Federal de Rondônia, Núcleo de Ciência e Tecnologia, Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
Bacharelado em Engenharia Elétrica - 6𝑜Período - Disciplina Cálculo Numérico
Resumo—Este relatório visa demonstrar a construçao do
algoritimo de Briot Ruffini Horner, por meio da utilizaçao do
software Matlab.
Index Terms—Ruffini, raízes, polinômios.
I. IN TRO DUÇ ÃO
OAlgoritmo de Briot Ruffini Horner é usado para calcular
as raízes reais de um polinômigo 𝑃(𝑥)de grau 𝑛e𝑃′(𝑥)
com um menor número de operações. Escrevendo 𝑃(𝑥)da
seguinte maneira (vamos considerar 𝑛= 4.)
𝑃(𝑥) = 𝑎4𝑥4+𝑎3𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0(1)
𝑃(𝑥) = (((𝑎4𝑥+𝑎3)𝑥+𝑎2)𝑥+𝑎1)𝑥+𝑎0(2)
Assim gastamos apenas 4𝜇+ 4𝛼. Dessa forma para um
polinômio geral de grau 𝑛temos o seguinte algoritmo, dados
𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, ..., 𝑎0calcular 𝑏𝑛, 𝑏𝑛−1, ..., 𝑏0, de acordo com:
𝑏𝑛=𝑎𝑛, 𝑏𝑛−𝑘=𝑥𝑏𝑛−𝑘+1 +𝑎𝑛−𝑘, 𝑘 = 1,2, ..., 𝑛 (3)
Com isso 𝑃(𝑥) = 𝑏0, e 𝑥é raiz de 𝑃(𝑥)se e somente
se, 𝑏0= 0. Repetindo Esta operação nós temos que dados
𝑏𝑛, 𝑏𝑛−1, ..., 𝑏0calcular 𝑐𝑛, 𝑐𝑛−1, ..., 𝑐0de acordo com:
𝑐𝑛=𝑏𝑛, 𝑐𝑛−𝑘=𝑥𝑐𝑛−𝑘+1 +𝑏𝑛−𝑘, 𝑘 = 1,2, ..., 𝑛 −1(4)
Portanto 𝑃′(𝑥) = 𝑐1. A figura 1 demonstra o algoritimo de
Briot Ruffini Horner:
Figura 1. Briot Ruffini Horner
É possível notar que o esquema prático acima quando
utilizado para calcular apenas o valor do polinômio num ponto
é o conhecido algoritmo de Briot-Ruffini. O esquema de Briot-
Ruffini-Horner, na verdade, fornece o valor de 𝑃′(𝑥)
1! , e pode
ser continuado para obtenção de 𝑃′′(𝑥)
2! ,𝑃′′′(𝑥)
3! , etc.
Portanto, quando f(x) é um polinômio, o método de Newton
pode ser expresso por:
𝑥𝑘+1 =𝑥𝑘−
𝑏0(𝑥𝑘)
𝑐1(𝑥𝑘)(5)
Sendo 𝑧um zero de 𝑃(𝑥). Se 𝑃(𝑧)= 0 então 𝑏0= 0. Então,
os números 𝑏𝑛, 𝑏𝑛−1, ..., 𝑏1são coeficientes do polinômio
𝑄(𝑥), obtido da divisão de 𝑃(𝑥)pelo fator linear 𝑥−𝑧, isto
é:
𝑄(𝑥) = 𝑏𝑛𝑥𝑛−1+𝑏𝑛−1𝑥𝑛−2+... +𝑏1=𝑃(𝑥)
𝑥−𝑧(6)
ou seja:
𝑃(𝑥)=(𝑥−𝑧)𝑄(𝑥)(7)
Assim pode-se determinar as outras raízes de 𝑃(𝑥)usando
𝑄(𝑥), este processo é chamado de Deflação.
II. O BJE TIV OS
Determinar as raizes de um polinômio de grau 𝑛com poucas
operações.
III. MÉTO DO
O alogoritmo de Horner em matlab seguiu essa forma:
1. clear;clc
2. c=input(’entre com o número de coeficientes
do polinomio = ’)
3. p=input(’defina o polinoimio = ’)
4. z=input(’chute inicial = ’)
5. n=c;
6. e=input(’defina a tolerância = ’)
As primeiras 6 linhas são os parâmetros de entrada do algo-
ritmo. 𝐶𝑙𝑒𝑎𝑟, 𝑐𝑙𝑐 é usado para limpar a área de trabalho e a tela
de comandos do matlab respectivamente. As variáveis 𝑐,𝑝e𝑧
são ,respectivamente, o número de coeficientes, o polinômio
em si e uma aproximação da raíz dp polinômio definidos pelo
usuário. A variável 𝑐assume o valor de 𝑛, que será necessária
a outro passo do algoritmo. A variável 𝑒na linha 6 é o erro
a ser utilizado.
7. for c=1:c
8. eval([’a’,int2str(c) ’=p(1,c);’])
9. end
