Baixe Cabral exercicios e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Curso de Cál ulo de Uma Variável (Somente a Lista de Exer í ios)
Segunda Edição V2. Outubro de 2011
Mar o Aurélio Palumbo Cabral PhD Indiana University EUA Professor do Instituto de Matemáti a Universidade Federal do Rio de Janeiro
Departamento de Matemáti a Apli ada Instituto de Matemáti a Universidade Federal do Rio de Janeiro Rio de Janeiro - Brasil
Cópias são autorizadas e b em vindas: divulgue nosso trabalho! Consulte o sítio www.labma.ufrj.br/~m abral/l ivro s ou entre em ontato om o autor em map abral(at)ufrj(dot)br.
ii
- 1 Enun iados dos Exer í ios
- 1.1 Exer í ios de Limite
- 1.1.1 Exer í ios de Fixação
- 1.1.2 Problemas
- 1.1.3 Extras
- 1.1.4 Desa os
- 1.2 Exer í ios de Continuidade
- 1.2.1 Exer í ios de Fixação
- 1.2.2 Problemas
- 1.2.3 Extras
- 1.2.4 Desa os
- 1.3 Exer í ios de Derivada
- 1.3.1 Exer í ios de Fixação
- 1.3.2 Problemas
- 1.3.3 Extras
- 1.3.4 Desa os
- 1.4 Exer í ios de Apli ação de Derivada
- 1.4.1 Exer í ios de Fixação
- 1.4.2 Problemas
- 1.4.3 Extras
- 1.4.4 ⋆Problemas (Taxas Rela ionadas)
- 1.4.5 ⋆Problemas (Derivação Implí ita)
- 1.4.6 Desa os
- 1.5 Exer í ios de Integral
- 1.5.1 Exer í ios de Fixação
- 1.5.2 Problemas
- 1.5.3 Extras
- 1.5.4 ⋆Problemas (Integração e Substituição Trigonométri a)
- 1.5.5 ⋆Problemas (Integração de Funçõ es Ra ionais)
- 1.5.6 Desa os
- 1.6 Exer í ios de Apli açõ es da Integral
- 1.6.1 Exer í ios de Fixação
- 1.6.2 Problemas
- 1.6.3 Extras
- 1.6.4 ⋆Problemas (Comprimento de Curvas no Plano)
- 1.6.5 ⋆Problemas (Área de Sup erfí ie de Sólido de Revolução)
- 1.6.6 Desa os
- 2 Resp ostas dos Exer í ios iv SUMÁRIO
- 2.1 Limite
- 2.1.1 Exer í ios de Fixação
- 2.1.2 Problemas
- 2.1.3 Extras
- 2.1.4 Desa os
- 2.2 Continuidade
- 2.2.1 Exer í ios de Fixação
- 2.2.2 Problemas
- 2.2.3 Extras
- 2.2.4 Desa os
- 2.3 Derivada
- 2.3.1 Exer í ios de Fixação
- 2.3.2 Problemas
- 2.3.3 Extras
- 2.3.4 Desa os
- 2.4 Apli ação de Derivada
- 2.4.1 Exer í ios de Fixação
- 2.4.2 Problemas
- 2.4.3 Extras
- 2.4.4 ⋆Problemas (Taxas Rela ionadas)
- 2.4.5 ⋆Problemas (Derivação Implí ita)
- 2.4.6 Desa os
- 2.5 Integral
- 2.5.1 Exer í ios de Fixação
- 2.5.2 Problemas
- 2.5.3 Extras
- 2.5.4 ⋆Problemas (Integração e Substituição Trigonométri a)
- 2.5.5 ⋆Problemas (Integração de Funçõ es Ra ionais)
- 2.5.6 Desa os
- 2.6 Apli açõ es da Integral
- 2.6.1 Exer í ios de Fixação
- 2.6.2 Problemas
- 2.6.3 Extras
- 2.6.4 ⋆Problemas (Comprimento de Curvas no Plano)
- 2.6.5 ⋆Problemas (Área de Sup erfí ie de Sólido de Revolução)
- 2.6.6 Desa os
Cap´ıtulo 1
Enunciados dos Exerc´ıcios
1.1 Exer í ios de Limite
1.1.1 Exer í ios de Fixação
Exer í io 1. Considere o grá o de y = f (x) esb o çada no grá o abaixo. Determine os limites abaixo. Caso algum não exista, determine os limites laterais. (a) lim x→a
f (x); (b) lim x→b
f (x); ( ) lim x→c
f (x).
x
y
a (^) b c
5
6
3
1
Exer í io 2. Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um ontraexemplo ou orrija. Se for verdadeiro justi que. (a) {x ∈ R; |x − 3 | ≤ 2 } = [1, 5]. (b) {x ∈ R; |x + 2| < 1 } = (1, 3). ( )
√ x^2 = x para to do x ∈ R.
(d) se g(x) =
{ 4; x 6 = 2; π; x = 2
, então (^) xlim→ 2 g(x) = g(2) = π.
Exer í io 3. Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um ontraexemplo ou orrija. Se for verdadeiro justi que. (a) Se lim x→ 3 +^
f (x) = 5, então e lim x→ 3 f (x) = 5. (b) Se (^) xlim→ 2 f (x) = 4, então e lim x→ 2 −^
f (x) = − 4.
(^0) 09.set.
1.1. EXERCÍCIOS DE LIMITE 3
Exer í io 12. Determine os limites:
(a) (^) x→lim+∞
x √ x^2 + 1
; (b) (^) x→lim+∞
( x +
1 x
) ; ( ) (^) x→lim+∞
1 + 6x x − 2
(d) (^) x→−∞lim
2 x − x^2 3 x + 5
; (e) (^) x→lim+∞
2 x^3 − 4 5 x + 3
; (f ) (^) x→−∞lim
7 x^3 − 15 x^2 13 x
(g) (^) x→−∞lim
3 x^5 + x − 1 x^5 − 7
(h) (^) x→lim+∞
3 x^3 + 2x^4 + 5x^5 − 1 4 x^5 − 3 x^4 − 2 x^2 + x + 3
; (i) (^) x→lim+∞
5 x^10 − 3 x^7 + 9x^6 − 12 x^2 − x + 1 x^9 − 7 x^2 − 21
Exer í io 13. Complete as la unas om p o de/não p o de: (a) A assíntota verti al do grá o de y = f (x) inter eptar o grá o de f. (b) A assíntota horizontal do grá o de y = g(x) inter eptar o grá o de g.
Exer í io 14. Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um ontraexemplo ou orrija. Se for verdadeiro justi que. Se (^) xlim→ 1 q(x) = 0, então
(a) (^) xlim→ 1
3 q(x)
= +∞; (b) lim x→ 1
q(x) f (x)
= 0; ( ) lim x→ 1
q(x) −x^2
Exer í io 15. Qual das Figuras abaixo p o de representar o grá o de uma função g tal que:
(i) (^) xlim→∞ g(x) = 1 (ii) (^) x→−∞lim g(x) = − 1 (iii) lim x→ 1 +^
g(x) = +∞ (iv) lim x→ 1 −^
g(x) = −∞.
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
-1 1 x
y
-1 1 x
y
-1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
1 1 x
y
(a) (b) ( ) (d)
Exer í io 16. Faça um esb o ço de um grá o de uma função f tal que lim x→ 1 −^
f (x) = 2,
f (1) = 1 e, além disso (um grá o para ada item): (a) lim x→ 1 +^
f (x) = − 2 , (b) lim x→ 1 +^
f (x) não exista, ( ) lim x→ 1 +^
f (x) = +∞,
Exer í io 17. Determine os limites:
(a) (^) xlim→ 0
√ |x| sen(1/x); (b) lim h→ 0
sen(3h) h
; ( ) (^) x→lim+∞(1 + 1/x)^5 x; (d) lim x→π/ 2 +^
tan(x); (e) lim x→ 0 +
(1 − 2 x)^1 /x.
Exer í io 18. Estude o Teorema 4 da p.33 (Sanduí he) e resp onda: (a) É verdade que se 1 ≤ g(x) ≤ 2 então lim x→ 3 / 2
g(x) existe e é um número entre 1 e 2?
(b) Explique, utilizando o Teorema do Sanduí he, omo al ular lim x→+∞
cos(
√ x^2 + 1) x^2
4 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DOS EXERCÍCIOS
1.1.2 Problemas
Problema 1. Esb o e o grá o das seguintes funçõ es:
(a) f (x) =
{ −
√ 9 − x^2 ; |x| ≤ 3 |x| − 3; |x| > 3.
(b) f (x) =
{√ x − 1; x ≥ 1; log(x) + 1; x < 1.
Problema 2. Considere a função IZ ( hamada de função ara terísti a ou indi adora do
onjunto Z) de nida p or IZ(x) =
{ 0; x 6 ∈ Z 1; x ∈ Z.
Esb o e o grá o e determine (se existir):
(a) lim x→ 3 / 4
IZ(x); (b) (^) xlim→− 3 IZ(x); ( ) (^) x→lim+∞ IZ(x).
Problema 3. Cal ule os limites abaixo (quando eles existirem) justi ando seus passos (sem utilizar a regra de L'Hospital) Limites om raízes:
(a) (^) hlim→ 0
√ 1 + h −
√ 1 − h h
(b) (^) xlim→ 4
|x| − 4 √ x − 2
; ( ) (^) hlim→− 1
√ h^2 + 3 − 2 h + 1
;
Problema 4. Determine os limites e, aso não exista, os limites laterais ( aso existam).
(a) (^) xlim→− 3 sen
( 7 x + 3
) ; (b) (^) xlim→ 2 log |x − 2 |;
( ) lim x→ 2
|x − 2 |(x + 1) x − 2
; (d) (^) xlim→− 5
x + 3 x + 5
Problema 5. Cal ule os limites abaixo (quando eles existirem) justi ando seus passos (sem utilizar a regra de L'Hospital):
(a) lim x→ 2 −
x x^2 − 4
; (b) lim x→ 1 +
x + 3 1 − x
( ) lim x→ 0
( 1 x
−
1 x^2
) ; (d) lim x→ 2 −
|x − 2 | x^2 − 5 x + 6
(e) (^) xlim→− 2
x + 2 |x| − 2
; (f ) lim a→ 2
(a − 2)(a^2 − 4) a^3 − 5 a^2 + 8a − 4
; (g) lim x→ 2
x^2 − 3 x + 2 x^2 − 3 x + 5
(h) lim x→ 1
x^3 − x x^2 − 3 x + 2
; (i) lim x→ 2
x^2 + 3x − 1 x^2 + 2x − 1
; (j) lim x→ 1
x + 1 − (^2) x x − 1
(k) (^) xlim→− 1
x^2 + 2x + 1 x + 1
(l) (^) xlim→− 1
x^3 + 1 x + 1
; (m) (^) xlim→ 1
2 x^2 − 3 x + 1 x − 1
;
Problema 6. Cal ule os limites abaixo (quando eles existirem) justi ando seus passos (sem utilizar a regra de L'Hospital) Limites no in nito:
(a) (^) x→−∞lim
√ x^2 + 1 x + 1
; (b) (^) y→lim+∞ √^7 −^2 y 5 − 2 y + 9y^2
; ( ) (^) x→lim+∞
√ 10 x^4 + 3x^3 + 2x + 5 5 x^2 − 10 x − 100
(d) (^) x→lim+∞
√ x^2 + 1 √ x + 1
; (e) (^) y→−∞lim
5 − 3 y^3 √ 8 − y + 10y^4
; (f ) (^) x→−∞lim sen
(√ 16 x^6 − x + 1 2 x^3 − x^2 + 20
) .
Problema 7. Considere a, b ∈ R e c > 0. Determine os limites:
(a) (^) xlim→ 0 (1+ax)b/x; (b) (^) x→−∞lim
(√ cx^2 + a −
√ cx^2 + b
) ; ( ) (^) x→lim+∞
(√ cx^2 + ax − bx
) ;
6 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DOS EXERCÍCIOS
(d) lim h→ 0 +
sen(
√ h) tan(
√ h) 5 h
; (e) (^) xlim→ 1 sen
( 7 x + 1 sen(πx/2) − 1
) (ex−^1 − 1);
(f ) lim h→ 0 +
(1 − 5 h^3 )^2 /h
3 ; (g) (^) xlim→π
sen x x − π
; (h) lim x→ 0
sen x |x|
1.1.3 Extras
Extra 1. Partindo de grá o de funçõ es simples (±x^2 , ± 1 /x, ± 1 /x^2 ,
√ x, sen(x), |x|), utili- zando translaçõ es verti ais e/ou horizontais e/ou re exõ es, esb o e o grá o de: (a) y = | sen(x)| − 1 ; (b) y = ||x| − 1 |; ( ) y = |x + 2| − 1.
Extra 2. Faça um esb o ço de um grá o de uma função f tal que, simultaneamente:
x→−∞lim f^ (x) = 4,^ x→lim+∞ f^ (x) =^ −∞,^ lim x→ 1 −^
f (x) = −∞, f (1) = 1, lim x→ 1 +^
f (x) = − 2.
Extra 3. Determine (^) xlim→ 0
sengr(x) x
, onde sengr é a função seno do ângulo x medido em graus.
Note que para a função seno utilizada em ál ulo, o ângulo é medido em radianos.
Extra 4. Esb o e o grá o de: (a) y = x + |x|; (b) x − ⌊x⌋.
Extra 5. Determine os limites:
(a) lim x→ 1
|x| − 1 |x − 1 |
; (b) (^) xlim→ 1
x^3 + 1 (x − 1)^2
; ( ) (^) xlim→ 2
x^2 + 2x x^3 − x
; (d) (^) xlim→π cos
( 1 x − π
) (x − π).
Extra 6. Determine os limites:
(a) lim x→+∞
(√ x^4 + x − x^2
) ; (b) lim x→+∞
2 x + |x| x + 1
; ( ) lim x→−∞
2 x + |x| x + 1
(d) (^) x→−∞lim
x + 1 x + |x| + 1
Extra 7. Considere a ∈ R. Determine os limites: (a) (^) x→lim+∞
(√ x + a −
√ x
) ; (b) (^) x→lim+∞
(√ x^2 + a − x
) .
Extra 8. Esb o e o grá o das seguintes funçõ es:
(a) f (x) =
{ 1; x ∈ Q; 2; x 6 ∈ Q
; (b) g(x) =
{ x; x ∈ Q; x^2 ; x 6 ∈ Q
1.1. EXERCÍCIOS DE LIMITE 7
1.1.4 Desa os
Desa o 1. A função parte inteira de x, denotada p or ⌊x⌋ é de nida na p. 12.
(a) Cal ule, se existir: (^) xlim→∞ x
⌊ 1 x
⌋
. (b) Cal ule, se existir: (^) x→−∞lim x
⌊ 1 x
⌋ .
( ) Esb o e o grá o de f (x) = x
⌊ 1 x
⌋
. (d) Cal ule, se existir: lim x→ 0 x
⌊ 1 x
⌋ .
Desa o 2. Determine: (a) lim x→+∞
(ex^ + x)^1 /x. (b) lim x→+∞
(1 + x)α/^ log^ x, om α 6 = 0.
Desa o 3. Como al ular assíntotas oblíquas e generalizaçõ es? Dividindo os p olin mios e separando em quo iente e resto. Assim,
x^2 − 3 x + 2 x − 1
= q(x) +
r x − 1
. Para x grande,
x^2 − 3 x + 2 x − 1
≈ q(x), sua assíntota
oblíqua. Plote uns grá os para ver omo de fato se pare em. O mesmo o orre quando a diferença entre os graus do numerador e denominador é maior que 1.
Desa o 4. Determine lim x→ 0 +
1 x sen(1/x)
. Tente esb o çar o grá o p erto do zero desta função.
Utilize algum software para isso.
Desa o 5. (Cari atura de sen(1/x) do livro do Spivak de Cál ulo) Esb o e o grá o da função f que satisfaz: (i) f (1/n) = (−1)(n+1), (ii) f é linear entre [1/(n + 1), 1 /n] (segmento de reta), (iii) f (x) = 1 para x > 1 , (iv) f (−x) = f (x).
Desa o 6. Prove que a área do ír ulo de raio r é πr^2 seguindo o seguinte roteiro:
(a) Mostre que a área do p olígono de n-lados ins rito no ír ulo é
n 2
r^2 sen(2π/n). (b) Mostre que a área do p olígono de n-lados ir uns rito no ír ulo é nr^2 tan(π/n). ( ) Faça n → +∞ e on lua o argumento.
Desa o 7. Sejam f e g duas funçõ es tais que |f (x)| ≤ M para to do x ∈ R e (^) xlim→ 1 g(x) = 0.
Mostre que
xlim→ 1 f^ (x)g(x) = 0.
Desa o 8. Objetivo desta atividade é aproximar a função fatorial. É fá il ver que ( ¨⌣)
n! =
( 1 2
) ( 2 3
) 2 ( 3 4
) 3 ( 4 5
) 4 · · ·
( n − 1 n
)n− 1 nn.
1.2. EXERCÍCIOS DE CONTINUIDADE 9
x
y
A B C D
Exer í io 3. Considere as funçõ es abaixo:
(I) f (x) =
{ x; x < 0; 0; x ≥ 0;
(I I) g(x) =
{ x; x < 0; 1; x ≥ 0;
(I I I) h(x) =
{ 5; x ≥ −2; 4; x < −2; Determine se são ontínuas em: (a) R; (b) (− 2 , 0); ( ) [− 2 , 0].
Exer í io 4. Esb o e o grá o de uma função ontínua ujos p ontos de des ontinuidade (úni os p ontos onde a função não é ontínua) são: (a) { 1 , 2 , 3 }; (b) N = { 1 , 2 ,.. .}.
Exer í io 5. Determine um valor para k ∈ R, se for p ossível, de mo do que a função seja ontínua em R.
(a) f (x) =
1 x
; x 6 = 0; k; x = 0;
(b) f (x) =
1 x^2
; x 6 = 0; k; x = 0;
( ) f (x) =
{ x sen
( (^1) x
) ; x 6 = 0; k; x = 0;
Exer í io 6. Seja f uma função ontínua em [1, 4] tal que f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = − 1 e f (4) = 2. Determine se é Verdadeiro (provando a a rmativa) ou Falso (dando um ontraexemplo): (a) f não tem raiz em [1, 2]; (b) f tem p elo menos duas raízes em [1, 4]; ( ) f tem exatamente uma raiz em [2, 3].
Exer í io 7. Determine se é Verdadeiro (provando a a rmativa) ou Falso (dando um ontra- exemplo): (a) a função que representa o número de habitantes de uma idade em função do temp o é ontínua em to dos os p ontos; (b) a função que representa a altura de uma p essoa em função do temp o é ontínua em to dos os p ontos;
Exer í io 8. Estude o Teorema 10 da p.53 (TVI) e determine se é Verdadeiro (provando a a rmativa) ou Falso (dando um ontraexemplo): (a) se f é ontínua om f (0) > 0 e f (1) > 0 , então f (x) > 0 para to do x ∈ [0, 1]; (b) Se f (1) < 0 < f (2), então f p ossui raiz em [0, 1].
Exer í io 9. Estude o Teorema 10 da p.53 (TVI). Considere f : [− 3 , −1] → R ontínua om f (−3) = 5 e f (−1) = 2. Determine se esta orreto ou orrija.
10 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DOS EXERCÍCIOS
(a) se K ∈ [− 3 , −1], então existe c ∈ [2, 5] tal que f (c) = K; (b) se K ∈ [3, 4], então existe c ∈ [− 3 , −1] tal que f (c) = K; ( ) se K ∈ [0, 3], então existe c ∈ [− 3 , −1] tal que f (c) = K;
Exer í io 10. Estude o Lema 3 da p.52 e o Teorema 7 da p.52. Sup ondo que f é ontínua,
prove, fazendo referên ia somente ao Lema 3 e o Teorema 7, que h(x) =
5[f (x)]^3 x^2 + 1
é ontínua.
1.2.2 Problemas
Problema 1. Determine o onjunto dos p ontos de des ontinuidade (úni os p ontos onde a função não é ontínua) de:
(a) f (x) =
1 sen(x)
; x 6 = kπ; k ∈ Z
1; x = kπ;
(b) g(x) =
1 2 + cos(x)
( ) h(x) = x − ⌊x⌋; (d) j(x) =
{ x; x ∈ Q; x^3 ; x 6 ∈ Q.
Problema 2. Determine se f (x) =
|x + 2|; x < 0; 3; x = 0; 3 − x; x > 0.
é ontínua e al ule (^) x→−∞lim f (x).
Problema 3. (a) Seja f (x) = x^4 − 2 x^3 + x^2 + 7 sen(x). Mostre que existe a ∈ R tal que f (a) = 10; (b) Mostre que existe p elo menos um b > 0 tal que log(b) = e−b; ( ) Considere f ontínua em [0, 1] om 0 ≤ f (x) ≤ 1. Mostre que existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c; (d) Sup onha que f é ontínua em [0, 2] om f (1) = − 3 e f (x) 6 = 0 para to do x ∈ [0, 2]. Prove que f (x) < 0 para to do x ∈ [0, 2].
Problema 4. Determine um valor para a ∈ R, se for p ossível, de mo do que a função seja ontínua em R.
(a) f (x) =
(x − 2)^2 (x + a) x^2 − 4 x + 4
; x 6 = 2 7; x = 2.
(b) f (x) =
2 x + 5 se x < − 1 , a se x = − 1 , x^2 − 3 se x > − 1.
( ) f (x) =
x |x|
; |x| ≥ 1
ax; |x| < 1.
(d) f (x) =
{ sen
( (^1) x
) ; x 6 = 0; a; x = 0;
(e) f (x) =
{ e^1 /x; x > 0 a; x ≤ 0.
(f ) f (x) =
sen(6x) sen(8x)
; x 6 = 0;
a; x = 0.
Problema 5. Determine a, b ∈ R, se for p ossível, de mo do que f seja ontínua em R.
12 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DOS EXERCÍCIOS
Extra 6. Prove que: (a) cosh^2 (x) − senh^2 (x) = 1; (b) senh(a + b) = senh a cosh b + senh b cosh a; ( ) cosh(a + b) = cosh a cosh b + senh a senh b.
1.2.4 Desa os
Desa o 1. Um montanhista ini ia a subida do Pi o das Agulhas Negras do abrigo Reb ouças as 8h da manhã e atinge o pi o as 15h deste dia. Ele dorme no pi o e retorna na manhã seguinte as 8h, hegando de volta ao abrigo Reb ouças as 15h do mesmo dia. Mostre que ele passou p or um p onto do p er urso na mesma hora (em dias distintos) durante a subida e durante a des ida.
Desa o 2. Esb o e o grá o e determine os p ontos de des ontinuidade de: (a) f (x) igual ao segundo dígito da expansão de imal de x. (b) f (x) igual ao número de 7's da expansão de imal de x se este número é nito e zero aso ontrário. ( ) f (x) = 0 se x ∈ R − Q, f (p/q) = 1/q se p/q é fração irredutível om q > 0 e f (0) = 0; Di a: esb o e o grá o para q = 2, 3 ,... (d) f (x) = 0 se 1 não apare e na expansão de imal de x e f (x) = n se 1 apare e na enésima p osição.
Desa o 3. En ontre uma função f que seja des ontínua nos seguintes p ontos, mas ontínua em to dos os outros: (a) 1 , 12 , 13 , 14 ,.. .; (b) 0 , 1 , 12 , 13 , 14 ,...
Desa o 4. Sup onha que (^) xlim→ 1 log x = 0. Prove que log(x) é ontínua para x > 0.
Desa o 5. Prove (veja outra prova no Desa o da p.19), utilizando as séries da exp onen ial (p.58) e do seno e osseno (p.58), a relação de Euler:
eiθ^ = cos θ + i sen θ.
Desa o 6. Utilizando a relação de Euler eiθ^ = cos θ + i sen θ e a de nição de senh e cosh dadas na p.60, prove que:
senh(ix) = i sen(x) e cosh(ix) = cos(x).
Tome x = iθ e prove que
cos(iθ) = cosh(θ) e sen(iθ) = i senh(θ).
1.3. EXERCÍCIOS DE DERIVADA 13
Desa o 7. Dizemos que J é um intervalo em R se J é igual a [a, b] ou (c, d) ou [a, d) ou (c, b] om a, b ∈ R e c, d ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Prove que se f é ontínua em um intervalo I então a imagem f (I) é um intervalo. Dizemos que função ontínua leva intervalo em intervalo.
Desa o 8. Adapte a de nição de lim x→c f (x) = L e de na:
(a) lim x→c+^
f (x) = −∞; (b) (^) x→−∞lim f (x) = +∞; ( ) lim x→c−^
f (x) = L.
1.3 Exer í ios de Derivada
1.3.1 Exer í ios de Fixação
Exer í io 1. Determine a equação da reta tangente ao grá o de f (x) no p onto x = − 2 sab endo que f (−2) = 3 e f ′(−2) = 3.
Exer í io 2. Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um ontraexemplo ou orrija. (a) Se f é ontínua em x = 3, então f é derivável em x = 3. (b) Se f (2) = g(2), então f ′(2) = g′(2). ( ) Se f ′(1) > 0 , então f (1) > 0.
Exer í io 3. Considere o grá o de f abaixo. (a) se f ′(x 1 ) = 2 determine f ′(x 2 ) e f ′(x 3 ). (b) Colo que em ordem res ente f ′(x 2 ), f ′(x 4 ), f ′(x 5 ), f ′(x 6 ).
x
y
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
f (x)
Exer í io 4. Dado o grá o de f abaixo, faça o grá o exato de f ′.
(^2) 07.out.
1.3. EXERCÍCIOS DE DERIVADA 15
(a)
d dr
( 4 3
πr^3
) ; (b)
d dk
(3k^2 − k−^1 ); ( )
du dt
se u = t log t;
(d)
dv ds
se v = sπ; (e)
dy dx
se y = (
√ 3)x; (f )
d dt
(log π).
Exer í io 10. Estude o Teorema do Valor Médio (Corolário 5 da p.84) e resp onda. Sup onha que f é derivável em R e − 4 ≤ f ′(x) ≤ 3 para to do x ∈ R. Prove que: (a) − 16 ≤ f (5) − f (1) ≤ 12 ; (b) − 4 h ≤ f (h) − f (0) ≤ 3 h para to do h > 0.
Exer í io 11. Um objeto ai do alto de um edifí io de 100m e atinge o solo em 5 segundos. Aplique o Teorema do Valor Médio (TVM) e prove que em algum instante o objeto estava om velo idade (em mó dulo) igual a 20m/s.
Exer í io 12. Sup onha que f ′′(x) = 0 para to do x ∈ R. Sab endo que f ′(−3) = 0 e f (5) = π, aplique uma onsequên ia do Teorema do Valor Médio (TVM) duas vezes para on luir que f (x) = π para to do x ∈ R.
Exer í io 13. Considere f e g duas funçõ es ujos grá os estão na gura abaixo. As retas que apare em são tangentes ao grá o. (a) Se h(x) = f (g(x)), determine h′(2). (b) Se k(y) = g−^1 (y), determine k′(3).
6
x
y
QQ QQ QQ QQ QQ Q
QQ
QQ Q
3
2
f (x)
6
x
y
2
2
3 g(x)
Exer í io 14. Considere o grá o abaixo.
x
y
Se o grá o representa f (x) determine maiores intervalos (indique no grá o) onde: (a) f ′^ é p ositiva e negativa; (b) f é injetiva (p ossui inversa).
16 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DOS EXERCÍCIOS
Se o grá o representa f ′(x) determine maiores intervalos (indique no grá o) onde: ( ) f é res ente e de res ente; (d) f é injetiva (p ossui inversa).
Exer í io 15. Prove que. para a > 0 ,
cos(arcsen(x/a)) =
1 a
√ a^2 − x^2.
1.3.2 Problemas
Problema 1. Cal ule, p ela de nição (utilizando limite), a derivada de:
(a) f (x) =
1 x^2
; (b) f (x) = √^1 x
; ( ) f (x) = |x|(x − 1); (d) f (x) = |x|x.
Problema 2. Determine a, b ∈ R tais que a função abaixo tenha derivada em to dos os p ontos.
f (x) =
{ x^2 ; x < 1; ax + b; x ≥ 1.
Problema 3. Sup onha que |f (x)| ≤ |x|k^ om k > 1. Cal ule p ela de nição f ′(0). Di a: Veja o Exemplo 58 da p.72.
Problema 4. Para ada uma das funçõ es abaixo, determine onde p ossui derivada e al ule a derivada nestes p ontos.
(a) g(x) =
{ 3; x < 2; −4; x ≥ 2;
(b) f (x) = |ex^ − 1 |; ( ) h(x) = |(3 − x)(x + 1)|.
Problema 5. Em ada um dos itens abaixo, s(t) representa a p osição de uma partí ula se movendo em linha reta no instante t. Determine: (i) A velo idade e a eleração da partí ula no instante t = 0. (ii) Os instantes em que a partí ula está parada. (a) s(t) =
t^2 − 1 t^2 + 1
; (b) s(t) = sen t.
Problema 6. Considere a função f (x) = 2x^3 − 2 x^2 + 5. Determine to dos os p ontos do grá o de f nos quais a reta tangente é: (a) horizontal; (b) paralela à reta 2 y − 20 x − 50 = 0 ( ) p erp endi ular à reta 8 y + 2x − 10 = 0.
Problema 7. Determine TODOS os p ontos do grá o de y = f (x) = |x^2 − 1 |(x + 1) onde a reta tangente é paralela ao eixo x
