Calculo 1 completo, Notas de estudo de Cálculo para Engenheiros

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Sumário

4.13 Certas fórmulas fundamentais do cálculo tornam-se muito mais simples se os ângulos são medidos em

1. NÚMEROS REAIS

1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os primeiros números conhecidos são os chamados inteiros positivos ou naturais , representados por:

Os números -1, -2, -3, -4, ... são chamados inteiros negativos. A união dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros representados por:

Os números da forma são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais.

Os números que não podem ser representados por , tais como , , formam o conjunto dos números irracionais , representados por Q’. Da união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, resulta o conjunto dos números reais representados por: F 0C 2 = Q F 0C 8 Q’

Se x e y são quaisquer números reais, então somente uma das alternativas abaixo é verdadeira:

1. x < y
2. x > y
3. x = y

Se fixarmos y = 0 observamos que somente uma das condições abaixo é verdadeira:

1. x < 0 , neste caso x é um número real negativo.
2. x > 0 , neste caso x é um número real positivo.
3. (^) x = 0, neste caso x não é nem positivo nem negativo.

Numa escala numérica horizontal, os números positivos são coordenadas de pontos situados à direita da origem, e os números negativos são coordenadas de pontos situados à esquerda da origem.

1.2. DESIGUALDADES

Suponha que a, b, c e d sejam números reais.

1. Se a < b , então a + c < b + c
2. Se a < b e c < d , então a + c < b + d
3. Se a < b e c > 0 , então e
4. Se a < b e c < 0 , então e

5. Se a < b e b < c , então a < c

Exemplo: a) Mostre que

Dividindo ambos os termos por 59.(9) , temos

(regra 3)

Multiplicando ambos os membros pelo negativo -1, inverte-se a desigualdade (regra 4)

b) Prove que se 0 < x < y , então x^2 < y 2. x < y Multiplicando ambos os termos por x e depois por y , temos: x (x) < y (x) F 0D E x^2 < xy^ F 0D E x^2 (y)< xy (y)^ F 0D E x^2 y < xy^2 Como x > 0 e x < y , logo x 2 < y^2

1.3. SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES E INTERVALOS

Resolva a inequação

somando-se –x a ambos os lados

somando-se 1 a ambos os lados

dividindo ambos os lados por 4

0 1

1 não pertence ao conjunto solução

Portanto a solução é o conjunto de todos os números reais que são maiores que 1. O conjunto solução consiste de um trecho da reta. Tais conjuntos, denominados intervalos , sempre surgem como conjunto solução de inequações.

ou

c) , x ≠ - Multiplicar ambos os membros por x + 7. Devemos considerar dois casos. 1º caso:^ x + 7 > 0^ ou^ x > -

2º caso:^ x + 7 < 0^ ou^ x < -

A solução final é S = (-7, +F 0A 5 )^ F 0C 8 ou d)

A igualdade somente acontece quando x = -1 ou x = -2. A desigualdade ocorre se e somente se (x + 1) e (x + 2) têm o mesmo sinal algébrico. 1º caso: x + 1 > 0 e x + 2 > 0

x + 1 > 0 ou x > -

x + 2 > 0 ou x> -

Solução

2º caso: x + 1 < 0 e x + 2 < 0

x + 1 < 0 F 05 C x < -

x + 2 < 0 F 05 C x< -

Solução

A solução final é S = [-1, +F 0A 5 ) F 0C 8 ou

e) A inequação é verdadeira somente se o numerador e o denominador apresentarem sinais algébricos opostos. 1º caso: 3 x + 5 > 0^ e^ x - 5 < 0

Solução

2º caso: 3 x + 5 < 0 e x - 5 > 0

Observe que não haverá valor de x que atenda ao mesmo tempo o intervalo e. Portanto a solução do 2º caso é o conjunto vazio.

A solução final portanto é o intervalo aberto

1.4. VALOR ABSOLUTO

Se x é um número real, então o valor absoluto de x , representado por | x |, é definido por:

y representa a área deste círculo Então, y depende de x de um modo bem definido, ou seja, A = F 07 0 r^2 ou^ y =^ F 07 0 x^2. Por conseguinte, diz-se que a área de um círculo é uma função do seu raio.

Se f é uma função, representa-se o valor de y que corresponde a x como f(x) , lê-se “f de x”. Para o exemplo da área do círculo, tem-se que f(x) = F 07 0 x 2.

Uma função f é uma regra ou correspondência que faz associar um e somente um valor da variável y para cada valor da variável x. A variável x é denominada variável independente e pode tomar qualquer valor num conjunto de números denominado “ domínio de f ”. Para cada valor de x no domínio de f, o valor correspondente de y é denotado por f(x) tal que y = f(x). A variável y é denominada variável dependente, visto que seu valor depende de x. O conjunto de valores assumidos por y à medida que x varia no domínio é denominado “ imagem de f ”.

Exemplo: c) Sejam ( i ) dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B ( ii ) é uma função de A em B d) Sejam

não é uma função de A em B pois o elemento 3 F 0C E A não tem correspondente em B

Exemplos: Determinar o domínio e a imagem das seguintes funções: a) Esta função só não é definida para. Logo.

b) Para não está definida. Então.

c) não está definida para..

2.2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) de um plano coordenado tal que x pertence ao domínio de f e y à imagem de f. Sendo.

Exemplo: Esboce o gráfico de uma função f definida pela equação com a restrição x > 0.

Observe que o ponto (0, 0) não pertence ao gráfico de f(x), dada a condição de restrição x > 0. Consideremos o gráfico seguinte:

A curva ao lado representa o gráfico de uma função? Não. Porque se f (^) x é uma função, um ponto do seu domínio pode ter somente uma imagem. Portanto o gráfico de uma função não pode passar acima ou abaixo de si mesma. Assim, o domínio de uma função é o conjunto de todas as abscissas dos pontos sobre o gráfico, enquanto que sua imagem é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do seu gráfico.

Exemplo: Seja f uma função definida pela equação com a restrição. Esboce o gráfico de f e determine o seu domínio e imagem. Lembre-se que , ou seja, e que pela restrição , portanto.

f (x) 1 0 1,2 0, 1,4 0, 1,6 0,

Pelo gráfico, temos

A função é definida para todos os valores de , excetuando-se (que anula o denominador da fração); portanto o domínio consiste em dois intervalos..

Portanto para

Concluímos então que a condição equivale a desde que. Logo, o gráfico consiste em todos os pontos da reta exceto o ponto , que é excluído, ou seja, com x ≠ 2, a função não existe para y = 4. A imagem de são todos os números reais exceto o 4, ou seja,.

5. Considere a função g(x) = 4x + 7. Calcule para h ≠ 0 e simplifique sua resposta.

Na notação para as funções não é essencial a escolha de x e y para representar as variareis independentes e dependentes, respectivamente. Assim, podemos denotá-las por y = f(t) , s = f(t) ou mesmo x = f(y). Por exemplo, o volume V de uma esfera é uma função do seu raio r, assim: V = f(r) ou.

Exercícios:

1. Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada e esboce o seu gráfico. a) y = -5x + 7 b) y = | -2 x | c) d)

2. Seja g a função definida por g(x) = x (x + 1) ( x + 2) (x + 3). Mostre que para a ≠ -1 e a ≠ -5,
3. É necessário que um retângulo tenha a área de 25 cm 2 , mas suas dimensões podem variar. Se um lado tem comprimento x, expresse o perímetro p como função de x.

a) g(-x) = (-x) 5 + (-x)^3 = -x 5 – x^3 = -( x^5 + x 3 ) = -g(x) , portanto g é uma função ímpar b) f(-x) = -x | -x | = -x | x | = - f(t) , portanto f é uma função ímpar.

Funções nem pares nem ímpares: a) f(x) = 1 + x b ) f(x) = x 3 + 4 f(-x) = 1 – x f(-x) = - x 3 + 4

3.2. FUNÇÃO DO 1º GRAU

Função do 1º grau é toda função que associa a cada número real x, o número ax + b, com a ≠ 0. Os números reais a e b são chamados coeficientes angular e linear, respectivamente.

a > 0 F 0A E f(x) = ax + b é crescente [f(x) cresce com x] a < 0 F 0A E f(x) = ax + b é decrescente [f(x) decresce com x]

O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. e

Exemplos: a) f(x) = 2x + 3

b) f(x) = -3x + 1

c) No MRU, o espaço percorrido s = s (^) o + vt [ s = f(t) ]

3.3. FUNÇÃO QUADRÁTICA

Função definida por f(x) = ax 2 + bx + c , com a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y.

Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo. Exemplos: a) f(x) = - x 2 + 2x – 1 x 1 = x 2 = 1 b) f(x) = x 2 – 2x + 4 F 04 4 = - c) f(x) = x 2 -2x – 3 x 1 = 3 e x 2 = -

Zeros ou raízes da função: a) F 04 4 < 0 F 0A E f(x) não tem zero real b) F 04 4 = 0 F 0A E f(x) tem zero real duplo c) F 04 4 > 0 F 0A E f(x) tem dois zeros reais desiguais

Gráfico da função: a) F 04 4 < 0 F 0A E gráfico não toca o eixo dos x b) F 04 4 = 0 F 0A E gráfico tangencia o eixo dos x c) F 04 4 > 0 F 0A E gráfico corta o eixo dos x Coordenadas do vértice da parábola: e Soma das raízes: Produto das raízes:

O domínio é igual a F 0C 2 , ou seja, A depende do vértice em y e do sinal de a: a) a > 0 F 0A E b) (^) a < 0 F 0A E

3.4. FUNÇÃO POLINOMIAL

Função definida por uma equação da forma , onde n é um inteiro não negativo e os coeficientes são números reais constantes. Se a n ≠^ 0 diz-se que esta função polinomial é de^ grau n.

Exemplo: a) f(x) = 7 + 5x - 3x 2 – 8x^3 (grau 3) b) f(x) = a 0 (função constante)

3.6. FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de função exponencial de base a, a função f de F 0C 2 em F 0C 2 que associa a cada x real o número a x^ , sendo “ a ” um número real (com^ a^ ≠^1 e^ a > 0 ).

e

Quanto ao seu gráfico, a função f(x) = a x^ apresenta as seguintes particularidades: a) A curva está toda acima do eixo das abscissas, pois > 0 para todo x F 0C E^ F 0C 2. b) Corta o eixo das ordenadas no ponto ( 0, 1). c) f(x) é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

Exemplo: a)

b)

c)

3.7. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Dado um número real a ( 0 < a ≠ 1 ), chama-se função logarítmica de base “ a ” à função de F 0C 2 +*^ em F 0C 2 que associa a cada x o número , ou seja,.

Condição de existência da função logarítmica:

e A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Com relação ao gráfico da pode-se afirmar: a) Está toda à direita do eixo y. b) Corta o eixo das abscissas no ponto (1, 0). c) é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

d) É simétrico ao gráfico da função em relação à reta y = x.

Exemplos: a)

b) Pela condição de existência da função logarítmica x^2 – 1 > 0. Logo o domínio da função é.

c)

3.8. FUNÇÃO MODULAR

A função definida por chama-se função modular. O seu domínio é F 0C 2 e sua imagem é. A função pode ser expressa por.

Exemplo: Construir o gráfico das funções: a)

b)

3.9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS