Física I para Oceanografia
FEP111 (4300111)
2º Semestre de 2011
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 10 Rolamento e momento angular
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: [email protected]
Fone: 3091.7104
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Cálculo 1 - limites., Notas de aula de Cálculo
Breve explicação de limites e parte inicial do cálculo 1.
Tipologia: Notas de aula
2020
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Física I para Oceanografia
FEP111 (4300111)
2º Semestre de 2011
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 10 Rolamento e momento angular
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: [email protected]
Fone: 3091.
Rolamento e momento angular
Rolamento descreve o movimento de carros, bicicletas e outros ...
Momento angular é um conceito útil para se entender a física das rotações.
Velocidades no movimento de rolamento
Rotação pura translação pura (^) rolamento
Dinâmica do rolamento
Sem atrito = deslizamento
Com atrito = rolamento
Portanto o atrito é a força responsável pelo movimento de rolamento.
ext I (^) cm Fatritor
Fext macm
Com
acm r
Equação para rotação.
Equação para translação.
Quando temos atrito estático (sem deslizamento no ponto de contato) se considera que não há perda de energia no sistema, ou seja, que o sistema é conservativo. Isto é aproximadamente correto.
Uma bola maciça, de raio R e massa m, desce rolando um plano inclinado com ângulo θ, sem deslizar. Determine a força de atrito e a aceleração do centro de massa.
ext I (^) cm FextR
Fext macm
Com
Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton à bola (rotação e translação).
a R
v R
cm
cm
Rolamento sem deslizamento –
plano inclinado
Fres mgsin Fat macm
cm
cm cm ma R
I a mg sin 2
(^12)
sin
mR
I
g a cm
cm
Translação:
Rotação:
ext I (^) cm FatR
cm
cm at a R
I F 2
anel
cilindro
esfera
Rolando de um plano inclinado, quem chegaria primeiro?
2 genericamente Icm Mk
2
2
2 1
sin
1
sin
R
k
g
mR
I
g a cm
cm
(^2)
2 1
1
R
k
0.5 para anel
0.66 para cilindro
0.71 para esfera
Portanto esfera chega primeiro!!!
2
2 2
1
2 5
2
anel I MR
cilindro I MR
esfera I MR
cm
cm
cm
Qual a velocidade e energia cinética no final da rampa?
h Ssen
V f Vi 2 aS
2 2
Vi 0
Vf ?
( 1 )
2
( 1 )
2 2
2 2
2
2
R
k R
f k
gh
sen
gsen h V
2 2
(^21) 2
(^1) T MVf Icm
Energia cinética no final da rampa. 2 Icm Mk
V R
Usando que: (^1 2 )
2 2 2
1 R
k T MVf
Mgh
gh T M R
k
R
k
( 1 ) ( 1 )
2 2
2
2
2 2
1
Substituindo o valor da velocidade.
Energia cinética final = Energia potencial Mas e a energia dissipada pelo atrito?
Força de atrito não realiza trabalho porque no ponto de contato não há deslocamento. Força de atrito apenas converte parte a energia de translação em rotação.
Bola de Sinuca
Um taco atinge uma bola de bilhar em um ponto a uma distância b acima do centro da bola. Determine o valor de d para que a bola role, sem deslizar.
b
ext I (^) cm FextR
Fext macm Com
a R
v R
cm
cm
Translação:
Rotação:
I _inicial
Para rolamento sem deslizamento
Impulso inicial do taco: t
P F
I (^) inicial Ft P MVf MVi
F t MVcm Taco dá uma velocidade inicial de translação e rotação. t Icm
b = parametro de impacto
Agora, vamos considerar os casos em que o eixo de rotação pode alterar a sua direção. Isto explicita a natureza vetorial da rotação. Definimos a direção do vetor velocidade angular como perpendicular ao plano de rotação e o sentido dado pela regra da mão direita.
A natureza vetorial da rotação
A definição mais completa do torque é dada em termos do produto vetorial
r F
A natureza vetorial do Torque
r Fsen
Torque é um vetor perpendicular ao plano formado pelos vetores r e F
Momento Angular
A figura ao lado, mostra uma partícula de massa m, na posição r, se movendo com uma velocidade v. Ela possui uma quantidade de movimento linear
L r p
(^)
p mv
Definimos o Momento Angular em relação à origem, como sendo
Momento Angular
L r p
(^)
Por analogia à quantidade de movimento linear
(^) L I
Porém, se mudarmos a origem do sistema de coordenadas, em relação ao plano da órbita, obtemos um novo valor de L que não é paralelo a ω.
Isto indica que a última definição não é universal.
L r p
(^)
p mv
podemos também escrever
A segunda lei de Newton para a translação pode ser escrita como:
dt
dp F
sis ext
Mais analogias
A segunda lei de Newton para a rotação pode ser escrita em termos do torque e momento angular como:
dt
dL (^) sis ext
Para corpos pequenos e partículas é mais prático usarmos:
Para corpos extensos girando usamos:
L r p
(^) L r mv
(^) L I L^ I
momento de inércia (I) de uma partícula
2
I mi r i
2
Energia Cinética Rotacional K I
Um corpo consiste de 4 partículas pontuais, com massas m, ligadas por hastes sem massa, como na figura ao lado. O sistema gira com velocidade angular ω em torno do centro do corpo. (a) Determine o momento de inércia do corpo. (b) Determine a energia cinética do corpo.
i
I mi ri
2
2
K I
2
I 4 ma
2 2
K 2 ma
Energia Cinética Rotacional