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C´alculo Avan¸cado.

Tarcisio Praciano-Pereira

Departamento de Matem´atica

Universidade Estadual Vale do Acara´u

Sobral, 17 de junho de 2007 [email protected]

tos que n˜ao podemos definir no momento sem criar um texto ileg´ıvel. E uma´ atitude pr´opria de um livro did´atico, nele se tem, como primeiro objetivo, a comunica¸c˜ao com o estudante, a exposi¸c˜ao de Matem´atica para quem a quer aprender, e obviamente, n˜ao se dirige a quem j´a a domina. Assim, avan¸caremos alguns conceitos cuja defini¸c˜ao formal seria cr´ıtica, mas sua apresenta¸c˜ao num est´agio inicial completa uma vis˜ao global que o estudante j´a deveria at´e mesmo ter, n˜ao fosse a fragilidade do nosso sistema educacional. O uso de aster´ısco n’algum exerc´ıcio, tem o sentido de que o mesmo pode ser mais dif´ıcil ou que o mesmo se encontra fora do contexto. O objetivo n˜ao deve ser o de desencorajar quem os tentem resolver. Afinal, dif´ıcil, n˜ao ´e um qualificativo absoluto, nem siquer relativamente a uma mesma pessoa ao longo do tempo. Este livro tem duas partes dentro das quais distribuiremos os assuntos:

1. C´alculo Diferencial;
2. C´alculo Integral.

Mas observe que as departamentaliza¸c˜oes s˜ao autorit´arias e artificiais. Elas s˜ao feitas para atender uma necessidade pr´atica de disposi¸c˜ao de assuntos, com objetivo sistˆemico, mas n˜ao se podem tornar camisas de for¸ca nem sugerir que o conhecimento pode ser adquirido linearmente. Assim, vocˆe ir´a encontrar muito uso da integral dentro da primeira parte... e muito uso da derivada na segunda parte apesar de que estas partes tem objetivos reversos, (na primeira parte estaremos derivada e na segunda a integral). Vamos a uma r´apida justificativa de nossa escolha de desenvolvimento do assunto que tamb´em servir´a de uma introdu¸c˜ao. A primeira raz˜ao das “coisas”´e que pretendemos escrever uma cole¸c˜ao de pe- quenos livros cobrindo toda a matem´atica do que se chama C´alculo Avan¸cado e que em nossa opini˜ao deve ser estudado num segundo ano de gradua¸c˜ao por todos os estudantes de ciˆencias, sejam eles futuros engenheiros ou futuros pro- fessores da Escola Secund´aria, ou futuros professores de Matem´atica da Univer- sidade. Observe nossa posi¸c˜ao, intencional, de associar profissionais, queremos dizer, sim, que o professor da Escola Secund´aria deve ter uma base matem´atica t˜ao excelente quanto um professor da Universidade da mesma forma como os sal´arios deveriam ser iguais. O conte´udo de um tal curso deve estender as id´eias do C´alculo a uma vari´avel para um ambiente em que as fun¸c˜oes s˜ao multivariadas, deve usar com grande liberdade os conceitos de geometria e, portanto, de Algebra linear, que ´´ e a linguagem adequada para expressar este novo tipo de vari´avel, os vetores. Os elementos da Algebra Linear, s˜´ ao vari´aveis multi-num´ericas. Uma consequˆencia deste fazer consiste numa formaliza¸c˜ao intensa da linguagem matem´atica e deve mostrar explicitamente que a Matem´atica ´e uma linguagem abstrata mas n˜ao pode deixar de traduzir a realidade de outras ciˆencias, ou do “mundo real”. Como a realidade das outras ciˆencias, com frequˆencia, se traduz sob forma de uma taxa de varia¸c˜ao, ent˜ao as equa¸c˜oes diferenciais tem de ser pelo me- nos iniciadas com um m´aximo de seriedade o que implica mostrar ao estudante

que sabemos pouco sobre elas, mas que sabemos alguma coisa e que uma certa variedade importante de equa¸c˜oes diferenciais pode ser resolvida. Neste texto n˜ao incluiremos equa¸c˜oes diferenciais diretamente, mas pretendemos que o lei- tor se encontre preparado para um curso “moderno” de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias ao termin´a-lo, em que moderno significa centrado nas equa¸c˜oes linea- res, vistas como sistemas dinˆamicos^2 , e nas n˜ao lineares como aproxima¸c˜ao das lineares. Consequentemente o conceito de aproxima¸c˜ao tem que estar presente de forma dominante. E preciso declarar que temos uma clareza completa da falta de organiza¸´ c˜ao a que se chegou no ensino brasileiro, produto de anos sucessivos de descaso go- vernamental com a educa¸c˜ao, descaso este que apenas continua, sem mostras de que um dia venha a se acabar. A consequˆencia disto ´e uma desorganiza¸c˜ao intelectual total. Apresentar Matem´atica seriamente numa situa¸c˜ao deste tipo apresenta dificuldades suplementares. Deve-se esperar que os estudantes do segundo ano venham com bolhas de conhecimento significativas porque os pro- fessores do ano anterior tiveram que se ocupar de discutir inclusive a mat´eria da escola secund´aria. Parte do nosso objetivo, portanto, ´e fazer a ponte necess´aria entre os co- nhecimentos rudimentares da matem´atica univariada `a multivariada o que pode ser feito se, pelo menos admitirmos como verdadeiro, que o estudante ganhou alguma experiˆencia nos cursos do primeiro ano. Queremos usar computa¸c˜ao como apoio para o aprendizado, neste sentido sugerimos que o estudante fa¸ca uso dos programas que escrevemos. Estes pro- gramas podem ser obtidos ou no disco que ecompanha este livro, ou em comu- nica¸c˜ao com o autor,

tarcisio at member.ams.org

Entre as muitas dificuldades que vocˆe poder´a encontrar com a presen¸ca de “computa¸c˜ao” neste livro ´e a simples dificuldade de us´a-la por falta absoluta de meios. Primeiro que tudo n˜ao se sinta intimidado ou humilhado, procure encontrar uma solu¸c˜ao para este problema. Seria desonesto de nossa parte omitir esta possibilidade, apenas porque vivemos num pa´ıs em que o governo se encontra de costas para a na¸c˜ao e com isto deixa as Escolas e Universidades sem os meios adequados para que elas cumpram a sua fun¸c˜ao. Tarcisio, e-mail tarcisio at member.ams.org Sobral, 17 de junho de 2007

(^2) moderno? come¸cou com Poincar´e h´a mais de um s´eculo...

Sum´ario

• I C´alculo Diferencial no espa¸co vetorial R^3
• 1 N´umeros e geometria no R^3
  • 1.1 Opera¸c˜oes com vetores
  • 1.2 Exemplos de espa¸cos vetoriais
• 2 Derivadas de fun¸c˜oes bivariadas
  • 2.1 A derivada
  • 2.2 Diferenciabilidade
  • 2.3 Opera¸c˜oes e derivadas
  • 2.4 A f´ormula de Taylor
• 3 S´eries e aproxima¸c˜ao de fun¸c˜oes.
  • 3.1 A s´erie de Taylor
    • 3.1.1 O erro m´edio.
    • 3.1.2 O erro integral.
  • 3.2 Polinˆomios Trigonom´etricos.
  • 3.3 Aproxima¸c˜ao polinomial cl´assica.
    • 3.3.1 Quadrados m´ınimos.
    • 3.3.2 O m´etodo de Gram-Schmidt.
  • 3.4 S´eries num´ericas.
    • 3.4.1 Defini¸c˜oes e exemplos.
    • 3.4.2 Crit´erios de convergˆencia.
  • 3.5 S´eries de fun¸c˜oes.
    • 3.5.1 S´eries de potˆencias.
  • 3.6 Generaliza¸c˜oes.
    • 3.6.1 Espa¸cos de fun¸c˜oes.
    • 3.6.2 Convergˆencia condicional.
• 4 Aplica¸c˜oes
  • 4.1 As s´eries de Fourier.
  • 4.2 Fenˆomenos vibrat´orios, a m´usica.
  • 4.3 As comunica¸c˜oes.
  • 4.4 Compacta¸c˜ao de dados.
  • 4.5 Equa¸c˜oes diferenciais.
  • 4.6 Tabelas diversas
• II A integral no espa¸co vetorial R^3
• 5 Introdu¸c˜ao
  • 5.1 Equa¸c˜oes param´etricas de uma curva
    • 5.1.1 exemplos de curvas
    • 5.1.2 Nota¸c˜ao
  • 5.2 Fam´ılia de curvas
  • 5.3 Dimens˜ao e variedade
    • 5.3.1 Hiperplano e hipersuperf´ıcie no R
    • 5.3.2 Um pouco sobre classifica¸c˜ao de variedades
    • 5.3.3 Conjunto aberto e fronteira de um conjunto
  • 5.4 Complementos sobre Integra¸c˜ao
  • 5.5 Complementos sobre Geometria e Derivada
• 6 Somas m´ultiplas de Riemann
  • 6.1 Integral m´ultipla - Solu¸c˜ao
  • 6.2 O caso da fronteira curva
• 7 A integral de linha
  • 7.1 Integral de linha
  • 7.2 Derivadas Parciais
  • 7.3 Aplica¸c˜oes das derivadas
    • 7.3.1 Vetor normal e gradiente
  • 7.4 Derivadas de fun¸c˜oes vetoriais
  • 7.5 Miscelˆanea de Exerc´ıcios
• 8 O teorema de Green
  • 8.1 Teorema de Green
    • 8.1.1 Campos vetoriais conservativos ou n˜ao
    • 8.1.2 Forma trivial do Teorema de Green
  • 8.2 Rota¸c˜ao e fluxo
• 9 Superficie
  • 9.1 Superf´ıcie e ´area
  • 9.2 Aplica¸c˜oes
• 10 F´ormulas Integrais
  • 10.1 Generaliza¸c˜oes da integral
• 1.1 Dois vetores somados geometricamente pela regra do paralelograma. Lista de Figuras
  • para escolher e estudar a varia¸c˜ao. 1.2 No dom´ınio de W −→f R em volta de um ponto P ∈ W, h´a muitas dire¸c˜oes
• 1.3 Campo vetorial - aproxima¸c˜ao de curva
• 2.1 A reta tangente ao gr´afico de f
• 2.2 z = g(x, y) = x^2 + y^2 e plano tangente z = q(x, y)
• 2.3 Disco de convergˆencia da s´erie de potˆencias
• 3.1 Gr´aficos simultˆaneos do polinˆomio de Taylor de grau 3 e da fun¸c˜ao f
• 3.2 Graficos simultˆaneos do seno e de seu polinˆomio de Taylor de grau
• 3.3 Reta tangente ao gr´afico de f no ponto x = −2
• 3.4 Polinˆomios de grau 11 e 13 do seno desenvolvidos em x = 0.
  • em R. 3.5 polinˆomio trigonom´etrico com 5 termos: aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao dente de serrote
  • fun¸c˜ao dente de serrote em R. 3.6 polinˆomio trigonom´etrico com 10 termos no intervalo [− 15 , 15]: aproxima¸c˜ao da
• 3.7 Area associada a uma soma parcial-proje¸´ c˜ao para traz - proje¸c˜ao para frente.
  • nom´etrico, no intervalo [−π, π]. 4.1 gr´afico da par´abola x 7 → 12 (x^2 − x − 2) aproximada por um polinˆomio trigo-
• 5.1 C´ıcloide desenhada `a m˜ao
• 5.2 Arco de curva
• 5.3 Curva parametrizada
• 5.4 Um conjunto aberto Ω ∋ P e um ponto.
• 6.1 C´ırculo de centro na origem coberto por uma malha uniforme
• 6.2 O c´ırculo como dom´ınio de integra¸c˜ao.
• 7.1 Uma curva e sua aproxima¸c˜ao poligonal
• 7.2 Uma variedade linear e seu vetor normal
• 7.3 Gr´afico aproximado da curva plana
• 7.4 Uma malha retangular em Ω induz uma parti¸c˜ao no conjunto de sa´ıda W
• 7.5 Uma superf´ıcie com ponto singular
• 7.6 Parametriza¸c˜ao do quadrado Q de lado 1, com v´ertices (0, 0), (1, 1).
• 8.1 Os distintos caminhos entre P, Q no dom´ınio Ω, ; α, β, γ
  • enta¸c˜ao da fronteira pode ser determinada por tangˆencia. 8.2 A fronteira de um dom´ınio inclue as fronteiras dos seus buracos... a ori-
• 8.3 A orienta¸c˜ao de uma curva pode ser incompat´ıvel com a orienta¸c˜ao da fronteira.
  • indica¸c˜ao das setas. 8.4 A indepenˆencia de caminhos; as curvas s˜ao percorridas de acordo com a
• 8.5 A independˆencia de caminhos
• 8.6 Isot´ermicas e linhas de fluxo
• 9.1 O princ´ıpio do coseno

Parte I

C´alculo Diferencial no

espa¸co vetorial R

As tres t´ecnicas b´asicas do C´alculo Neste cap´ıtulo vamos estudar as tres t´ecnicas b´asicas do C´alculo, derivada, integral e limite, tendo o espa¸co tridimensional como o cen´ario de trabalho. Limite ´e o estudo do comportamento assint´otico, usamos limite para definir a integral e a derivada. Que ´e a integral? vocˆe ver´a depois que h´a outras formas de se conceber a integral e que o pr´oprio limite ´e um tipo de integral, mas esta vis˜ao ainda faz parte do futuro e n´os queremos usar o que vocˆe recentementre aprendeu. Para compreender o que era a integral, vocˆe, considerou uma fam´ılia de n retˆangulos sob o gr´afico de uma fun¸c˜ao e lhes calculou a ´area Axi = f (xi)∆xi,

e depois lhe disseram que quando os ∆xi se aproximarem de zero a soma Pn i=

Axi se apro-

ximar´a de um n´umero, este n´umero ´e a integral de f. Mas pode n˜ao ser assim, neste caso a fun¸c˜ao n˜ao ´e integr´avel, ´e isto que caracteriza um comportamento assint´otico. O comportamento assint´otico ´e a id´eia central deste cap´ıtulo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Regra do Paralelogramasoma de dois vetores

Figura 1.1: Dois vetores somados geometricamente pela regra do paralelograma.

Uma outra inven¸c˜ao da Humanidade foi o n´umero complexo, que ´e um tipo de vetor e surgiu de forma independente para resolver quest˜oes alg´ebricas, como ´e o caso da raiz quadrado de − 1. Por sua origem alg´ebrica, os n´umeros complexos tinham uma capacidade operat´oria completa: soma, multiplica¸c˜ao, divis˜ao e subtra¸c˜ao. Nossos antepassados quase que reconheciam neles autˆenticos n´umeros, mas deixaram registrada a desconfian¸ca de que havia alguma coisa errada no nome: n´umeros complexos. Em seguida se descobriu que os n´umeros complexos eram uma esp´ecie de n´umeros geom´etricos com uma representa¸c˜ao ve- torial de modo que o conjunto, C, dos n´umeros complexos, era plano, generalizando a reta R que representava os n´umeros reais. Nos s´eculos 19 e 20 se multiplicaram as tentativas de constru¸c˜oes de n´umeros geom´etricos de dimens˜ao maior do que 2, sobre R. Algumas dessas constru¸c˜oes tiveram sucesso, os quaternions s˜ao um desses exemplos que tˆem uma ´algebra parecida com a dos n´umeros complexos. Na atual estrutura da Matem´atica, os vetores s˜ao objeto de estudo de uma disciplina chamada Algebra Linear´ , que ´e um “departamento” da Algebra^ ´. Neste primeiro cap´ıtulo faremos uma introdu¸c˜ao sistem´atica, mas resumida, da ´algebra linear que ser´a necess´aria para estudar C´alculo Multivariado ao mesmo tempo em que iremos desenvolvendo os conceitos do C´alculo. Vamos descrever o cen´ario em que se vai desenvolver a a¸c˜ao. A figura (fig. 1.2) pretende ilustrar isto, num ponto P do dom´ınio h´a v´arias dire¸c˜oes sobre as quais podemos estudar a taxa de varia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao

W f −→ R,

sugerindo, ent˜ao, que a derivada, que guarda o coeficiente angular instantˆaneo de uma fun¸c˜ao, tem que ser considerado em v´arias poss´ıveis dire¸c˜oes.

1.1 Opera¸c˜oes com vetores

A regra do paralelograma, (fig. 1.1), cont´em os elementos de semelhan¸ca de triˆangulos necess´arios para que se transporte sentido e intensidade, contidos no objeto geom´etrico vetor, de modo que possamos superpˆo-los geom´etricamente. Ao mesmo tempo ela cont´em, dentro da pr´opria semelhan¸ca de triˆangulo, os elementos alg´ebricos da defini¸c˜ao:

u = (a, b) ; v = (x, y) ⇒ u + v = (a + x, b + y). (1.1)

P

R

W

f

Figura 1.2: No dom´ınio de W f −→ R em volta de um ponto P ∈ W, h´a muitas dire¸c˜oes para escolher e estudar a varia¸c˜ao.

Estude a (fig. 1.1) e procure encontrar nela os elementos da equa¸c˜ao (equa¸c˜ao,1.1).

Observa¸c˜ao 1 Dimens˜ao finita Na pr´atica da Algebra Linear de´ dimens˜ao finita um jogo de palavras guarda esta regra operat´oria: se somam as coordenadas de mesma ordem, a primeira com a primeira, e a segunda com a segunda para se obter o vetor resultante. Os espa¸cos de dimens˜ao finita se caracterizam pelo fato de que todos os seus elementos tˆem uma mesma quantidade de coordenadas. Assim o R^3 se carac- teriza por objetos que tem tres coordenadas, tres n´umeros reais, ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao tres.

A soma de vetores e o produto de vetores por escalares, tˆem as propriedades usuais dos n´umeros.

Defini¸c˜ao 1 Espa¸co vetorial. Se designarmos por V um conjunto no qual se encontra definida uma opera¸c˜ao de adi¸c˜ao comutativa,

V x V → V ; (x, y) 7 → x + y

e tal que o corpo dos n´umeros reais aja sobre V

R → (V 7 → V ) ; R ∋ λ → (x 7 → λx ∈ V )

distributivamente e associativamente, isto ´e tal que

1. a comutatividade: u + v = v + u vale
2. a associatividade: (u + v) + w = u + (v + w) vale

As fun¸c˜oes, pelo menos numa primeira aproxima¸c˜ao, s˜ao objetos definidos em pontos de um determinado conjunto chamado dom´ınio, aos quais se associam valores que se encontram no conjunto dos valores. O dom´ınio funciona como um conjunto de ´ındices e podemos ver assim que R^3 nada mais ´e do que o conjunto de todas as fun¸c˜oes reais definidas no dom´ınio { 1 , 2 , 3 } se podendo entender a nota¸c˜ao xi como x(i), o valor de x no ponto i. Esta ideia se pode generalizar para o conjunto de ´ındices [a, b], um intervalo da reta. No C´alculo univariado se definem as fun¸c˜oes cont´ınuas e se mostra que soma de fun¸c˜oes cont´ınuas ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, leia-se: soma de vetores ´e um vetor. Se chamarmos V = C([a, b], R) ao espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas definidas no intervalo [a, b] e tomando valores em R, podemos verificar que C([a, b], R) tem todas as propriedades (prop. 4), p´agina 16, sendo um espa¸co vetorial sobre o corpo R. A dimens˜ao deste espa¸co pode ser rapidamente discutida. Veja que, no caso do R^3 , o conjunto dos ´ındices, ´e o dom´ınio em que se encontram definidas as fun¸c˜oes que formam este espa¸c o, que justificamos ser um espa¸co de dimens˜ao 3. Agora estamos discutindo fun¸c˜oes cujo dom´ınio, leia conjunto dos ´ındices, ´e o intervalo [a, b], que tem uma “quantidade” de elementos n˜ao finita^1. Assim, apenas comparando os conjuntos de ´ındices, concluimos que as fun¸c˜oes cont´ınuas, definidas no intervalo [a, b] tem uma “quantidade” n˜ao finita de informa¸c˜oes fazendo do espa¸co C([a, b], R) um espa¸co vetorial de dimens˜ao n˜ao finita. Os espa¸cos de polinˆomios tamb´em podem nos conduzir rapidamente `acompreens˜ao de que existem espa¸cos de dimens˜ao n˜ao finita. Como um polinˆomio de grau n ´e, intuitivamente, um vetor de dimens˜ao n + 1, porque precisamos de n + 1 informa¸c˜oes para escrevˆe-los, ent˜ao vemos que existem espa¸cos de dimens˜ao finita, n, arbitr´arios contidos no espa¸co de todos os polinˆomios, R[x], que assim n˜ao pode ser um espa¸co de dimens˜ao finita. Mas a natureza dos dois epa¸cos, C([a, b], R) ou R[x] ´e distinta, como tamb´em ´e distinta a natureza da “n˜ao finitude” de suas dimens˜oes. Estes fatos v˜ao nos levar a discutir no cap´ıtulo 2 os problemas de aproxima¸c˜ao.

Observa¸c˜ao 3 Aproxima¸c˜ao, finitude, cardinalidade. Problemas: Como aproximar, com um n´umero finito de informa¸c˜oes, um objeto que contenha uma quantidade n˜ao finita de informa¸c˜oes? Existe alguma coisa n˜ao finita `anossa volta? Estes problemas se encontram no centro da investiga¸c˜ao tecnol´ogica dos nossos dias uma vez que as informa¸c˜oes que temos guardar ou transmitir s˜ao fun¸c˜oes, como a quantidade de energia contida num fenˆomeno, voz, figura, etc... Por outro lado, os instrumentos que temos para medir devem transformar estes fenˆomenos em uma quantidade finita de informa¸c˜oes, digitaliz´a-las, para que possamos guard´a-las ou trnsmit´ı-las. Outra quest˜ao que fica para ser aprofundada ´e esta sobre a “quantidade” de elementos n˜ao finita. Esta quest˜ao se constitue de uma teoria chamada cardinalidade.

Al´em de somar vetores, resultando n’outro vetor, e multiplicar vetores por escalares, resultando ainda n’outro vetor, precisamos do produto escalar de dois vetores:

Defini¸c˜ao 2 Produto Escalar.

u = (x 1 , · · · , xn) v = (y 1 , · · · , yn) (1.2)

< u, v >=

∑^ n

i=

xiyi = |u| · |v| cos(θ) (1.3)

(^1) N˜ao se pode usar esta linguagem, “quantidade”, neste conceito, sem incorrer em con- tradi¸c˜oes de natureza l´ogica.

Vamos sintetizar o n´ucleo da id´eia, o m´etodo formal da ´algebra entra em cena: na express˜ao acima temos um s´ımbolo que representa o produto escalar, cuja defini¸c˜ao se encontra `a direita e tem propriedades que podemos facilmente^2 deduzir:

Teorema 1 Propriedades do produto escalar em R^3.

(1) < u, v >=< v, u > (1.4) (2) < u, λv 1 + βv 2 >= λ < u, v 1 > +β < u, v 2 > (1.5)

Estas duas propriedades caracterizam <, > como uma forma (transforma¸c˜ao) bilinear que chamaremos de produto escalar.

Exerc´ıcios 1 1. Fa¸cas contas e mostre que se

< u, v >=

∑^ n

i=

xiyi

ent˜ao, < u, v >=< v, u >.

2. Mostre no R^2 que se u, v forem dois vetores unit´arios, ent˜ao (veja que suas coordenadas podem ser escritas usando sen, cos),

< u, v >= cos α cos β + sin α sin β

e deduza da´ı que

< u.v >= cos θ ; θ = α − β ´e o ˆangulo entre os dois vetores.

3. Generalize, se u, v n˜ao forem unit´arios, ent˜ao eles s˜ao multiplos de vetores unit´arios pelos escalares |u|, |v| e conclua que

< u, v >= |u||v| cos θ

4. defini¸c˜ao “abstrata” de ˆangulo Mostre que a partir da defini¸c˜ao de um pro- duto escalar num espa¸co vetorial, podemos definir o ˆangulo entre dois ve- tores dados, (solu¸c˜ao mais adiante no texto).

Quando um espa¸co vetorial tiver um produto escalar diremos que ´e um espa¸co euclidiano.

Observa¸c˜ao 4 A estrutura euclidiana. Se identificarmos alguma fun¸c˜ao em outro espa¸co vetorial tendo as mesmas propriedades do produto escalar, ent˜ao descobrimos um novo espa¸co euclidiano e suas propriedades s˜ao muito parecidas, ou possivelmente as mesmas, do R^3. E desta generaliza¸´ c˜ao que falavamos: o estudo acurado de um determinado exemplo nos permite uma estens˜ao de suas propriedades a uma fam´ılia de objetos semelhantes a ele. Ao

(^2) N˜ao permita que o autor o intimide, pergunte se n˜ao estiver claro... ou se cale para sempre.