Cálculo Avancado 2, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia Elétrica

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C´alculo Avan¸cado. Tarcisio Praciano-Pereira Departamento de Matem´atica Universidade Estadual Vale do Acara´

u

Sobral, 6 de^ fevereiro de^

2009 [email protected]

O plano de trabalho. Queremos sugerir-lhe um modo de usar este livro que se poderia se asse-^1 melhar ao de um hipertexto^.^ A ´ultima parte do livro ´e um ´

ındice remissivo alfab´etico em que^ todas^ as palavras-chave do texto se encontram al´

ı listadas com referˆencia `as p´aginas em que elas se encontram. Verifique agora, por exemplo, Fourier, ou^ vetor, e vocˆe ver´a a lista das p´

aginas em que estas palavras se en- contram pelo menos alguma vez com uma defini¸

c˜ao adequada.^ Esta ´e forma que encontramos para algumas vezes lhe sugerir uma leitura l´

a na frente, ilus- trando algum conceito que ainda viria no futuro. Parece-nos uma forma menosbrutal que a indica¸c˜ao n´umerica. Fa¸

ca uso intensivo do ´ındice remissivo como se vocˆe se encontrasse na frente de um hipertexto e nos desculpe pela demorade acesso...e n˜ao se esque¸ca de colocar um marcador de p´

agina para saber de onde saiu.. .Uma s´ıntaxe se imp˜oe nas comunica¸

c˜oes, tentamos usar o^ it´alico^ com duas inten¸c˜oes:^ palavras-chave que vocˆe poder´

a encontrar no ´ındice remissivo al- fab´etico, ou, palavras das quais vocˆ

e deve desconfiar porque elas est˜ao mal definidas ou apresentadas de modo intuitivo. O negrito se encontra reservadopara as^ palavras t´ecnicas^ que tem uma defini¸

c˜ao bem clara no texto. Esta regra, entretanto, ainda est´a em constru¸

c˜ao e poder´a falhar aqui ou al´ı, pelo menos nesta edi¸c˜ao experimental.Um outro elemento sint´atico ´e a^ letra pequena

, ela indica que o texto escrito com ela pode ser ignorado numa primeira leitura, mas que n˜

ao precisa ser igno- rado definitivamente, representam exemplos ou observa¸

c˜oes mais aprofundadas e que podem ser lidas como uma curiosidade te´

orica sem consequˆencias maiores para o resto do texto.Este uso da^ ˆenfase^ no texto, tem segundas inten¸

c˜oes, uma delas (das in- ten¸c˜oes), de salientar uma bolha l´ogica, nos vai permitir de falar de concei-^1 que pretens˜ao.. mas ´e mesmo assim!

tos que n˜ao podemos definir no momento sem criar um texto ileg´

´ıvel. E uma atitude pr´opria de um livro did´atico, nele se tem, como primeiro objetivo, acomunica¸c˜ao com o estudante, a exposi¸

c˜ao de Matem´atica para quem a quer aprender, e obviamente, n˜ao se dirige a quem j´

a a domina. Assim, avan¸caremos alguns conceitos cuja defini¸c˜ao formal seria cr´

ıtica, mas sua apresenta¸c˜ao num est´agio inicial completa uma vis˜ao global que o estudante j´

a deveria at´e mesmo ter, n˜ao fosse a fragilidade do nosso sistema educacional.O uso de aster´ısco n’algum exerc´

ıcio, tem o sentido de que o mesmo pode ser mais dif´ıcil ou que o mesmo se encontra fora do contexto. O objetivo n˜

ao deve ser o de desencorajar quem os tentem resolver.

Afinal,^ dif´ıcil, n˜ao ´e um qualificativo absoluto, nem siquer relativamente a uma mesma pessoa ao longodo tempo.Este livro tem duas partes dentro das quais distribuiremos os assuntos:1. C´alculo Diferencial;2. C´alculo Integral.Mas observe que as^ departamentaliza¸

c˜oes^ s˜ao autorit´arias e artificiais. Elas s˜

ao feitas para atender uma necessidade pr´

atica de disposi¸c˜ao de assuntos, com objetivo sistˆemico, mas n˜ao se podem tornar camisas de for¸

ca nem sugerir que o conhecimento pode ser adquirido linearmente. Assim, vocˆ

e ir´a encontrar muito uso da integral dentro da primeira parte... e muito uso da derivada na segundaparte apesar de que estas partes tem objetivos reversos, (na primeira parteestaremos derivada e na segunda a integral).Vamos a uma r´apida justificativa de nossa escolha de desenvolvimento doassunto que tamb´em servir´a de uma introdu¸

c˜ao. A primeira raz˜ao das “coisas”´e que pretendemos escrever uma cole¸

c˜ao de pe- quenos livros cobrindo toda a matem´

atica do que se chama^ C´alculo Avan¸

cado e que em nossa opini˜ao deve ser estudado num segundo ano de gradua¸

c˜ao por todos os estudantes de ciˆencias, sejam eles futuros engenheiros ou futuros pro-fessores da Escola Secund´aria, ou futuros professores de Matem´

atica da Univer- sidade. Observe nossa posi¸c˜ao, intencional, de associar profissionais, queremosdizer, sim, que o professor da Escola Secund´

aria deve ter uma base matem´atica t˜ao excelente quanto um professor da Universidade da mesma forma como ossal´arios deveriam ser iguais.O conte´udo de um tal curso deve estender as id´

eias do C´alculo a uma vari´avel para um ambiente em que as fun¸c˜oes s˜

ao multivariadas, deve usar com grande liberdade os conceitos de geometria e, portanto, de

´ Algebra linear, que ´e a linguagem adequada para expressar este novo tipo de vari´

avel, os vetores. Os ´elementos da Algebra Linear, s˜ao vari´ aveis multi-num´ericas. Uma consequˆencia deste fazer consiste numa formaliza¸c˜ao intensa da linguagem matem´

atica e deve mostrar explicitamente que a Matem´

atica ´e uma linguagem abstrata mas n˜

ao pode deixar de traduzir a realidade de outras ciˆ

encias, ou do “mundo real”. Como a^ realidade das outras ciˆencias

, com frequˆencia, se traduz sob forma de uma^ taxa de varia¸c˜ao, ent˜ao as equa¸

c˜oes diferenciais tem de ser pelo me- nos iniciadas com um m´aximo de seriedade o que implica mostrar ao estudante

Sum´ario I^ C´alculo Diferencial no espa¸

3 co vetorial R^9

(^3 1) N´umeros e geometria no R

1.1^ Opera¸c˜oes com vetores........................

1.2^ Exemplos de espa¸cos vetoriais....................

2 Derivadas de fun¸c˜oes bivariadas

2.1^ A derivada^..............................

2.2^ Diferenciabilidade...........................

2.3^ Opera¸c˜oes e derivadas^........................

2.4^ A f´ormula de Taylor^.........................

3 S´eries e aproxima¸c˜ao de fun¸c˜

oes.^

3.1^ A s´erie de Taylor...........................

3.1.1^ O erro m´edio..........................

3.1.2^ O erro integral.........................

3.2^ Polinˆomios Trigonom´etricos......................

3.3^ Aproxima¸c˜ao polinomial cl´assica...................

3.3.1^ Quadrados m´ınimos......................

3.3.2^ O m´etodo de Gram-Schmidt.^

................^88

3.4^ S´eries num´ericas.^...........................

3.4.1^ Defini¸c˜oes e exemplos.^....................

3.4.2^ Crit´erios de convergˆencia.^..................

3.5^ S´eries de fun¸c˜oes............................ 1033.5.1^ S´eries de potˆencias....................... 1043.6^ Generaliza¸c˜oes.^............................ 1073.6.1^ Espa¸cos de fun¸c˜oes.^..................... 1073.6.2^ Convergˆencia condicional.

4 Aplica¸c˜oes^

4.1^ As s´eries de Fourier.^......................... 1154.2^ Fenˆomenos vibrat´orios, a m´usica................... 1164.3^ As comunica¸c˜oes.^.......................... 1174.4^ Compacta¸c˜ao de dados.^....................... 1184.5^ Equa¸c˜oes diferenciais......................... 119^5

4.6^ Tabelas diversas^........................... 122 II A integral no espa¸co vetorial R

5 Introdu¸c˜ao^

5.1^ Equa¸c˜oes param´etricas de uma curva................ 1275.1.1^ exemplos de curvas...................... 1275.1.2^ Nota¸c˜ao............................ 1295.2^ Fam´ılia de curvas........................... 1355.3^ Dimens˜ao e variedade^........................ 1355.3.1^ Hiperplano e hipersuperf´

(^4) ıcie no R............. 1385.3.2 Um pouco sobre classifica¸c˜ao de variedades^........ 1385.3.3 Conjunto aberto e fronteira de um conjunto........ 141 5.4^ Complementos sobre Integra¸c˜ao................... 1455.5^ Complementos sobre Geometria e Derivada

6 Somas m´ultiplas de Riemann

6.1^ Integral m´ultipla - Solu¸c˜ao^..................... 1616.2^ O caso da fronteira curva^...................... 170 7 A integral de linha^

7.1^ Integral de linha^........................... 1857.2^ Derivadas Parciais^.......................... 1907.3^ Aplica¸c˜oes das derivadas....................... 1987.3.1^ Vetor normal e gradiente

7.4^ Derivadas de fun¸c˜oes vetoriais.................... 2127.5^ Miscelˆanea de Exerc´ıcios....................... 213 8 O teorema de Green^

8.1^ Teorema de Green^.......................... 2238.1.1^ Campos vetoriais conservativos ou n˜

ao........... 223 8.1.2^ Forma trivial do Teorema de Green............. 2268.2 Rota¸c˜ao e fluxo............................ 240 9 Superficie^

9.1^ Superf´ıcie e ´area^........................... 2459.2^ Aplica¸c˜oes............................... 257 10 F´ormulas Integrais^

10.1 Generaliza¸c˜oes da integral...................... 263Bibliografia ............................................................................... i

Lista de Figuras^ 1.1^ Dois vetores somados geometricamente pela regra do paralelograma.

....^14

f1.2 No dom´ınio de W −→^ R^ em volta de um ponto P^ ∈^ W,^ h´a muitas dire¸c˜oes para escolher e estudar a varia¸c˜ao.^....................

1.3^ Campo vetorial - aproxima¸c˜ao de curva

..................^27

2.1^ A reta tangente ao gr´afico de^ f^.....................

(^2 2) 2.2 z = g(x, y) = x+^ ye plano tangente z^ =^ q(x, y)^............^36 3.1^ Gr´aficos simultˆaneos do polinˆomio de Taylor de grau 3 e da fun¸

c˜ao^ f^.^...^66 3.2^ Graficos simultˆaneos do seno e de seu polinˆ

omio de Taylor de grau 11.^...^67 3.3^ Reta tangente ao gr´afico de^ f^ no ponto

x^ =^ −2.^.............^70 3.4^ Polinˆomios de grau 11 e 13 do seno desenvolvidos em

x^ = 0.^........^71 3.5^ polinˆomio trigonom´etrico com 5 termos: aproxima¸

c˜ao da fun¸c˜ao dente de serrote em^ R.^..................................

3.6^ polinˆomio trigonom´etrico com 10 termos no intervalo [

−^15 ,^ 15]: aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao dente de serrote em^ R.^.......................

´3.7 Area associada a uma soma parcial-proje¸ c˜ao para traz - proje¸c˜ao para frente.^98 (^12) 4.1 gr´afico da par´abola x 7 → (x−^ x^ −^ 2) aproximada por um polinˆ 2 omio trigo- nom´etrico, no intervalo [−π, π].^...................... 1195.1 C´ıcloide desenhada `a m˜ao^........................ 1285.2 Arco de curva^.............................. 1305.3 Curva parametrizada^.......................... 1335.4 Um conjunto aberto Ω^ ∋^ P^ e um ponto.^................. 1436.1 C´ırculo de centro na origem coberto por uma malha uniforme

6.2^ O c´ırculo como dom´ınio de integra¸c˜ao.

7.1^ Uma curva e sua aproxima¸c˜ao poligonal

7.2^ Uma variedade linear e seu vetor normal

7.3^ Gr´afico aproximado da curva plana^.................... 1957.4^ Uma malha retangular em Ω induz uma parti¸

c˜ao no conjunto de sa´ıda^ W^. 200 7.5^ Uma superf´ıcie com ponto singular^.................... 2077.6^ Parametriza¸c˜ao do quadrado^ Q^ de lado 1, com v´

ertices (0,^ 0),^ (1,^ 1).^.... 215 7

8.1^ Os distintos caminhos entre^ P, Q^ no dom´

ınio Ω,^ ;^ α, β, γ^......... 229 8.2^ A fronteira de um dom´ınio inclue as fronteiras dos seus buracos...

a ori- enta¸c˜ao da fronteira pode ser determinada por tangˆ

encia.^......... 233 8.3^ A orienta¸c˜ao de uma curva pode ser incompat´

ıvel com a orienta¸c˜ao da fronteira.^234 8.4^ A indepenˆencia de caminhos; as curvas s˜

ao percorridas de acordo com aindica¸c˜ao das setas............................ 235 8.5^ A independˆencia de caminhos^...................... 2388.6^ Isot´ermicas e linhas de fluxo^....................... 2419.1^ O princ´ıpio do coseno^.......................... 246

As tres t´ecnicas b´asicas do C´alculo Neste cap´ıtulo vamos estudar as tres t´ecnicas b´asicas do C´alculo, derivada, integral e limite,tendo o espa¸co tridimensional como o cen´ario de trabalho. Limite ´e o estudo do comportamento assint´otico, usamos^ limite^ para definir a

integral^ e a derivada. Que ´e a integral? vocˆe ver´a depois que h´

a outras formas de se conceber a integral e que o pr´oprio limite ´e um tipo de integral, mas esta vis˜

ao ainda faz parte do futuro e n´os queremos usar o que vocˆe recentementre aprendeu. Para compreender o que era a integral,vocˆe, considerou uma fam´ılia de^ n^ retˆangulos sob o gr´

afico de uma fun¸c˜ao e lhes calculou a ´area^ A=xi^

f^ (x)∆x,ii e depois lhe disseram que^ quando os^ ∆xse aproximarem de zero a somai^

nP Axse apro-i^ i= ximar´a de um n´umero, este n´umero ´e a integral de

f.^ Mas pode n˜ao ser assim, neste caso a fun¸c˜ao n˜ao ´e integr´avel, ´e isto que caracteriza um

comportamento assint´otico. O comportamento assint´otico ´e a id´eia central deste cap´

ıtulo.

Cap´ıtulo 1 N´umeros e geometria no R

3 Resumo.

Vamos estudar os elementos e as estruturas b´

asicas para generalizar o C´alculo Diferencial e Integral univariado.Enquanto que no caso univariado tinhamos

f R ⊃ [a, b] →^ R^ e queriamos estudar a^ taxa de varia¸c˜ao^ instˆantanea de^ f^ num determinado ponto

x^ ∈^ [a, b],^ n˜ao havia muita escolha quanto `a varia¸c˜ao de^ x,^ para frente^ ou^ para tr´as. Aqui as fun¸

c˜oes ser˜ao multivariadas quer dizer que fnum ponto P ∈ W de uma fun¸c˜ao W −→^ R, h´a muitas dire¸c˜oes em que se pode escolher para estudar a taxa de varia¸c˜ao, veja a (fig. 1.2), p´

agina 15. Introdu¸c˜ao: ´algebra e Vetores. O conceito de vetor surgiu na F´ısica como muitas das no¸

c˜oes da Matem´atica. O conceito f´ısico estava ligado a uma entidade geom´etrica, uma “seta”, porque tinha que ter

dire¸c˜ao e intensidade.^ Esta vis˜ao geom´etrica ´e primitiva e tem que ser generalizada para ser melhoraplicada em distintas situa¸c˜oes. Como sempre, ´

e um processo^ alg´ebrico, ou formal^ que produz a generaliza¸c˜ao adequada.Os passos desta generaliza¸c˜ao seguem uma an´

alise do conceito que se deseja generali- zar.^ Com^ vetores, queriam os f´ısicos, estender o conceito de n´

umero.^ Os n´umeros eram pobres, representam apenas a^ intensidade, era preciso associar-lhe

dire¸c˜ao^ e^ sentido. Os tres conceitos se encontram sintetizados, geometricamente, num “

segmento de reta orientado”, que tem^ m´odulo,^ dire¸c˜ao^ e^ sentido. Entretanto os dois ´

ultimos conceitos se confundem uma vez que n˜ao ´e poss´ıvel falar de^ sentido^ sem

dire¸c˜ao. De uma certa forma se pode dizer que existem apenas dois novos conceitos num “

vetor”: intensidade^ (ou m´odulo) e ˆangulo, desde que se tenha estabelecido um padr˜ao adequado para medi¸

c˜ao de ˆangulos.^ Mas padr˜ao para medir tamb´em ´e necess´ario quando se fala em intensidade. A representa¸

c˜ao geom´etrica dos vetores conduziu naturalmente ao conceito geom´

etrico de soma destes objetos: a regra do pa- ralelograma, (fig. 1.1). As outras “coordenadas” contidas no conceito de vetor:

intensidade, ˆangulo, dire¸c˜ao, sentido, que de alguma forma se sobrep˜

oem, todas surgiram da concep¸c˜ao geom´etrica.Os conceitos de ˆangulo, comprimento ou m´

odulo, ficam todos ge-neralizados pelo conceito de^ produto escalar. Em Geometria Anal´ıtica se define o produto escalar de dois vetores, mas´´e na^ Algebra Linear que se estende convenientemente o conceito de n´

umero incluindo os vetores.Hoje encontramos a palavra vetor utilizada em computa¸

c˜ao ou mesmo em economia ou planejamento e a ideia subjacente ´e a mesma. No “vetor” que aparece em computa¸

c˜ao n˜ao tem sentido falar em m´odulo na verdade a palavra certa seria

matriz^ que generaliza a ideia de vetor: um objeto multi-num´erico, ou^ n´umero generalizado

como algumas vezes as estaremos chamando aqui para enfatizar.

Regra do Paralelogramasoma de dois vetores (^1098765432100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10) Figura 1.1: Dois vetores somados geometricamente pela regra do paralelograma. Uma outra inven¸c˜ao da Humanidade foi o n´ umero complexo, que ´e um tipo de vetor e surgiu de forma independente para resolver quest˜

oes alg´ebricas, como ´e o caso da raiz quadrado de^ −^1.^ Por sua origem alg´ebrica, os n´

umeros complexos tinham uma capacidade operat´oria completa:^ soma, multiplica¸c˜ao, divis˜

ao e subtra¸c˜ao.^ Nossos antepassados quase que reconheciam neles autˆenticos n´umeros, mas deixaram registrada a desconfian¸

ca de que havia alguma coisa^ errada^ no nome:^ n´umeros complexos

.^ Em seguida se descobriu que os n´umeros complexos eram uma^ esp´ecie^ de n´

umeros geom´etricos com uma representa¸c˜ao ve- torial de modo que o conjunto,^ C,^ dos n´umeros complexos, era plano, generalizando a reta R^ que representava os n´umeros reais. Nos s´

eculos 19 e 20 se multiplicaram as tentativas de constru¸c˜oes de^ n´umeros geom´etricos^ de dimens˜

ao maior do que 2, sobre^ R.^ Algumas dessas constru¸c˜oes tiveram sucesso, os^ quaternions

s˜ao um desses exemplos que tˆem uma^ ´algebra parecida com a dos^ n´umeros complexos.^ Na atual estrutura da Matem´

atica, os vetores s˜ao objeto de estudo de uma disciplina chamada

´ Algebra Linear, que ´e um “departamento” da ´Algebra. Neste primeiro cap´ıtulo faremos uma introdu¸

c˜ao sistem´atica, mas resumida, da ´algebra linear que ser´a necess´aria para estudar C´alculo Multivariado ao mesmo tempo em que iremosdesenvolvendo os conceitos do C´alculo. Vamos descrever o

cen´ario^ em que se vai desenvolver a^ a¸c˜ao. A figura (fig. 1.2) pretende ilustrar isto, num ponto

P^ do dom´ınio h´a v´arias dire¸c˜oes sobre as quais podemos estudar a taxa de varia¸

c˜ao de uma fun¸c˜aof W −→^ R, sugerindo, ent˜ao, que a derivada, que guarda o coeficiente angular instantˆ

aneo de uma fun¸c˜ao, tem que ser considerado em v´arias poss´ıveis dire¸

c˜oes.

1.1^ Opera¸c˜oes com vetores A^ regra do paralelograma, (fig.^ 1.1), cont´

em os elementos de semelhan¸ca de triˆangulos necess´arios para que se transporte

sentido^ e^ intensidade, contidos no objeto geom´etrico vetor, de modo que possamos

superpˆo-los geom´etricamente. Ao mesmo tempo ela cont´em, dentro da pr´

opria semelhan¸ca de triˆangulo, os elementos alg´ebricos da defini¸c˜ao:^ u^ = (a, b) ;^ v^ = (x, y)^

⇒^ u^ +^ v^ = (a^ +^ x, b^ +^ y).^ (1.1)

As fun¸c˜oes,^ pelo menos numa primeira aproxima¸

c˜ao, s˜ao objetos definidos em pontos de um determinado conjunto chamado^ dom´ınio

, aos quais se associam valores que se encontram no^ conjunto dos valores. O dom´ınio funciona como um^ conjunto de ´

(^3) ındices e podemos ver assim que Rnada mais ´e do que o conjunto de todas as fun¸c˜oes reais definidas no dom´

ınio^ {^1 ,^2 ,^3 }^ se podendo entender a nota¸c˜ao^ xcomo^ x(i),^ o valor dei^

x^ no ponto^ i. Esta ideia se pode generalizar para o conjunto de ´ındices^ [a, b],^ um intervalo da reta. No C´alculo univariado se definem as fun¸c˜

oes cont´ınuas e se mostra que^ soma de fun¸

c˜oes cont´ınuas^ ´e uma^ fun¸c˜ao cont´ınua, leia-se:^ soma de vetores ´

e um vetor. Se chamarmos^ V^ =^ C([a, b],^ R)^ ao espa¸co vetorial de todas as fun¸

c˜oes cont´ınuas definidas no intervalo^ [a, b]^ e tomando valores em^ R

,^ podemos verificar que^ C([a, b],^ R)^ tem todas as propriedades (prop. 4), p´agina 16, sendo um

espa¸co vetorial sobre o corpo^ R. A dimens˜ao deste espa¸co pode ser rapidamente discutida.^ Veja que, no caso do^ R

3 , o conjunto dos ´ındices, ´e o dom´ınio em que se encontram definidas as fun¸

c˜oes que formam este espa¸c o, que justificamos ser um espa¸

co de dimens˜ao 3.^ Agora estamos discutindo fun¸c˜oes cujo dom´ınio, leia^ conjunto dos ´ındices

, ´e o intervalo^ [a, b], que tem uma “quantidade” (^1) de elementos n˜ao finita.^ Assim, apenas comparando os conjuntos de ´

ındices, concluimos que as fun¸c˜oes cont´ınuas, definidas no intervalo

[a, b]^ tem uma “quantidade” n˜ao finita de informa¸c˜oes fazendo do espa¸co^ C([a, b],^ R)^

um espa¸co vetorial de dimens˜ao n˜ao finita.Os espa¸cos de polinˆomios tamb´em podem nos conduzir rapidamente `acompreens˜ao de que existem espa¸cos de dimens˜ao n˜ao finita.^ Como um polinˆ

omio de grau^ n^ ´e,^ intuitivamente, um vetor de dimens˜ao^ n^ + 1, porque precisamos de

n^ + 1^ informa¸c˜oes para escrevˆe-los, ent˜ao vemos que existem espa¸cos de dimens˜ao finita,

n, arbitr´arios contidos no espa¸co de^ todos os polinˆomios,^ R[x],^ que assim n˜ao pode ser um espa¸

co de dimens˜ao finita. Mas a^ natureza^ dos dois epa¸cos,^ C([a, b],^ R

)^ ou^ R[x]^ ´e distinta, como tamb´em ´e distinta a natureza da “n˜ao finitude” de suas dimens˜

oes.^ Estes fatos v˜ao nos levar a discutir no cap´ıtulo 2 os problemas de aproxima¸c˜ao. Observa¸c˜ao^3 Aproxima¸c˜ao, finitude, cardinalidade.Problemas:^ Como aproximar, com um n´

umero finito de informa¸c˜oes, um objeto que contenha uma^ quantidade n˜ao finita de informa¸

c˜oes?^ Existe alguma^ coisa^ n˜ao finita `anossa volta?Estes problemas se encontram no centro da investiga¸

c˜ao tecnol´ogica dos nossos dias uma vez que as^ informa¸c˜oes^ que temos guardar ou transmitir s˜

ao^ fun¸c˜oes, como a quantidade de energia contida num fenˆomeno, voz, figura, etc...Por outro lado, os instrumentos que temos para medir devem transformar estes fenˆ

omenos em uma quantidade finita de informa¸c˜oes, digitaliz´

a-las, para que possamos guard´a-las ou trnsmit´ı-las.Outra quest˜ao que fica para ser aprofundada ´

e esta sobre a “quantidade” de elementos n˜ao finita. Esta quest˜ao se constitue de uma teoria chamada

cardinalidade. Al´em de somar vetores, resultando n’outro vetor, e multiplicar vetores porescalares, resultando ainda n’outro vetor, precisamos do

produto escalar^ de dois vetores: Defini¸c˜ao 2^ Produto Escalar.^ u^ = (x,^ · · ·^ , x^1 n

)^ v^ = (y,^ · · ·^ , y)^ (1.2)^1 n n∑ < u, v >= xy=^ |u| · |v|^ cos(θ)^ (1.3)ii^ i=1 1 N˜ao se pode usar esta linguagem, “quantidade”, neste conceito, sem incorrer em con- tradi¸c˜oes de natureza l´ogica.

Vamos sintetizar o n´ucleo da id´eia, o

m´etodo formal da ´algebra entra em cena: na express˜ao acima temos um s´

ımbolo que representa o produto escalar, cuja defini¸c˜ao se encontra `a direita e tem propriedades que podemos facilmente

2 deduzir:^ Teorema^1 Propriedades do produto escalar em

3 R.

(1)^ < u, v >=< v, u >^

(2)^ < u, λv+^ βv>=^ λ < u, v>^ +^1 2

β < u, v>^ (1.5)^2 Estas duas propriedades caracterizam

<, >^ como uma forma (transforma¸c˜ao) bilinear que chamaremos de^ produto escalar

Exerc´ıcios 1^ 1. Fa¸cas contas e mostre que se^ < u, v >

n∑=^ xyii i=1 ent˜ao, < u, v >=< v, u >. (^2) 2. Mostre no Rque se^ u, v^ forem dois vetores unit´

arios, ent˜ao (veja que suas coordenadas podem ser escritas usando sen, cos),^ < u, v >= cos^ α^ cos

β^ + sin^ α^ sin^ β e deduza da´ı que^ < u.v >= cos^ θ^ ;^ θ^ =^ α^ −^ β^ ´e o ˆ

angulo entre os dois vetores.

3. Generalize, se^ u, v^ n˜ao forem unit´arios, ent˜

ao eles s˜ao multiplos de vetores unit´arios pelos escalares^ |u|,^ |v|^ e conclua que^ < u, v >=^

|u||v|^ cos^ θ

4. defini¸c˜ao “abstrata” de ˆangulo^ Mostre que a partir da defini¸

c˜ao de^ um pro- duto escalar^ num espa¸co vetorial, podemos definir o ˆ

angulo entre dois ve- tores dados, (solu¸c˜ao mais adiante no texto). Quando um espa¸co vetorial tiver um^ produto escalar

diremos que ´e um^ espa¸co euclidiano. Observa¸c˜ao^4 A estrutura euclidiana.^ Se identificarmos alguma^ fun¸c˜ao^ em outro espa¸

co vetorial tendo as mesmas propriedades do^ produto escalar, ent˜ao^ descobrimos^ um novo espa¸

co euclidiano e suas propriedades s˜ao muito parecidas, ou possivelmente as mesmas, do

(^3) R. ´E desta generaliza¸c˜ao que falavamos: o estudo acurado de um determinado exemplo nospermite uma estens˜ao de suas propriedades a uma fam´

ılia de objetos semelhantes a ele. Ao 2 N˜ao permita que o autor o intimide, pergunte se n˜

ao estiver claro...^ ou se cale para sempre.

mesmo tempo isto se constitue de um m´etodo expositivo que adotaremos que vai do particularpara o geral: a an´alise dos exemplos permite sua generaliza¸

c˜ao e uma classifica¸c˜ao adequada cria uma categoria de objetos aos quais a mesma an´

alise se aplica. Vamos aplicar tudo que estudarmos sobre o

(^3) R`as s´eries de Fourier, mais adiante, mas o espa¸co^ onde estaremos trabalhando ter´a como vetores,

fun¸c˜oes. Veja o exemplo logo a seguir em que estamos nos exercitando no que ser´

a necess´ario mais a frente.Chamamos sua aten¸c˜ao para a ambig¨uidade da defini¸c˜ao de produto escalar, (def.

2), na p´agina 17, usando^ soma^ e tamb´em o^ produto de m´

odulos. Apenas uma deveria ter sido apresentada como defini¸c˜ao, a outra sendo um teorema.

Os exerc´ıcios tentam sanar esta ambig¨uidade, resolva o exerc´ıcio e escolha quem ´

e a defini¸c˜ao e quem ´eo teorema.^ Veja assim outro fato que passa desapercebido na constru¸

c˜ao da Matem´atica, que nem tudo ´e absoluto, muitas vezes vocˆe pode escolher o que ´

e^ defini¸c˜ao^ ou^ teorema. Escolha qual ´e o^ seu teorema.O produto escalar ´e t´ıpico dos^ espa¸cos vetoriais euclidianos

, e h´a espa¸cos em que n˜ao se pode definir um produto escalar coerente com a estrutura vetorial, nestes espa¸

cos se perde o conceito de ˆangulo. Neste livro trataremos apenas de espa¸

cos euclidianos. A parte final da defini¸c˜ao (def.^ 2) ´e de “natureza” geom´

etrica”, pode ser utilizada para definir^ ˆangulo^ quando a

geometria usual n˜ao der mais p´e: ˆ Defini¸c˜ao 3 Angulo. Dados dois vetores u, v^ o ˆangulo entre eles ´e o n´umero:< u, v >ˆangulo(u, v) = ar cos(^ )^ |u| · |v|^ O exemplo seguinte ilustra o m´etodo de generaliza¸

c˜ao. Exemplo 3^ Produto escalar no espa¸co^ C

([0,^2 π]). O conjunto de fun¸c˜oes cont´ınuas C([0, 2 π])^ ´e um espa¸co vetorial. Podemos somar fun¸

c˜oes, de forma semelhante como somamos os n´umeros, ou os vetores. Podemos multiplicar fun¸

c˜oes por escalares,^ como fazemos fazemos com os vetores.

Falta-nos,^ entretanto^ a^ sensa¸c˜ao gem´etrica de “seta” quando observamos uma fun¸

c˜ao, e ´e normal, porque as fun¸c˜oes s˜ao vetores de uma “dimens˜ao” muito superior a segunda ou terceira dimens˜

oes.^ Na verdade uma^ fun¸c˜ao^ de dimens˜ao “baixa” ´e simplesmente um vetor...^3 No espa¸co^ C([0,^2 π])^ podemosdefinir o produto escalar,

<, >,^ da seguinte forma: f, g ∈ C([0, 2 π]) (1.6) Z 2 π < f, g >= f (t)g(t)dt (1.7) 0 < f, g > ˆangulo(f, g) = ar cos( ). (1.8) |f | · |g| ´E f´acil mostrar que^ <, >^ tem as mesmas propriedades que o outro definido anteriormente,sendo assim uma forma bilinear, um produto escalar. Depois veremos que este produto escalarno espa¸co de fun¸c˜oes usualmente vem multiplicado por uma constante adequada a um certoobjetivo. Veja a defini¸c˜ao dos^ coeficientes de Fourier

. Observe ainda que o ˆangulo de uma fun¸c˜ao com ela mesma ´

e zero, como seria de espe- ´rar. E um pouquinho mais dif´ıcil ver a conex˜ ao entre duas fun¸c˜oes ortogonais entre si, o que acontece quando o produto escalar entre elas se anula. Mas existe um significado que genera-liza de forma natural a defini¸c˜ao geom´etrica de vetores ortogonais: os vetores

(0,^ −3),^ (1,^ 0) porque onde um se anula o outro n˜ao se anula, mas isto ´

e uma situa¸c˜ao bem particular. Nos exerc´ıcios vocˆe ser´a convidado a demonstrar um caso que diretamente generaliza este.^3 O uso do n´umero^ π^ tem como ´unica fun¸

c˜ao assustar o leitor... para n˜ao ficar assustado, troque-o e veja que tudo funciona igual.

Exerc´ıcio 1^ Vetores.1. equa¸c˜ao vetorial. Se^ A, B^ ∈^ R

3 forem dois vetores dados, resolva, expli-citando todas as propriedades usadas, a equa¸c˜ao A^ + 3X^ =^ B 2. equa¸c˜ao vetorial. Se duas fun¸c˜oes forem dadas: f, g ∈ C([a, b]^ x^ [c, d],^ R) e se for dado α ∈ R, resolva a equa¸c˜ao: f^ +^ αX^ =^ g.^2 2 Em particular, considere f (x, y) =^ exp(−x−^ y), g(x, y) = 1, α^ = 1

,^ e encontre^ X. 3. ortogonalidade.(a) Encontre o conjunto de todos os vetores ortogonais ao vetor

(3,^ 4)^ ∈

(^2) R (b) Encontre o conjunto de todos os vetores ortogonais ao vetor

(3,^ 4)^ ∈

(^3) R (c) Verifique que as fun¸c˜oes:^ f^ (x) =^ x^ ⇐^ x^ ∈^ [0, π] ;^ f^ ( x) = 0^ ⇐^ x /∈^ [0, π] g(x) = 0 ⇐ x ∈ [0, π] ; f (x) =^ x^ −^ π^ ⇐^ x /∈^ [0, π] s˜ao ortogonais em^ C([0,^2 π],^ R)^ com o produto escalar da integral.Verifique tamb´em que as fun¸c˜oes^ seno

e^ coseno^ s˜ao ortogonais no mesmo espa¸co. Calcule o m´odulo de todas as fun¸

c˜oes usando a de- fini¸c˜ao:√^ |f^ |^ =^ < f, f >. (d) Encontre todos os vetores ortogonais ao vetor^ p(x) = 3 + 4

(^2) x + x no espa¸co dos polinˆomios de grau menor ou igual a 2, (qual ´

e o produto escalar que vocˆe pretende utilizar ?)^2 (e) O polinˆomio^ p(x) = 3+4x+x´e um elemento do espa¸

c o^ C([a, b]^ x^ [c, d], Neste espa¸co o produto escalar canˆonico, ´

e o integral. Encontre al- guma fun¸c˜ao que seja ortogonal a^ p^ relativamente ao produto escalarintegral.

{^ 18. Trace os gr´aficos das fun¸c˜oes x^ =^ f^ (t)com y^ =^ g(t)^2 23 f (t) = t; g(t) = tf (t) = t; g(t) =^ tindique o sentido do percursode cada curva considerando que t^ cresce de negativo a positivo.

19. A que tipo de objeto correspondem as equa¸

c˜oes param´etricas ^ x^ =^ f^ (s, t)^ y^ =^ g(s, t)^ um plano, uma reta? qual ´^ z^ =^ h(x, t)

e a dimens˜ao deste objeto? Definimos uma opera¸c˜ao entre os vetores do espa¸

(^3) co R, chamada^ produto escalar, e queremos vˆe-la de uma outra forma. Veja que lhe demos o nome de produto^ porque ´e semelhante ao^ produto entre n´

umeros.^ De fato ´e esta seme- lhan¸ca que interessa, e o produto escalar define uma forma de

multiplicar^ vetores e outras entidades parecidas, as matrizes, objeto do nosso pr´

oximo cap´ıtulo. Exerc´ıcios 2^ Exerc´ıcios de revis˜ao 1. Propriedades da imagem de uma fun¸

fc˜ao Se X −→^ Y^ for uma fun¸c˜ao qual- quer, e^ A, B^ ⊆^ X^ verifique que(a)^ f^ (∅) =^ ∅;^ f^ (

X)^ ⊆^ Y^ ; (b) Se A ⊂ B ent˜ao f (A) ⊂ f (B);⋃⋃ (c) f (A) = f (A);ii i i (^) ⋂⋂ (d) f (A) ⊆ f (A).ii i i Verifique tamb´em que, para imagem inversa valem−^1 (a)^ f^ (∅) =^ ∅;^

−^1 f (Y^ ) =^ X; − 1 − (^1) (b) Se A ⊂ B ent˜ao f (A) ⊂ f (B);⋃⋃− 1 − (^1) (c) f (A) = f (A);ii i i (^) ⋂⋂− 1 − (^1) (d) f (A) = f (A).ii i i (^) − 1 c− 1 c (e) f (A) = [f (A)] em que^ A, B^ ⊆^ Y. 2. Sendo^ A, B^ dois conjuntos tais que^ A

⊂^ B^ calcule^ A^ ∪^ B^ ;^ A^ ∩^ B.

3. Mostre que a interse¸c˜ao de dois conjuntos convexos ´

e um conjunto con- vexo, mas que a uni˜ao de dois convexos n˜

ao precisa ser um conjunto con- vexo.4. Descreva o dom´ınio e o conjunto de valores de cada uma das fun¸

c˜oes definidas abaixo:^12 x^ f^ (x) =^ f^ (x) =^2 2 1+x^ 1+x

|x|f (x, y) = |y| (^24) −x−y 1 x−y f (x, y) = f (x) = f (x, y) = (^2 22 2 2) 1+x y−x x+y

5. intui¸c˜ao gr´afico de curva^ Sendo^ γ^

(^4 2) uma curvado plano,^ R, e f (^2 3) R → R dˆe exemplos (gr´aficos e alg´ebricos) ilustrando • f oγ pode ser um ponto (um ponto ´e uma curva diferenci´avel); • f oγ pode ser uma curva diverenci´avel (que hip´otese ´e necess´aria ?); • como seria o graf (f oγ), o gr´afico de f oγ, se^ γ^ for uma curva fe-chada.

6. Considere num cubo o v´ertice^ Pe os trˆ^0

es v´ertices que lhe s˜ao adjacentes P, P, P.^123 Considere a aplica¸c˜ao^ F^ que roda o cubo levando^ P^7 →^ P;^ P^7 →^1 2

P;^ P^7 →^ P^3 3

(a) Dˆe uma defini¸c˜ao geom´etrica para

F^ (descri¸c˜ao geom´etrica); (b) Encontre a matriz de F num sistema de coordenadas adequado (emque ela fique mais simples)^3 (c) Mostre que^ F^ =^ F oF oF^ ´e a identidade e portanto que

−^1 F =^ F oF^. M´etodos num´ericos e equa¸c˜oes diferenciais ordin´

arias^ Lista 01 Derivada, plano tangente, aprox. linear

tarcisio@member T. Praciano-Pereira^

Dep. de Matem alun@: Univ. Estadual Vale do Acara´u^

6 de fevereiro de

Por favor, prenda esta^ folha de rosto

na sua solu¸c˜ao desta lista,

deixando-a em branco. Ela ser´a usada na corre¸

c˜ao.

41 curva^ ´e uma fun¸c˜ao de classe^ Ccom derivada diferente de zero definida em um intervalone tomando valores valores em^ R

Exerc´ıcios 3^ Derivada, plano tangente, aprox.

linear^ objetivo:^ Conduzir @ alun@ a dominar gradientes, jacobianas, planos tangentes e mudan¸

cas de vari´aveis, campo vetorial, gr´aficos com apoio computacional.^ palavras chave:^ jacobiana, gradiente, derivadas parciais, variedades linea-res tangentes, produto escalar, campo vetorial.1. Verifique que a equa¸c˜ao de uma reta que passa na origem, no plano, seexpressa como o produto escalar de um vetor

(A, B)^ por um vetor posi¸c˜ao (x, y)^ arbitr´ario da reta. Fa¸ca um gr´

afico e interprete geometricamente o significado do vetor^ (A, B).^5 2. Ganhe agilidade, escolha 100vetores no plano e escreva as equa¸

c˜oes de retas perpendiculares a estes vetores expressando-as sempre no formatoindicado a seguir.^ Em cada caso escolha um ponto no plano por onde areta passa (observe a segunda equa¸c˜ao abaixo)^ •^ y^ =^ f^ (x) +^ c^ =^ mx^ +^ c^ •^ y^ =^ b^ +^ m(x^ −^ a) Teste sua solu¸c˜ao usando^ gnuplot^ com a equa¸

c˜ao no formato da primeira equa¸c˜ao acima.3. Se uma reta n˜ao passar pela origem, ainda assim ela ´

e paralela a uma outra reta que passa pela origem (supondo v´

oalido o 5postulado...). Deduza que a equa¸c˜ao geral da reta no plano ´e da forma^ <^ (A, B),^ (x, y)^ >=^ −C

≡^ Ax^ +^ By^ +^ C^ = 0

4. Qual ´e o lugar geom´etrico dos pontos

(^3) (x, y, z) do espa¸co Rtal que^ < (A, B, C),^ (x, y, z)^ >= 0?^ Deduza disto qual ´

e o lugar geom´etrico dos pon- (^3) tos do (x, y, z) do Rtal que^ Ax^ +^ By^ +^ Cz

+^ D^ = 0.

5. Sabemos que uma equa¸c˜ao^ S(x, y, z

) = 0^ n˜ao se altera se for multiplicadapor um n´umero diferente de zero. Multiplique Ax + By +^ Cz^ +^ D^ = 0. por um n´umero conveniente de modo que o vetor perpendicular ao planona equa¸c˜ao seja unit´ario. Comparando com a equa¸c˜ao do plano paraleloque passa na origem, deduza qual a distˆacia do plano Ax + By +^ Cz^ +^ D^ = 0. para a origem. Escreva suas conclus˜oes no formato “Teorema e demons-tra¸c˜ao”. 5 ao sentir que j´a domina o assunto pode parar antes da cent´

esima

6. As quest˜oes anteriores mostram que n˜

ao podemos ter uma forma simples para a equa¸c˜ao da reta em dimens˜ao maior que 2.

A sa´ıda para sim- plificar as equa¸c˜oes de variedades de dimens˜

ao 1 no espa¸co de dimens˜ao maior ou igual a 3 consiste em usar equa¸

c˜oes param´e tricas. Encontre as equa¸c˜oes param´etricas da reta paralela ao vetor

(1,^ −^1 ,^ 3)^ que passe pelo ponto^ (2,^2 ,^ 2).^6 7. Escolha 100vetores no espa¸co junto com 100 outras condi¸

c˜oes e escreva, em cada caso, as equa¸c˜oes param´etricas das retas determinadas por estes100 pares de condi¸c˜oes.8. Escreva a equa¸c˜ao geral (as equa¸c˜oes parametricas gerais) de uma reta,especifique os dados iniciais corretamente. Redija no formato “Teorema edemonstra¸c˜ao”.9. As equa¸c˜oes^ x=^ f(t) ;^ k^ ∈ {^1 k^ k

,^ · · ·^ , n}^ ;^ t^ ∈^ [a, b]^ (1.12) em que^ f´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel para cada valor do ´k^

ındice^ k, s˜ao as equa¸c˜oes param´etricas de uma curva no

n R, parametrizadas no intervalo [a, b]. Calcule a express˜ao do vetor tangente `

a esta curva no ponto a= f(t) ; k ∈ { 1 , · · ·^ , n}^ (1.13)k k 0 dado^ t∈^ [a, b].^0 10. sentido positivo ´e o anti-hor´ario^ Encontre equa¸

c˜oes param´etricas do c´ırculo trigonˆometrico, e derivando mostre que o sentido natural de percurso ´

e o anti-hor´ario.11. Encontre a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´

afico da fun¸c˜ao (^2 3) z = f (x, y) = x+ 3xy^ +^ y(1.14) no ponto^ (2,^3 ,^ 49) 12. Escolha 100 fun¸c˜oes, para cada uma delas calcule um ponto no gr´

afico e determine a equa¸c˜ao do plano tangente em cada caso, mas pode pararantes da cent´esima se tiver certeza de que entendeu todo o processo.13. Considere a curva plana^ γ^ = (x(t), y(t)) = (3t,

4 −^2 t) ;^ t^ ∈^ [−^3 ,^ 3]^ (1.15) e a superf´ıcie^ graf^ (f^ ) ;^ f^ (x, y

(^2 2) ) = x+^ y Encontre o vetor tangente `a imagem de

γ^ sobre a superf´ıcie correspondente ao valor^ t= 2^ ∈^ [−^3 ,^ 3]^ do parˆametro.^0 6 depois que tiver certeza que entendeu pode para antes da cent´

esima, mas n˜ao se engane.

Cap´ıtulo 2 Derivadas de fun¸

c˜oes

bivariadas 2.1^ A derivada Mais geral que os vetores ´e um objeto chamado

matriz, porque os vetores s˜ao tamb´em matrizes. Vetores s˜ao matrizes de um tipo particular, tem uma ´

unica linha, ou uma ´unica coluna. Exemplo 4^ Uma matriz 3^ x^ 4.Considere o esquema formado por 12 n´

umeros dispostos da maneira regular que abaixo se vˆe.^ ^1 ^

 2 3 − 1 ^ − 1 1 0 2 2 − 1 3 2

Podemos a´ı ver quatro vetores-coluna cada um com trˆ

es coordenadas ou pode- mos ver trˆes vetores-linha cada um com quatro coordenadas. As duas maneirasde ver s˜ao v´alidas.^ As matrizes generalizam os n´

umeros, enquanto que estes cont´em uma ´unica informa¸c˜ao de uma medida feita, agora as matrizes cont´

em v´arias informa¸c˜oes oriundas de distintas medi¸

c˜oes feitas que podem at´e ser de naturezas diferentes entre si.^ Por exemplo, uma matriz pode conter

taxas de varia¸c˜ao de pre¸cos, numa linha e na seguinte as

taxas de varia¸c˜ao de demanda por unidade^ dos produtos de uma empresa.As matrizes se aplicam hoje em uma incont´

avel quantidade de situa¸c˜oes e algumas vezes n˜ao representam n´umeros, mas

´ informa¸c˜oes estratificadas. E com frequˆencia^ o caso, quando se encontra o termo no contexto de processamentode dados. Neste livro as matrizes ser˜

ao sempre uma generaliza¸c˜ao de n´umeros, quase sempre ser˜ao^ taxas m´ultiplas de varia¸

c~ao^ como nos pr´oximos exem- plos. Exemplo 5^ Equa¸c˜ao da reta e equa¸c˜

ao plano.^29

Vamos evidenciar as semelhan¸cas entre as equa¸

c˜oes da reta e do plano. Uma express˜ao como^ y^ =^ ax^ +^ b

=^ f^ (x),^ (2.2) no plano, representa uma reta,^ porque

a^ taxa de varia¸c˜ao^ de^ y^ em rela¸c˜ao a

x ´e constante. Quer dizer, se^ x^7 →

x^ + ∆x^

ent˜ao^ y(x)^7 →

y(x^ + ∆x)^

de tal modo que^ y(x^ + ∆x)^ −^

y(x) = ∆y^ =^ a∆x.^

Uma outra forma de repetir o que foi dito acima ´

e: “se construirmos uma progress˜ao aritm´etica de raz˜ao^ ∆x^ com a vari´

avel^ x, produziremos a progress˜ao aritm´etica de raz˜ao^ a∆x^ com a vari´avel

y”.A consequˆencia disto ´e que o gr´afico de^ f^ cont´em qualquer progress˜ao ar- tim´etica do tipo mencionado acima, ´e uma reta. E, reciprocamente, como numareta podemos considerar qualquer progress˜

ao aritm´etica, todas com a mesma ra˜ao (o coeficiente angular da reta), ent˜

ao a equa¸c˜ao de qualquer reta ´e da forma (2)Podemos sempre escrever a equa¸c˜

ao (2) na forma f (x) = a(x^ −^ x) +^ y^00

como se seguintes c´alculos mostram^ f^ (x) =

y^ =^ ax^ +^ b^

f^ (x) =^ y^ =^ a(x^ −^ x) +^ ax+^ b^ =^00

f^ (x) =^ y^ =^ a(x^ −^ x) +^ y;^ y=^ ax^00 0

+^ b^ (2.9) (^) f (x) = a(x − x) + y(2.10) (^00) f (x) = y(2.11) 00 evidenciando que ´e a reta que passa no ponto

(x, y)^ e que tem coeficiente^00 angular^ a. O n´umero^ a^ ´e a^ derivada constante

de^ f^ : ′ a = f^ (x).^ (2.12) Se considerarmos, agora, a express˜ao z = g(x, y) =^ ax^ +^ by^ +^ c,^ (2.13) ela ir´a representar tamb´em uma figura de

tipo^ linear, porque, se^ g^ for associada a progress˜oes aritm´eticas das vari´aveis

x^ ou^ y,^ separadamente ou em conjunto, correspondem progress˜oes aritm´eticas da vari´

avel^ z^ com raz˜oes obtidas por mul- tiplica¸c˜ao pelos coeficientes^ a, b^ :

∆g^ =^ g(x^ + ∆x, y^ + ∆y)^ −^ g(x, y) =^

=^ a(x^ + ∆x) +^ b(y^ + ∆y) +^ c^ −^ (ax^ +

by^ +^ c) =^ (2.15)= a(x + ∆x) − ax + b(y + ∆y) − by^ =^ (2.16)= a∆x + b∆y (2.17)∆g = a∆x + b∆y (2.18) Podemos escrever de uma forma bem simples este c´

alculos generalizando imediatamente os c´alculos que fizemos no caso da equa¸

c˜ao da reta:( )( ) xa b (^) g(x, y) = z = + c,^ (2.19)y( )( ) ∆xa b (^) ∆g = a∆x + b∆y = (2.20) ∆y com um produto de matrizes, que ´e uma nova forma de multiplicar.

Se^ abs- trairmos^ a forma particular do coeficiente multiplicativo e da vari´

avel, podemos dizer que, designando o vetor^ X^ =

(^ )x^ (2.21)y z = g(x, y) =^ ax^ +^ by^ +^ c^ (2.22) g(X) = AX^ +^ c;^ (2.23)( )^ A = a^ b^ (2.24)( )^ ∆g = a^ b^ ∆X^ (2.25) z = g(X) = A(X^ −^ X) +^ AX+^ c^ (2.26)^00 z = g(X) = A(X − X) +^ z;^ z=^ AX+^ c^ (2.27)^000 0 ( )^ (^ )x −^ xx^00 z = g(x, y) = A^ +^ A^ +^ z(2.28)^0 y −^ y^ y^00 ´e a forma comum que tˆem as duas express˜

oes, nos dois exemplos, (caso univa- riado e caso bivariado).A equa¸c˜ao (28) ´e a equa¸c˜ao do plano que passa pelo ponto^ (x, y, z) = (^000

(^3) X, z) ∈ R(2.29) 00 sendo^ AX+^ c^ =^0

z=^ g(x, y)^ (2.30)^0 o valor de^ g^ no ponto^ X= (x, y).^0 00 No caso bivariado os coeficientes s˜

ao^ multin´umeros, as matrizes.Buscamos com as generaliza¸c˜oes operar com conceitos mais complexos com a mesma formalidade com que operamos com os conceitos mais simples. Esta

forma como conseguimos quebrar a barreira dimensional e falar de fenˆ

omenos multidimensionais com a mesma linguagem com que falamos dos fenˆ

omenos unidimensionais.Comparando com o exemplo univariado, vemos sintetizada na matriz os doiscoficientes “parciais” relativamente a^

x^ ou a^ y^ separadamente. Estes coeficientes ∂g∂gs˜ao caracterizados como ,^ chamadas ∂x^ ∂y^ derivadas parciais. A denomina¸c˜ao “derivadas parciais” ´

e oriunda dos tempos em que os^ desco- bridores^ destes conceitos n˜ao conseguiam ver que tinham a derivada de fun¸

c˜oes multivariadas em suas m˜aos e criaram uma denomina¸

c˜ao muito feliz, ainda que escondesse o pr´oprio conceito de derivada que levou um s´

eculo para ser clara- mente compreendido: as derivadas parciais s˜

ao os componentes da derivada, que ´e uma matriz que ficou sendo chamada de

jacobiana. Exemplo 6^ Generaliza¸c˜ao da reta tangenteNeste exemplo vou come¸car relembrando a equa¸

c˜ao da reta tangente ao gr´afico de uma fun¸c˜ao diferenci´avel^ y

=^ f^ (x), no ponto^ (a, f^ (a))^ que vocˆe pode ver na figura (2.1) p´agina 32,

x

y = f(a) + f’(a)(x − a)(a,f(a))f a^ Figura 2.1:^ A reta tangente ao gr´afico de^ f^ Em seguida, por compara¸c˜ao, vou apresentar a equa¸c˜ao do plano tangenteao gr´afico de uma fun¸c˜ao diferenci´avel^ z^ =^ f^ (x, y)^ no ponto^ (a, b, f^ (a, b

Vou partir da equa¸c˜ao da reta que passa pelo ponto^ (a, f^ (

a))^ (2.31) sendo tangente ao gr´afico de^ y^ =^ f^ (x

)^ neste ponto. Os c´alculos s˜ao

Com^ ratinho^ vocˆe pode produzir rota¸

c˜oes no gr´afico e assim ver a figura de distintos ˆangulos. Vocˆe tem assim um pequeno

filme^ para ajud´a-lo a entender o significado do^ plano tangente a uma superf´

ıcie.

a funcao ff(x,y) =^ x2^ + y2## derivadas parciaisdfx(x,y) = 2xdfy(x,y) =^ 2ya = -2b = 2## equacao do plano tangenteq(x,y) = f(a,b) + dfx(a,b)(x - a) + dfy(a,b)(y - b)## comando do gnuplot para fazer graficos bivariadossplot f(x,y), q(x,y)pause -2a = -5b = 5splot f(x,y), q(x,y)pause -2b = -5splot f(x,y), p(x,y)pause -2## a funcao gg(x,y) = x2 - 3xy + y2## derivadas parciaisdgx(x,y) = 2x - 3ydgy(x,y) =^ - 3x + 2ya = -1b = 1## equacao do plano tangentep(x,y) = g(a,b) + dgx(a,b)(x - a) + dgy(a,b)(y - b)## comando do gnuplot para fazer graficos bivariadossplot g(x,y), p(x,y)pause -2a = -2splot g(x,y), p(x,y)^ A sequ¨uˆencia de figuras (2.2) p´agina 36, pretende dar-lhe uma vis˜

ao do plano tangente ao gr´afico de^ z^ =^ f^ (x, y

(^2 2) ) = x+^ y(2.44) no ponto^ (−^2 ,^2 , f^ (−^2 ,^ 2))^ mas certamente o script acima deve lhe dar uma vis˜

ao mais dinˆamica lhe permitindo rodar o gr´

afico at´e que consiga captar a tangˆencia do plano. As figuras foram obtidas com

gnuplot^ e fotografadas no terminal.No script vocˆe tamb´em pode alterar a equa¸c˜ao para obter outros gr´aficos.

(^2 2) Figura 2.2: z = g(x, y) = x+^ ye plano tangente z^ =^ q(x, y) Observa¸c˜ao^5 Intepreta¸c˜ao geom´etrica^ No pr´oximo exemplo n˜ao tem sentido pensar-se em

interpreta¸c˜ao geom´etrica, observe que as dimens˜oes do espa¸co de chegada e sa´ıda superam as nossas experiˆ

´encias geom´etricas. E importante se desligar da necessidade da^ interpreta¸

c˜ao geom´etrica^ porque ela tem alcance li- mitado. A matem´atica se aplica com grande sucesso em an´

(^1) alises econˆomicase neste dom´ınio facilmente caimos em espa¸cos cuja dimens˜ao passa de centenas pois se contam aos milharesos^ itens^ da Economia. Neste momento as matrizes e os programas de computador se tornamcruciais. Exemplo 7^ Matriz dos coeficientes angulares: taxas de vari¸

c˜ao. (^4 3) Seja f : U ⊂ R^7 →^ R. Uma tal fun¸c˜ao se chama^ vetorial^ porque sua imagem em cada ponto

a^ ´e um vetor^ x^ = (x,^ · · ·^1

(^4) , x) ∈ U ⊂ R(2.45) (^4) f (x) = f (x, · · · , x) = (f(x), · · ·^ , f(x));^ (2.46) (^14134) f: R→ R ; i ∈ { 1 , 2 , 3 }^ (2.47)i (^) A vari´avel vetorial, (45), a fun¸c˜ao vetorial, (46), com trˆes fun¸c˜oes-coordenadas que chamamos de^ componentes, algumas vezes, (47).^1 n˜ao significa isto que as analises econˆomicas sejam feitas para beneficiar a popula¸

c˜ao, como at´e deveriam.

Ent˜ao no ponto^ a^ = (a,^ · · ·^ , a), a matriz^14 ^ ∂f^1 ∂x^1 ^ J(f^ )|=(a,···,a)^14

 ∂f ∂f ∂f (^111) ∂x ∂x ∂x 234  ∂f ∂f ∂f ∂f 2222 (2.48)^ ∂x ∂x ∂x ∂x (^1234) ∂f ∂f ∂f ∂f (^3333) ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 4 representa o^ coeficiente angular m´ultiplo

de^ f^. Cada um dos n´umeros(i,j)^ ∂(f^ )|(a,···,a)^14

∂fj= |(2.49)(a,···,a)^14 ∂xi representa um coeficiente angular parcial, tamb´

em chamado de^ derivada par- cial^ de^ fcom respeito `a vari´avel^ xj^ i

.^ Quando calculado no ponto^ (a,^ · · ·^1

, a)^4 produz um n´umero, cada um deles ´e uma taxa de

varia¸c˜ao instantˆanea^ de uma componente^ em uma certa dire¸c˜ao do espa¸

co. ∂fjA nota¸c˜ao n˜ao ´e a melhor possivel pois usa o s´ ∂xi^

ımbolo^ x^ quando tudo que interessaria usar ´e o ´ındice^ i.^ Uma nota¸

c˜ao mais precisa do que esta, existe, est´a indicada na equa¸c˜ao (49), e vocˆ

e pode analisar a equivalˆencia das duas. Aos poucos passarei a us´a-la em lugar da nota¸

c˜ao tradicional. A matriz dos coeficientes angulares parciais recebe o nome

2 de^ matriz jaco- biana de^ f^ =^ J(f^ ). Estamos aqui sob a suposi¸c˜ao de que

f^ ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel, nem todas as fun¸c˜oes o s˜ao, como ´e bem conhecido no caso univariado.Da mesma forma como uma fun¸c˜

ao univariada f : R^7 →^ R tem um ´unico coeficiente angular num determinado ponto, se for diferenci´

avel, (^4 3) tamb´em f : U ⊂ R^7 →^ Rtem ´unico “coeficiente angular m´

ultiplo”representado pela matriz^ J(f^ ),^ jacobiana de^ f^ , no ponto

(a,^ · · ·^ , a)^ em que estas derivadas^14 parciais foram calculadas,^ se^ f^ for diferenci´

avel.^ O diferencial de^ f^ no ponto (a,^ · · ·^ , a)^ ´e^14 df^ =^

J(f^ )dx^ =^ (2.50)  ^ ^  ^  dx ∂f^ ∂f^ ∂f^ ∂f^ dx (^111111) ∂x 1 ∂x^2 ∂x^3 ∂x^4  dx^ dx 2  ∂f^ ∂f^ ∂f^ ∂f^22222 = J(f ) ·=·(2.51)^  ∂x^ ∂x^ ∂x^ ∂x^1234 dx^ dx 33 ∂f^ ∂f^ ∂f^ ∂f (^3333) ∂x^ ∂x^ ∂x^ ∂x dx 1234 dx 44 que ´e uma express˜ao semelhante a do

diferencial de fun¸c˜oes univariadas: ′ df = f^ (a)dx;^ (2.52) mas^ agora sob a forma de um produto de matrizes, porque a derivada ´

e a matriz jacobiana.^2 este ´e um res´ıduo de pre-conceito entre os muitos que existem em Matem´

atica, a^ jacobina deveria ser chamada simplesmente de^ derivada

Este produto matricial pode ser expandido para se obter o que se chama de diferencial total:^ ^ ^ ^ dx^ ∂f^1 ∂f^1 dx+^1 ∂x^1 ^ dx^2 ^ df^ =^ J(f^ )=^ dx^3 dx^4

 1 ∂f 1 ∂f (^1) dx+ dx+ dx (^2 3 4) ∂x ∂x ∂x 2 3 4  ∂f∂f∂f∂f 2222 dx+ dx+ dx+ dx^ (2.53) (^1 2 3 4) ∂x ∂x ∂x ∂x (^1 2 3 4) ∂f∂f∂f∂f 3333 dx+ dx+ dx+ dx (^1 2 3 4) ∂x ∂x ∂x ∂x 1 2 3 4 aqui uma matriz cujas linhas s˜ao diferenciais totais

, e observe que agora nesta ´ultima equa¸c˜ao tem-se uma igualdade entre dois vetores-coluna ou matrizes 3x1. Observa¸c˜ao^6 Diferencial total e interpreta¸

c˜ao geom´etrica. A denomina¸c˜ao^ diferencial total^ vem de um tempo em que n˜

ao se compreendia bem que matrizes^ podiam ser^ coeficientes angulares m´

ultiplos^ ent˜ao se tentava criar um^ n´umero comum para obter alguma coisa semelhante ao coeficiente angular das fun¸

c˜oes univariadas. O diferencial total ´e um n´umero!^ Como ´

e um n´umero ele ´e uma ferramenta impor- tante nas aplica¸c˜oes da derivada, por exemplo nas mudan¸

cas de parˆametros (mudan¸cas de vari´aveis) que somos frequentemente obrigados a fazer.Hoje a compreens˜ao ´e clara que as matrizes s˜

ao um bom coefiente angular m´ultiplo. A jacobiana ´e a derivada de uma fun¸c˜ao no ponto em que for calculada e representa nesteponto o seu coeficiente angular.Coeficiente angular m´ultipo, insistindo!No caso univariado a reta tangente a^ f^ no ponto

(a, f^ (a))^ tem como coeficiente angular ′o n´umero f (a)^ e a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´ afico de^ f^ no ponto^ (a, f^ (a)^ ´e:′ y − f (a) = f (a)(x^ −^ a).^ (2.54) A equa¸c˜ao da reta guarda estreita semelhan¸

ca com o^ diferencial^ o que criou toda uma mito- logia:^ dy^ =

′ f (a)dx.^ (2.55) Um dos pontos mitol´ogicos ´e que o diferencial^ ´e um^ infinit´esimo, um conceito indefinido que atravessou mais de dois s´eculos.^ O modo moderno de sair deste mito ´

e dizer que a equa¸c˜ao (55) ´e a equa¸c˜ao de uma reta paralela `

a reta tangente (eq. 3.3) passando na origem. Outra forma de dizer ´e que o^ diferencial^ ´e um modelo para obter a equa¸

c˜ao da variedade linear tangente o que pode ser feito substituindo-se^ dx

:=^ x^ −^ a^

(2.56) dy^ :=^ f^ (x)^ −^ f^ (a)^

(2.57) se passa da^ equa¸c˜ao `a diferen¸cas^ para a^ equa¸

c˜ao da reta tangente no ponto (a, f^ (a)). As equa¸c˜oes (56), (57), mostram como usar o modelo.Finalmente o que h´a melhor para fazer com os^ infinit´esimos^ ´e arquiv´a-los, junto com outras^ m´umias sagradas, que devem descan¸

car em paz nas salas respeit´aveis dos museus, com o devido registro que muito fizeram para a nossa compreens˜

ao atual dos conceitos. No caso bivariado ou multi-variado, troque-se reta por plano ou

hiperplano. O plano tangente ao gr´afico de uma fun¸c˜

ao bivariada ´e um plano que tem o mesmo coeficiente angular^ m´ultiplo^ que a fun¸c˜ao tiver no ponto de tangˆ

encia. A linguagem geom´etrica se esgota com a dimens˜

ao trˆes.^ Variedade^ ´e a palavra que nomeia os entes geom´etricos que precisamos em dimens˜

ao maior do que trˆes. As retas s˜ao^ variedades de dimens˜ao 1, os planos s˜

ao^ variedades de dimens˜ao 2, etc... Uma fun¸c˜ao diferenci´avelfn^ R⊃ U^ → W ⊂

m^ R(2.58) ter´a uma variedade de dimens˜ao^ n^ x^ m^ −

1 que ´e tangente ao seu gr´afico em cada um dos pontos em que ela for diferenci´avel, em que

n, m^ s˜ao as dimens˜oes dos espa¸cos de saida e chegada.Observe a dimens˜ao da variedade tangente:

n^ x^ m^ −^1 ,^ ela ´e maior variedade linear n^ m^ pr´opria contida no espa¸co Rx^ Re se chama por isto um hiperplano.