Cálculo 2 - Ulbra Canoas, Exercícios de Cálculo

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Cálculo II

Cálculo II

Organizado pela Universidade Luterana do Brasil

Universidade Luterana do Brasil – ULBRA Canoas, RS 2017

Ana Brunet Arno Bayer Aureo Martins Janor Araujo Bastos Leomir Joel Schweig Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa

Sumário

• 1 Diferencial ............................................................................
• 2 Integral Indefinida ..............................................................
• 3 Integral Definida.................................................................
• 4 Aplicações da Integral Definida ...........................................
• 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas............
• 6 Integração por Partes ........................................................
• 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas ............
• 8 Funções Trigonométricas Inversas......................................
• 9 Integrais por Substituição ..................................................
• 10 Integração de Funções Racionais.......................................

Capítulo 1

Diferencial

Introdução

Continuando o estudo das derivadas, das tangentes às curvas e o estudo dos infinitésimos, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, criaram o Cálculo Diferencial e Integral. Euler, Lapla- ce, Cauchy e outros, a partir desses estudos, deram ao cálculo a sua forma atual.

Neste capítulo, estudaremos a diferencial de uma função, sua definição, interpretação e aplicações.

1 Doutor em Ciência da Educação. Docente pesquisador do PPGECIM. 2 Adaptado por Leomir Joel Schweig, Mestre Professor da Universidade Luterana do Brasil.

Arno Bayer 1 Leomir Joel Schweig 2

Capítulo 1 Diferencial 3

Calculando a diferencial da função identidade y = x, temos:

Então:

Considerando a expressão e dividindo os dois membros por dx, teremos:

Isso nos mostra que a derivada da função, f ´( x ), pode ser também expressa como o quociente entre as diferenciais dy e dx.

3 Interpretação geométrica da diferencial

Figura 1.2 Interpretação Geométrica.

4 Cálculo II

Mas, , então:

Da interpretação geométrica e das considerações, pode- mos ver que a diferencial determina o acréscimo aproximado da função quando a variável independente recebe um acrésci- mo. No gráfico, fica claro que, enquanto ∆x = dx, ∆y ≠ dy, mas quando ∆ x → 0, dy tende a se aproximar de ∆y.

O erro cometido na substituição de ∆y por dy pode ser des- prezado por ser muito pequeno, tornando-se cada vez menor na medida em que dx for diminuindo.

4 Aplicação da diferencial

Exemplo:

Usando o diferencial de uma função, determinar aproximada- mente a raiz quadrada de 83.

Podemos formar a função: y =

6 Cálculo II

2. Dada a função para e :

a) Calcular o valor de ∆y. Solução:

b) Calcular o valor de dy.

Solução:

c) Calcular a diferença entre dy e ∆y em módulo. Solução:

A diferença é pequena e será sempre menor na medida em que dx for diminuindo.

Capítulo 1 Diferencial 7

3. Calcular a , usando diferencial. Podemos associar a função.

Solução:

, acréscimo aproximado de y.

e

Sendo: x = 25 e ,

Logo: Valor real:

4. Calcular a variação que deve sofrer o lado de um qua- drado, que mede 4 cm, para que sua área não sofra uma variação maior do que 1 cm^2. Temos:

l (^) = 4 cm, dA = 1 cm^2

A =

l^2

l

l

l

l

l

Capítulo 1 Diferencial 9

Harbra. São Paulo.

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica.

Mc Graw-Hill. São Paulo.

TAYLOR, Howard E. e outro. Cálculo Diferencial e Integral. Limusa.

Atividades

1. Calcular a diferencial das funções:

a) b)

2. Dada a função. Para e

: a) Calcular b) Calcular c) Calcular a diferença

3. Calcular a , usando diferencial.

4. Calcular a variação que deve sofrer o raio de um círculo, que mede 10 cm, para que sua área não sofra uma varia- ção maior do que 2 cm².

5. Calcular quanto deve ser aumentado o raio de uma esfera para que seu volume aumente 15%.

6. Use diferenciais para aproximar:

a) b)^ c)^ d)^ e)

10 Cálculo II

7. O raio de uma circunferência aumenta de 10 m para 10, m. Utilize diferenciais para estimar o aumento na área do círculo correspondente.

8. Usando diferencial, calcule de quanto por cento deve au- mentar a medida da aresta de um cubo para que seu volu- me aumente 15%. E para que seu volume aumente 20%?

9. A aresta de um cubo aumenta de 20 cm para 20,01 cm. Utilize diferenciais para estimar o aumento no volume do cubo.

10. O raio de uma esfera aumenta de 8 cm para 8,01 cm. Utilize diferenciais para estimar o aumento no volume da esfera.

11. Usando diferencial, calcule o aumento da área de um quadrado de lado 20 cm quando ele sofrer um acréscimo de 1%.

12. O raio de uma esfera aumenta de 10 cm para 10,01 cm. Utilize diferenciais para estimar o aumento no volume da esfera.

13. Usando diferenciais, calcule de quanto por cento deve au- mentar o volume de um cubo quando a sua aresta aumen- ta 15%. E quando a aresta aumentar 5%?

12 Cálculo II

do plano xy e, em consequência, a resolução de inúmeros pro- blemas. Depois, a partir do Teorema Fundamental do Cálculo, veremos qual a relação que existe entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral.

Neste capítulo, iniciaremos o estudo do Cálculo Integral por meio da definição da antiderivada e suas propriedades operatórias e regras para o seu cálculo.

1 Definição de antiderivada

Uma função F ( x ) é uma antiderivada ou primitiva de uma função f ( x ) se F' ( x ) = f ( x ) para qualquer x pertencente ao domínio de f.

Por exemplo: Â A função é uma antiderivada ou primitiva da função , pois.

 A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois.  A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois.

Capítulo 2 Integral Indefinida 13

 A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função (^) , pois.

 A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois. Assim, podemos escrever infinitas funções F ( x ) que são an-

tiderivadas ou primitivas da mesma função , cada uma diferente da outra por uma constante, que simbolizamos por C. Então, podemos dizer que a função representa todas as antiderivadas ou primitivas da função

, pois:

O conjunto de todas as antiderivadas ou primitivas de f ( x ) é chamado de integral indefinida de f ( x ) em relação à variável x e é escrita por:

O símbolo (^) ∫ é o símbolo da integral. A função f ( x ) é o integrando da integral e dx indica que se está integrando em relação à variável x.

Assim, simbolizamos a integral de uma função f ( x ) em rela- ção à variável x da seguinte maneira:

, onde C é chamada de constante de integração.

Capítulo 2 Integral Indefinida 15

Quadro 2.1 Fórmulas de integrais e derivadas.

16 Cálculo II

Propriedades da integral indefinida: (a) Quando tivermos a integral do produto de uma cons- tante por uma função, a constante pode ser deslocada para fora da integral, multiplicando-a:

(b) A integral de uma soma é igual à soma das integrais:

(c) A integral de uma diferença é igual à diferença das integrais:

2 Exemplos

1. Calcular as seguintes integrais: