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NOTAS DE AULA 1
Nesta unidade, vamos estudar a antiderivação, que é a operação inversa da derivação. Conti-
nuando a considerar f ′ como a derivada de f , vamos passar a olhar f como a antiderivada de
f ′^.
Na derivação, por exemplo, investigamos a seguinte questão: qual é a função derivada da fun-
ção
3 f (x)= x? Achamos como resposta a esta pergunta
2 f ′( x)= 3 x. Já na antiderivação, per-
guntamos: qual é a função cuja derivada é
2 f ′(^ x)= 3 x? Encontramos como resposta a função 3 f (x)= x. De modo esquemático, partindo de f chegamos, por derivação, a f ′ e, partindo de
f ′ chegamos, por antiderivação, a f.
Orientações:
- Estude atentamente as Notas de Aula 1. Analise com bastante cuidado os exemplos apresen-
tados e os exercícios resolvidos.
- Estude este assunto, Funções, em um livro de Cálculo. O Questionário 1 pode ajudá-lo nessa
tarefa.
- Resolva os Exercícios 1. As questões neles propostas servem para você fixar conceitos e me-
lhorar sua habilidade em lidar com antiderivadas.
- Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio acadêmico, aos chats ou,
melhor ainda, a seu grupo de estudos de Cálculo.
Leia sempre o quadro de avisos!
Disciplina de Graduação: Cálculo II
UNIDADE 1: A ANTIDERIVADA
Professor: Jonas Lachini
3 f (x)= x f ′(x)= 3 x^2
antiderivação
derivação
1.1. A NOTAÇÃO DE DIFERENCIAIS
A derivada de uma função y = f(x), conforme estudado anteriormente, pode ser definida como
sendo a função x
y x 0
lim f (x) ∆
′ (^) = , onde ∆x é uma variação não nula de x e
∆y =f(x+∆x)−f(x )é a correspondente variação de y. Usamos também a notação dx
dy para
indicar essa derivada, lembrando que esta notação é um símbolo e não uma fração, embora
pareça ser e, em alguns casos, funcione como tal. (Lembre-se da regra da cadeia, na derivação
de funções compostas, quando podemos pensar em cancelar o termo du como se estivésse-
mos lidando com frações:
dx
dy
dx
du
du
dy
dx
du
du
dy
× = × = .)
Vamos considerar duas situações que nos permitem dar significado a cada um dos termos
de dx
dy e, com isso, mostrar que esse quociente é de fato a derivada f ′(^ x), ou seja, que é
verdadeira a igualdade dx
dy f ′(^ x)=.
Primeiro, vamos considerar a função linear y = mx+b, cujo gráfico é uma reta. Quando o valor
da variável independente passa de x para x + ∆x, a variável dependente passa de y para
y + ∆ y, ou seja, a um incremento ∆ x de x corresponde um incremento ∆ yde y. Observe isso
no gráfico da Figura 1.1.
Figura 1.
x (^) x +∆x
∆ y
∆ x
R
S
P
Com o uso da notação de Leibniz, as regras gerais de derivação podem ser dadas em fórmulas
equivalentes de diferenciação. Assim, se y = f(x), f(x) dx
dy = ′ e dy = f′(x)dx. Por exemplo,
se
3 y = x ,
2 3 x dx
dy = e dy 3 x dx
2 =.
Exemplo 1
Sendo y x 3 x 4 x 8
4 2 = + − + , determine dy.
Solução
A derivada y′^ é 4 x 6 x 4 dx
dy (^3) = + −. Então dy ( 4 x 6 x 4 )dx
3 = + −.
Podemos fazer esses cálculos diretamente, usando as regras de diferenciação nos dois mem-
bros da igualdade:
dy d(x 3 x 4 x 8 ) dy d(x ) 3 d(x ) 4 d ( x) d( 8 ) dy ( 4 x 6 x 4 )dx
4 2 4 2 3 = + − + ⇒ = + − + ⇒ = + −
Observe que, sempre que aparece diferencial no primeiro membro de uma igualdade, deve a-
parecer diferencial no segundo membro; em outros termos, sempre um diferencial é igual a ou-
tro diferencial.
Exemplo 2
Sendo y uma função de x, derivável e que satisfaz a equação x y 2 xy 5 0
2 3 − + = , determine
dy dx.
Solução
Calculando o diferencial de cada termo, temos:
y. 2 xdx x. 3 y dy 2 y.dx 2 xdy 0 0 ( 3 x y 2 x)dy ( 2 y 2 xy) dx
3 2 2 2 2 3
Então, considerando a última igualdade, podemos escrever: 3 x y 2 x
2 y 2 xy
dx
dy 2 2
3
Exemplo 3
Um círculo tem raio r = 5 cme área
2 A = πr. Determine, usando diferenciais, de quanto au-
menta a área desse círculo quando seu raio sofre um incremento ∆ r = 0 , 01 cm.
Solução
Diferenciando a função
2 A = πr , obtemos dA = 2 πrdr, onde dA é o incremento da área do
círculo quando o raio tem um incremento ∆ r =dr= 0 , 01 cm. Considerando r = 5 cme
∆ r =dr= 0 , 01 cm, temos:
2 dA = 2 π. 5. 0 , 01 = 0 , 1 π≈ 0 , 314 cm. Na Figura 1.3, o acréscimo da
área,
2 dA = 0 , 314 cm , corresponde à área da coroa circular.
Figura 1.
Sem usar diferenciais, podemos calcular ∆A para r = 5 cm e ∆ r = 0 , 01 cm:
2 2 2 ∆A =π.( 5 + 0 , 01 ) −π. 5 ⇒∆A= 0 , 1001 π≈ 0 , 3142 cm
Observe que, para valores pequenos de ∆ r, o valor de ∆A é bem próximo do valor de dA , o
que nos leva a escrever ∆ A ≈dA.
r ∆r
Para indicar a antiderivação, usamos o operador
Λ dt. Com ele, escrevemos:
s′ (t)dt=s(t)+C
Nesta notação, o operador ∫ Λ dt substitui a pergunta “qual é a função cuja derivada em rela-
ção a t é...?”. O símbolo ∫ é o sinal de antiderivação ou de integração ; dt é o elemento de in-
tegração e indica a variável independente ou o argumento; C é a constante de integração ou de
antiderivação. A função f (t)= s(t)+Cé a antiderivada mais geral ou a integral indefinida. Aqui,
o adjetivo indefinida tem o mesmo significado de indeterminada e é usado para indicar que a
integral indefinida é uma família de função, ou seja, que uma função tem uma infinidade de an-
tiderivadas, assim como um sistema de equações indeterminado apresenta uma infinidade de
soluções.
Exemplo 4
Uma partícula move-se em linha reta e tem aceleração dada por a (t)= t− 2. Sua velocidade
inicial é v ( 0 )= 3 mse seu deslocamento inicial é s( 0 )= 4. Determinar a velocidade desta par-
tícula e sua função posição.
Solução
A aceleração é a derivada da velocidade, o que nos permite escrever: v ′( t)=a(t)=t− 2. A
antiderivação nos dá: 2 t C 2
t v(t) v(t)dt (t 2 )dt
2 = ′ = − = − +
. Como v( 0 )= 3 mse v ( 0 )= C,
temos C = 3 e 2 t 3 2
t v(t)
2 = − +.
Uma vez que v( t)= s′(t), podemos calcular a função posição por antiderivação:
t 3 t D 6
t 2 t 3 dt 2
t s( t)
2
2 3 = − + +
Como s ( 0 )= 4 e s( 0 )= D, temos D = 4 e t 3 t 4 6
t s( t)
2
3 = − + +.
1.3. MOVIMENTO UNIFORME
Dizemos que um objeto está em movimento uniforme se ele se movimenta ao longo de uma
reta com velocidade constante. Se, por exemplo, um carro anda a 80 km h, a distância que
percorre num dado intervalo de tempo é:
Distância = taxa x tempo ou s (t)= 80 t
Nesta equação, s é a distância do carro, em quilômetros, até um ponto de referência fixo e t é o
tempo em horas. Outro modo de descrever o movimento do carro é por meio das equações:
dt
ds = ou s ′( t)= 80. Estas equações são chamadas de equações diferenciais para a função s
e dizemos que a solução destas equações resulta da resposta à pergunta: Qual é a função
s( t)= f(t )que devemos derivar para obter 80?
Uma resposta a esta pergunta é s( t)= 80 t porque ( 80 t) 80 dt
d = , conforme estudamos na deri-
vação de funções. Resolver a equação diferencial significa, como no cálculo da antiderivada, ir
de dt
ds para s, ou seja ir de s ′(^ t)=f′(t)para s( t)= f(t). Observe que a solução s( t)= 80 t é a
mesma que obtivemos usando Distância = taxa x tempo. Além desta resposta, qualquer função
da forma (^) s( t)= 80 t+Ctambém é uma solução porque a derivada de uma constante C é zero.
A equação s (t)= 80 t+C nos informa que s( 0 )= C, ou seja, s = C quando t = 0. Assim, a
constante C representa a distância inicial do carro até o ponto de referência (nem sempre o
carro parte necessariamente do ponto de referência). Denominando de s 0 a distância inicial, a
solução da equação 80 dt
ds = passa a ser s( t)= 80 t+s 0.
1.4. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Dizemos que um objeto está em movimento uniformemente acelerado quando se movimento ao
longo de uma reta com aceleração constante. Esse é, por exemplo, o tipo de movimento de um
objeto que se desloca sob a ação da gravidade. Assim, se v é a velocidade vertical e t é o tem-
da pedra, nesse instante, é v( 4 , 52 )= − 9 , 8 ×( 4 , 52 )=− 44 , 3 ms. (A velocidade é negativa por-
que consideramos a direção para cima como positiva e como negativa para baixo.)
Exemplo 6
Do topo de um edifício com 10 mde altura, um objeto é jogado verticalmente para cima, com
velocidade de 5 ms. Determine a altura máxima que esse objeto alcança e o instante em que
ele bate no chão.
Solução
É preciso determinar a posição do objeto em função do tempo. Como a velocidade é dada em
m s, utilizamos
2 g = − 9 , 8 m s. Medindo a distância acima do solo em metros, temos:
= =− 9 , 8 ⇒dv=− 9 , 8 dt⇒ ∫ dv=−∫ 9 , 8 dt⇒v(t)=− 9 , 8 t+C
dt
dv g
Como a velocidade inicial é 5 ms, v( 0 )= − 9 , 8. 0 +C= 5 ⇒C= 5. Assim, a equação da veloci-
dade é v (t)= − 9 , 8 t+ 5.
Para determinar a função posição, usamos:
9 , 8 t 5 ds ( 9 , 8 t 5 )dt ds ( 9 , 8 t 5 )dt s(t) 4 , 9 t 5 t D dt
ds v
2
Uma vez que o objeto parte de uma altura de 10 m, podemos escrever:
s( 0 ) 10 4 , 9. 0 5. 0 D 10 D 10
2 = ⇒− + + = ⇒ =
Assim, a posição do objeto é dada pela equação s( t) 4 , 9 t 5 t 10
2 = − + +.
O objeto atinge o ponto mais alto quando a velocidade é 0, o que nos permite escrever:
0 , 51 s 9 , 8
v( t)=− 9 , 8 t+ 5 = 0 ⇒t= ≈
Quando t = 0 , 51 s, a equação da posição nos dá:
s( 0 , 51 ) 4 , 9. ( 0 , 51 ) 5. 0 , 51 10 11 , 28 m
2 =− + + ≈
Assim, a altura máxima atingida pelo objeto e 11 , 28 m.
O objeto atinge o chão quando s = 0 , o que nos permite escrever:
s( t) 4 , 9 t 5 t 10 0 t 1 , 22 sout 3 , 27 s
2 =− + + = ⇒ ≈− ≈
Como o instante em que o objeto bate no solo tem de ser positivo, t ≈ 3 , 27 s.
1.5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E COMENTADOS
Orientações:
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados na Unidade 1 e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução das questões
das atividades.
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, você deverá procurar es- clarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação pelo correio acadêmico.
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse es- tudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao final, compor
uma visão bem completa do problema.
1) Encontre uma função y = f(x)tal que
3 f ′(^ x)=x e a reta x + y= 0 é tangente ao gráfico
dessa função.
Solução
O problema pede para achar uma antiderivada de
3 f ′( x)=x e, para isso, o problema afirma
que a reta x + y= 0 é tangente ao gráfico de f(x). Com base nessas informações, podemos
escrever:
a) A antiderivada mais geral é:
C
x f(x) xdx
4 3
2) Duas bolas são arremessadas para cima à margem de um penhasco com 432 pés acima do
solo. A primeira é arremessada com uma velocidade de 48 péss, e a outra é arremessada
1 segundo depois, com uma velocidade de 24 péss. As bolas passam uma pela outra al-
guma vez?
Solução
Aqui, como a velocidade é dada em pés/s, usaremos a aceleração
2 a = −32 pés s. Come-
çamos determinando as equações da velocidade e da posição para a primeira pedra arre-
messada:
v (t) 1 = ∫ ( 32) dt− = −32 t +C. Como v (0) 1 = 48, C = 0 e, assim, v (t) 1 = −32 t + 48.
A altura da primeira pedra ou a função posição é:
2
h (t) 1 = ∫ ( 32 t− + 48) dt = −16 t + 48 t +D.
De acordo com o problema, a altura no instante zero é de 432 pés: h (0) 1 = 432 ⇒ D = 432.
Desse modo, temos:
2 h (t) 1 = −16 t + 48 t + 432
Determinamos, agora, as equações da velocidade e da posição da segunda pedra:
v (t) 2 = ∫ ( 32) dt− = −32 t +C. Como v (1) 2 = 24 , temos: 24 = −32.1 + C ⇒ C = 56 e, assim,
v (t) 2 = −32 t + 56.
A altura da segunda pedra ou a função posição é:
2
h 2 (t) = ∫ ( 32 t− + 56) dt = −16 t + 56 t +D. Como h (1) 2 = 432 , temos:
2 432 = −16.1 + 56.1 + D ⇒ D = 392 h (1) 2 = 432 e, então,
2 h (t) 2 = −16 t + 56 t + 392.
A primeira e a segunda pedra se encontrarão caso a equação h (t) 1 = h (t) 2 tenha solução.
Para verificar isso, podemos escrever:
2 2 −16 t + 48 t + 432 = −16 t + 56 t + 392 ⇒ 8 t = 40 ⇒ t =5s
Concluímos que as duas pedras se encontram no instante t = 5s.
3) Um carro se movimentando a 90 kmh freia até parar em cinco segundos. Suponha que a
desaceleração seja constante.
a) Esboce o gráfico da velocidade em função do tempo t, no intervalo de tempo 0 ≤ t≤ 5 segundos.
b) Determine a distância percorrida pelo carro desde o instante em que os freios foram
acionados até o carro parar.
Solução
Considerando que a aceleração é
2 am s , determinamos a equação da velocidade:
v(t) = ∫a dt ⇒ v(t) = a t +C
Já que 90 kmh= 25 ms, v( 0 )= 25 e,assim,C= 25. Portanto, v( t)= at+ 25.
O problema afirma, ainda, que o carro pára em cinco segundos. Então,
v( 5 ) 0 5 a 25 0 a 5 ms e,dessa forma,v(t) 5 t 25
2 = ⇒ + = ⇒ =− =− +
Com a equação da velocidade, podemos achar a equação da posição ou da distância:
s (t) ( 5 t 25 )dt 2 , 5 t 25 t D
2
Como a distância está sendo medida a partir do momento em que o carro é freado, D = 0 e,
então, s( t) 2 , 5 t 25 t
2 = − +.
Com as equações obtidas, temos condições de responder às perguntas do exercício.
a) Esboce o gráfico da velocidade em função do tempo t, no intervalo de tempo 0 ≤ t≤ 5 segundos.
O gráfico da velocidade é um segmento de reta v( t)= − 5 t+ 25 , com 0 ≤ t ≤ 5 , confor-
me a figura a seguir.
EXERCÍCIOS 1
- Para cada um dos itens, determine uma função f com as propriedades indicadas:
a. f (x) 6 x 8 x 3
2 ′ = − +
b.
3 6 f ′′(x)= 2 +x +x
c. f (x) 8 x 12 x 3 ef( 1 ) 6
3 ′ = + + =
d. f ′(x)= 3 cosx+ 5 senx e f( 0 )= 4
e. f ′′(x)=x+ x,f( 1 )= 1 e f′( 1 )= 2
- O gráfico da função y = f(x) passa pelo ponto (1, 6) e a inclinação de sua reta tangente no
ponto (x, y) é m = 2 x+ 1. Determine o valor de y quando x = 2.
- Encontre uma função y = f(x)tal que
3 f ′(^ x)=x e a reta x + y= 0 é tangente ao gráfico
dessa função.
- Uma partícula move-se de acordo com as igualdades:
2 a( t)= 10 + 3 t− 3 t , s( 0 )= 0 e
s( 2 )= 10. Determine a posição da partícula em um instante t.
- Uma pedra jogada para cima de um penhasco de 98 metros e a uma velocidade 39 , 2 ms
acaba caindo na praia abaixo. Determine: a) o tempo necessário para que a pedra atinja
seu ponto mais alto; b) a altura máxima atingida pela pedra; c) o tempo que a pedra leva pa-
ra cair na praia; d) a velocidade com que a pedra bate na praia.
- Duas bolas são arremessadas para cima à margem de um penhasco com 432 pés acima do
solo. A primeira é arremessada com um velocidade de 48 péss, e a outra é arremessada 1
segundo depois, com uma velocidade de 24 péss. As bolas passam uma pela outra alguma
vez?
- Em um lago, gelo está sendo formado a uma taxa dada por k t dt
dy = , onde y é a espessu-
ra da camada de gelo, em centímetros, no instante t, medido em horas desde o momento
em que o gelo começou a se formar, e k é uma constante positiva. Determine y em função
de t.
- Um carro vai de 0 a 130 kmhem seis segundos com aceleração constante. Determine o
valor dessa aceleração.
- Um carro se movimentando a 90 kmh freia até parar em cinco segundos. Suponha que a
desaceleração seja constante.
a. Esboce o gráfico da velocidade em função do tempo t, no intervalo de tempo 0 ≤ t≤ 5 segundos.
b. Determine a distância percorrida pelo carro desde o instante em que os freios foram a-
cionados até o carro parar.
- Um jato 727 precisa atingir a velocidade de 320 kmhpara poder decolar. Se ele for capaz
de acelerar de 0 a 320 kmhem 30 segundos, qual o comprimento que a pista precisa ter?
(Suponha a aceleração constante.)
