Cálculo Numérico - Cuminato, Notas de estudo de Matemática

Baixe Cálculo Numérico - Cuminato e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!

Cálculo Numérico

José Alberto Cuminato

ICMC/USP

Sum´ario

• 1 Conceitos B´asicos
  • 1.1 Introdu¸c˜ao
  • 1.2 Espa¸co Vetorial
  • 1.3 Processo de Gram-Schmidt
  • 1.4 Proje¸c˜ao Ortogonal
  • 1.5 Auto-Valores e Auto-Vetores
  • 1.6 Exerc´ıcios Complementares
• 2 An´alise de Arredondamento em Ponto Flutuante
  • 2.1 Introdu¸c˜ao
  • 2.2 Sistema de N´umeros Discreto no Computador
  • 2.3 Representa¸c˜ao de N´umeros no Sistema F (β, t, m, M )
  • 2.4 Opera¸c˜oes Aritm´eticas em Ponto Flutuante
  • 2.5 Efeitos Num´ericos
    • 2.5.1 Cancelamento
    • 2.5.2 Propaga¸c˜ao do erro
    • 2.5.3 Instabilidade Num´erica
    • 2.5.4 Mal Condicionamento
  • 2.6 Exerc´ıcios Complementares
• 3 Equa¸c˜oes n˜ao Lineares
  • 3.1 Introdu¸c˜ao
  • 3.2 Itera¸c˜ao Linear
  • 3.3 M´etodo de Newton
  • 3.4 M´etodo das Secantes
  • 3.5 M´etodo Regula Falsi
  • 3.6 Sistemas de Equa¸c˜oes n˜ao Lineares
    • 3.6.1 Itera¸c˜ao Linear
    • 3.6.2 M´etodo de Newton
  • 3.7 Equa¸c˜oes Polinomiais
    • 3.7.1 Determina¸c˜ao de Ra´ızes Reais
    • 3.7.2 Determina¸c˜ao de Ra´ızes Complexas
    • 3.7.3 Algoritmo Quociente-Diferen¸ca
  • 3.8 Exerc´ıcios Complementares
  • 3.9 Problemas Aplicados e Projetos
• 4 Solu¸c˜ao de Sistemas Lineares: M´etodos Exatos
  • 4.1 Introdu¸c˜ao
  • 4.2 Decomposi¸c˜ao LU
  • 4.3 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss
  • 4.4 M´etodo de Gauss-Compacto
  • 4.5 M´etodo de Cholesky
  • 4.6 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss com Pivotamento Parcial
  • 4.7 Refinamento da Solu¸c˜ao
  • 4.8 Mal Condicionamento
  • 4.9 C´alculo da Matriz Inversa
  • 4.10 Exerc´ıcios Complementares
  • 4.11 Problemas Aplicados e Projetos
• 5 Solu¸c˜ao de Sistemas Lineares: M´etodos Iterativos
  • 5.1 Introdu¸c˜ao
  • 5.2 Processos Estacion´arios.
    • 5.2.1 M´etodo de Jacobi-Richardson
    • 5.2.2 M´etodo de Gauss-Seidel.
  • 5.3 Processos de Relaxa¸c˜ao
    • 5.3.1 Pr´ıncipios B´asicos do Processo de Relaxa¸c˜ao
    • 5.3.2 M´etodo dos Gradientes
    • 5.3.3 M´etodo dos Gradientes Conjugados
  • 5.4 Exerc´ıcios Complementares
  • 5.5 Problemas Aplicados e Projetos
• 6 Programa¸c˜ao Matem´atica
  • 6.1 Espa¸co Vetorial
• 7 Determina¸c˜ao Num´erica de Auto-Valores e Auto-Vetores
  • 7.1 Introdu¸c˜ao
  • 7.2 M´etodo de Leverrier
  • 7.3 M´etodo de Leverrier-Faddeev
  • 7.4 M´etodo das Potˆencias
    • 7.4.1 M´etodo da Potˆencia Inversa
    • 7.4.2 M´etodo das Potˆencias com Deslocamento
  • 7.5 Auto-Valores de Matrizes Sim´etricas
    • 7.5.1 M´etodo Cl´assico de Jacobi
    • 7.5.2 M´etodo C´ıclico de Jacobi
  • 7.6 M´etodo de Rutishauser (ou M´etodo LR)
  • 7.7 M´etodo de Francis (ou M´etodo QR)
  • 7.8 Exerc´ıcios Complementares
  • 7.9 Problemas Aplicados e Projetos
• 8 Aproxima¸c˜ao de Fun¸c˜oes: M´etodo dos M´ınimos Quadrados
  • 8.1 Introdu¸c˜ao
  • 8.2 Aproxima¸c˜ao Polinomial
    • 8.2.1 Caso Cont´ınuo
    • 8.2.2 Caso Discreto:
    • 8.2.3 Erro de Truncamento
  • 8.3 Aproxima¸c˜ao Trigonom´etrica
    • 8.3.1 Caso Cont´ınuo
    • 8.3.2 Caso Discreto
  • 8.4 Outros Tipos de Aproxima¸c˜ao
  • 8.5 Sistemas Lineares Incompat´ıveis
  • 8.6 Exerc´ıcios Complementares
  • 8.7 Problemas Aplicados e Projetos
• 9 Programa¸c˜ao n˜ao Linear
• 10 Aproxima¸c˜ao de Fun¸c˜oes: M´etodos de Interpola¸c˜ao Polinomial
  • 10.1 Introdu¸c˜ao
  • 10.2 Polinˆomio de Interpola¸c˜ao
  • 10.3 F´ormula de Lagrange
  • 10.4 Erro na Interpola¸c˜ao
  • 10.5 Interpola¸c˜ao Linear
  • 10.6 F´ormula para Pontos Igualmente Espa¸cados
  • 10.7 Outras Formas do Polinˆomio de Interpola¸c˜ao
    • 10.7.1 Diferen¸ca Dividida
    • 10.7.2 C´alculo Sistem´atico das Diferen¸cas Divididas.
    • 10.7.3 Alguns Resultados sobre Diferen¸cas Divididas
    • 10.7.4 F´ormula de Newton
    • 10.7.5 Diferen¸cas Ordin´arias
    • 10.7.6 C´alculo Sistem´atico das Diferen¸cas Ordin´arias
    • 10.7.7 F´ormula de Newton-Gregory
  • 10.8 Exerc´ıcios Complementares
  • 10.9 Problemas Aplicados e Projetos
• 11 Integra¸c˜ao Num´erica
  • 11.1 Introdu¸c˜ao
  • 11.2 F´ormulas de quadratura interpolat´oria
    • 11.2.1 F´ormulas de Newton-Cotes
    • 11.2.2 Erro nas F´ormulas de Newton-Cotes
  • 11.3 Polinˆomios Ortogonais
    • 11.3.1 Principais Polinˆomios Ortogonais
    • 11.3.2 Propriedades dos Polinˆomios Ortogonais
  • 11.4 F´ormulas de Quadratura de Gauss
    • 11.4.1 F´ormula de Gauss-Legendre
    • 11.4.2 F´ormula de Gauss-Tchebyshev
    • 11.4.3 F´ormula de Gauss-Laguerre
    • 11.4.4 F´ormula de Gauss-Hermite
  • 11.5 Erro nas F´ormulas de Gauss
  • 11.6 Exerc´ıcios Complementares
  • 11.7 Problemas Aplicados e Projetos
• 12 Solu¸c˜ao Num´erica de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias
  • 12.1 Introdu¸c˜ao
  • 12.2 M´etodo de Taylor de Ordem q
  • 12.3 M´etodos Lineares de Passo M´ultiplo
    • 12.3.1 Obtidos do Desenvolvimento de Taylor
    • 12.3.2 Obtidos de Integra¸c˜ao Num´erica
    • 12.3.3 Ordem e Constante do Erro
    • 12.3.4 Erro de Truncamento Local
    • 12.3.5 Consistˆencia e Estabilidade
    • 12.3.6 Convergˆencia
  • 12.4 M´etodos do Tipo Previsor - Corretor
    • 12.4.1 Erro de Truncamento Local
  • 12.5 M´etodo Geral Expl´ıcito de 1-passo
    • 12.5.1 Ordem
    • 12.5.2 Consistˆencia
    • 12.5.3 Convergˆencia
    • 12.5.4 M´etodos de Runge-Kutta
  • 12.6 Sistemas de Equa¸c˜oes e Equa¸c˜oes de Ordem Elevada
    • 12.6.1 Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais
    • 12.6.2 Equa¸c˜oes Diferenciais de Ordem Elevada
  • 12.7 Exerc´ıcios Complementares
  • 12.8 Problemas Aplicados e Projetos
• 13 Solu¸c˜ao Num´erica de Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais
  • 13.1 Introdu¸c˜ao
  • 13.2 Equa¸c˜oes Parab´olicas
  • 13.3 M´etodos de Diferen¸cas Finitas
  • 13.4 Problemas N˜ao Lineares
  • 13.5 Equa¸c˜oes Parab´olicas em Duas Dimens˜oes
  • 13.6 Equa¸c˜oes El´ıpticas
  • 13.7 M´etodos de Diferen¸cas Finitas
  • 13.8 Erro de Truncamento Local
  • 13.9 Condi¸c˜oes de Fronteira em Dom´ınios Gerais
  • 13.10Condi¸c˜ao de Fronteria de Neumann
  • 13.11Diferen¸cas Finitas em Coordenadas Polares
  • 13.12Exerc´ıcios
• 14 Exerc´ıcios Mistos

onde A, B s˜ao matrizes e α, β s˜ao escalares quaisquer. Logo o conjunto dos vetores e o das matrizes apresentam uma certa coincidˆencia estrutural no que se refere a um par importante de opera¸c˜oes definidas sobre eles. Nada ent˜ao mais l´ogico que estudar simultaneamente o conjunto dos vetores, das matrizes e todos os conjuntos que apresentem a mesma estrutura acima apontada.

1.2 Espa¸co Vetorial

Seja E um conjunto e seja K um corpo. Suponhamos que em E esteja definida uma opera¸c˜ao de adi¸c˜ao: (x, y) ∈ E × E → x + y ∈ E ,

e que esteja definida uma opera¸c˜ao entre os elementos de K e os elementos de E (chamada multiplica¸c˜ao por escalar): (α, x) ∈ K × E → αx ∈ E. Ent˜ao E ´e um K-espa¸co vetorial, em rela¸c˜ao a essas opera¸c˜oes, se as seguintes condi¸c˜oes estiverem satisfeitas: A 1 ) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ E , A 2 ) x + y = y + x, ∀x, y ∈ E , A 3 ) ∃ 0(zero) ∈ E / x + 0 = x, ∀x ∈ E , A 4 ) ∀x ∈ E, ∃ − x ∈ E / x + (−x) = 0 , M 1 ) α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ E , M 2 ) (α + β)x = αx + βx, ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ E , M 3 ) (αβ)x = (αβx), ∀ α, β ∈ K, ∀x ∈ E , M 4 ) 1 · x = x, ∀ x ∈ E. O leitor dever´a lembrar-se sempre de que, na defini¸c˜ao acima, n˜ao se especifica nem a natureza dos vetores nem das opera¸c˜oes. Assim qualquer conjunto que satisfa¸ca as oito condi¸c˜oes acima especificada ser´a um espa¸co vetorial.

Defini¸c˜ao 1.1 - Seja E um K-espa¸co vetorial. Os vetores v 1 , v 2 ,... , vk ∈ E s˜ao linearmente depen- dentes sobre K, se existem escalares α 1 , α 2 ,... , αk ∈ K, nem todos nulos, tais que:

α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + αk vk = 0.

Observamos que essa rela¸c˜ao ´e sempre v´alida se os αi, i = 1, 2 ,... , k s˜ao todos iguais a zero. Nesse caso dizemos que os vetores s˜ao linearmente independentes.

Defini¸c˜ao 1.2 - Um K-espa¸co vetorial tem dimens˜ao n se:

a) existem n vetores linearmente independentes;

b) (n + 1 ) vetores s˜ao sempre linearmente dependentes.

Defini¸c˜ao 1.3 - Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes ´e chamado base de um K-espa¸co vetorial de dimens˜ao n.

Assim, qualquer vetor do espa¸co pode ser representado como combina¸c˜ao linear dos vetores da base.

Mudan¸ca de Base

Estudaremos inicialmente mudan¸ca de base em um espa¸co vetorial bi-dimensional, e a seguir, em um espa¸co de dimens˜ao n.

a) Seja E = IR^2. Sejam B 1 = {e 1 , e 2 } uma base de E e v ∈ E, como mostrados na Figura 1.1.

a 22

v 2 a 21

v′ 2 e 2

v v′ 1

e′ 1

a 12 e 1 v 1 a 11

K e′ 2

Figura 1.

Ent˜ao v se exprime de maneira ´unica como combina¸c˜ao linear dos elementos de B 1 , isto ´e, existem escalares v 1 , v 2 (elementos de K) tais que:

v = v 1 e 1 + v 2 e 2 , (1.1)

(onde os escalares v 1 , v 2 s˜ao as coordenadas de v na base B 1 ). Seja B′ 1 = {e′ 1 , e′ 2 }, como mostrado na Figura 1.1, uma outra base de E. Analogamente, podemos escrever: v = v 1 ′ e′ 1 + v′ 2 e′ 2. (1.2) Desejamos saber como, dadas as coordenadas de v na base B 1 (aqui denominada base antiga), poderemos determinar as coordenadas de v na base B 1 ′ (aqui denominada base nova). Sendo e′ 1 , e′ 2 elementos de E podemos, em particular, escrever cada um deles como combina¸c˜ao linear dos elementos da base B 1. Assim: e′ 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 , e′ 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2.

isto ´e, cada vetor da base nova se exprime de maneira ´unica como combina¸c˜ao linear dos vetores da base antiga. Assim, em virtude de (1.1), (1.2) e (1.3) temos:

v = v 1 e 1 + v 2 e 2 = v′ 1 e′ 1 + v 2 ′ e′ 2 = v 1 ′ (a 11 e 1 + a 21 e 2 ) + v′ 2 (a 12 e 1 + a 22 e 2 ) = (v 1 ′ a 11 + v 2 ′ a 12 ) e 1 + (v 1 ′ a 21 + v′ 2 a 22 ) e 2.

Como as coordenadas de um vetor em rela¸c˜ao a uma determinada base s˜ao ´unicas, podemos igualar os coeficientes. Assim, obtemos o sistema linear: { v 1 = v′ 1 a 11 + v′ 2 a 12 v 2 = v′ 1 a 21 + v′ 2 a 22

Ent˜ao temos:

v =

∑^ n

i=

vi ei =

∑^ n

j=

v′ j e′ j

∑^ n

j=

v′ j

( (^) n ∑

i=

aij ei

∑^ n

i=

∑^ n

j=

aij v j′

 (^) ei , ⇒ vi =

∑^ n

j=

aij v′ j.

Assim, na forma matricial, podemos escrever:     

v 1 v 2 .. . vn

a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .

an 1 an 2... ann

v 1 ′ v 2 ′ .. . v′ n

ou v = A v′^ e v′^ = A−^1 v.

Exerc´ıcios

1.1 - Seja v = (2, 3 , 4)t^ na base canˆonica, isto ´e, na base: {(1, 0 , 0)t^ , (0, 1 , 0)t^ , (0, 0 , 1)t}. Calcular as coordenadas de v na base: {(1, 1 , 1)t^ , (1, 1 , 0)t^ , (1, 0 , 0)t}. 1.2 - Seja v = 3 b 1 + 4 b 2 + 2 b 3 , onde: b 1 = (1, 1 , 0)t^ , b 2 = (− 1 , 1 , 0)t^ , b 3 = (0, 1 , 1)t^. Calcular as coordenadas de v na base: f 1 = (1, 1 , 1)t^ , f 2 = (1, 1 , 0)t^ , f 3 = (1, 0 , 0)t^.

1.3 - Seja Kn(x) = {Pr (x) / r ≤ n} o espa¸co vetorial de todos os polinˆomios de grau ≤ n. A base canˆonica para o espa¸co dos polinˆomios ´e { 1 , x, x^2 ,.. .}. Seja P 3 = 3 + 4 x^2 + 2 x^3 e B 1 = { 5 , x − 1 , x^2 − 5 x + 3, x^3 − 4 } uma outra base. Calcular as coordenadas de P 3 em rela¸c˜ao `a base B 1.

1.4 - Sejam B 1 = { 5 , x − 1 , x^2 − 3 x} e B 2 = { 8 , 3 x + 2, 5 x^2 − 3 x} bases de K 2 (x). Seja P 2 (x) = 8{ 5 } + 4{x − 1 } + 3{x^2 − 3 x}. Calcular as coordenadas de P 2 (x) em rela¸c˜ao `a base B 2.

1.5 - Dado o polinˆomio P 3 (x) = 20 x^3 + 8 x^2 − 14 x + 28 exprim´ı-lo como combina¸c˜ao linear dos polinˆomios da sequˆencia: Q 3 (x) = 5 x^3 − 7 x + 12, Q 2 (x) = − 4 x^2 + 8 x, Q 1 (x) = 6 x − 1 , Q 0 (x) = 5.

Espa¸co Vetorial Euclidiano

Vamos definir aqui importantes no¸c˜oes de produto escalar e de ortogonalidade, visando introduzir, entre outras coisas o conceito de comprimento e distˆancia.

Produto Escalar

Seja E um espa¸co vetorial real. Sejam x, y elementos de E.

Defini¸c˜ao 1.4 - Chama-se produto escalar (ou produto interno) de x por y, em s´ımbolo, (x, y), qualquer fun¸c˜ao definida em E × E com valores em IR satisfazendo as seguintes propriedades:

P 1 ) (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ E , P 2 ) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ E , P 3 ) (λx, y) = λ(x, y), ∀λ ∈ IR, ∀x, y ∈ E , P 4 ) (x, x) ≥ 0 e (x, x) = 0 se e somente se x = θ(nulo).

Um espa¸co vetorial real E, onde est´a definido um produto escalar ´e chamado espa¸co euclidiano real.

Daremos a seguir alguns exemplos de produto escalar.

Exemplo 1.2 - Seja E = IR^2. Sejam x = (x 1 , x 2 )t; y = (y 1 , y 2 )t. Mostrar que, definindo:

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2. (1.7)

o IR^2 torna-se um espa¸co euclidiano real.

Solu¸c˜ao: Devemos mostrar que as condi¸c˜oes P 1 , P 2 , P 3 e P 4 est˜ao satisfeitas, isto ´e, que (1.7) ´e um produto escalar bem definido no IR^2. De fato:

P 1 ) (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 = y 1 x 1 + y 2 x 2 = (y, x). P 2 ) (x + y, z) = (x 1 + y 1 )z 1 + (x 2 + y 2 )z 2 = x 1 z 1 + y 1 z 1 + x 2 z 2 + y 2 z 2 = (x 1 z 1 + x 2 z 2 ) + (y 1 z 1 + y 2 z 2 ) = (x, z) + (y, z). P 3 ) (λ x, y) = λx 1 y 1 + λx 2 y 2 = λ(x 1 y 1 + x 2 y 2 ) = λ(x, y). P 4 ) (x, x) = x^21 + x^22 ≥ 0 (evidente). (x, x) = x^21 + x^22 = 0 ⇔ x^2 i = 0 ⇔ xi = 0 , ∀i ⇔ x = θ.

Logo, (1.7) ´e uma boa defini¸c˜ao de produto escalar.

Nos pr´oximos exemplos, a verifica¸c˜ao de que as condi¸c˜oes P 1 , P 2 , P 3 e P 4 s˜ao satisfeitas, fica como exerc´ıcio.

Exemplo 1.3 - Seja E = IRn. Para x, y ∈ E, isto ´e, x = (x 1 , x 2 ,... , xn)t^ , e y = (y 1 , y 2 ,... , yn)t, definimos:

(x, y) =

∑^ n

i=

xi yi , (1.8)

como um produto escalar no IRn. (1.8) ´e chamado de produto escalar usual no IRn. Tamb´em,

(x, y) =

∑^ n

i=

wi xi yi, (1.9)

com wi fixados e positivos, define no IRn^ um produto escalar.

Assim, tanto (1.8) como (1.9) transformam o IRn^ num espa¸co euclidiano real.

Exemplo 1.4 - Seja E = C[a, b] o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cont´ınuas reais definidas sobre o intervalo limitado fechado [a, b]. Se para f, g ∈ C[a, b] definimos:

(f, g) =

∫ (^) b

a

f (x) g(x)dx, (1.10)

tal espa¸co torna-se um espa¸co euclidiano real. (1.10) ´e chamado de produto escalar usual em C[a, b].

Dito de outro modo:os vetores n˜ao nulos v 1 , v 2 ,... , vm, dois a dois ortogonais, s˜ao sempre linearmente independentes. Prova: Devemos provar que:

α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + αmvm = 0 (1.12)

⇒ α 1 = α 2 =... = αm = 0. Em virtude de (1.12) podemos escrever, sucessivamente, para cada i = 1 , 2 ,... , m:

(vi , α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + αivi +... + αmvm) = (vi, 0) = 0 ,

ou seja: α 1 (vi, v 1 ) + α 2 (viv 2 ) +... + αi (vi, vi) +... + αm (vi, vm) = 0.

onde aplicamos P 2 e P 3. Mas (vi, vj ) = 0 , i 6 = j. Da´ı, a igualdade acima se reduz a:

αi (vi, vi) = 0.

Mas sendo vi 6 = θ, temos, usando P 4 , que (vi, vi) 6 = 0, para i = 1, 2 ,... , m. Portanto, da ´ultima igualdade conclu´ımos que, αi = 0 , i = 1 , 2 ,... , m. Logo, os vetores v 1 , v 2 ,... , vm s˜ao linearmente independentes.

Defini¸c˜ao 1.6 - Seja E um espa¸co euclidiano de dimens˜ao n. Se f 1 , f 2 ,... , fn s˜ao dois a dois ortogonais, ou seja, se (fi, fj ) = 0, i 6 = j, eles constituem uma base de E, que ser´a chamada de base ortogonal.

Teorema 1.2 - A condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que um vetor v ∈ E seja ortogonal a um sub- espa¸co E′^ ⊂ E ´e que v seja ortogonal a cada vetor e 1 , e 2 ,... , en de uma base de E′.

Prova: A condi¸c˜ao ´e evidentemente necess´aria. Provemos a suficiˆencia. Seja x um vetor qualquer de E′. Temos ent˜ao: x = α 1 e 1 + α 2 e 2 +... + αn en,

desde que e 1 , e 2 ,... , en ´e uma base de E′. Devemos mostrar que v ⊥ x. Assim:

(v, x) = (v, α 1 e 1 + α 2 e 2 +... + αn en) = α 1 (v, e 1 ) + α 2 (v, e 2 ) +... + αn (v, en) = 0 ,

desde que por hip´otese, v ⊥ {e 1 , e 2 ,... , en}. Logo v ´e ortogonal a E′.

Teorema 1.3 - Num espa¸co euclidiano real E quaisquer que sejam x, y ∈ E, temos:

(x, y)^2 ≤ (x, x) (y, y), (1.13)

com igualdade v´alida se e somente se x e y s˜ao linearmente dependentes.

A desigualdade (1.13) ´e chamada desigualdade de Schwarz.

Prova: Tomemos o vetor v = x + λ y, onde λ ´e um n´umero real qualquer. De P 4 , resulta:

(x + λ y, x + λ y) ≥ 0 ,

e usando P 2 e P 3 , obtemos: λ^2 (y, y) + 2λ(x, y) + (x, x) ≥ 0.

Para que o trinˆomio seja sempre ≥ 0 ´e necess´ario que ∆ ≤ 0. Assim:

∆ = 4(x, y)^2 − 4(x, x)(y, y) ≤ 0 , ⇒ (x, y)^2 ≤ (x, x)(y, y).

Mostremos agora que a igualdade ´e v´alida se e somente se x e y s˜ao linearmente dependentes. Seja x = λ y. Ent˜ao:

(x, y)^2 = (λy, y)^2 = [λ(y, y)]^2 = λ^2 (y, y)^2 = λ^2 (y, y)(y, y) = (λy, λy)(y, y) = (x, x)(y, y).

Isto ´e, x e y linearmente dependentes =⇒ (x, y)^2 = (x, x)(y, y).

Suponhamos, agora que a igualdade seja v´alida em (1.13). O caso y = θ ´e trivial. Suponhamos y 6 = θ. Temos que (x, y)^2 = (x, x)(y, y) ´e equivalente a:

(x + λ y, x + λ y) = 0 com λ = −

(x, y) (y, y)

Assim, de P 4 , conclu´ımos que x + λ y = 0. Ou seja x = (x, y) (y, y) y, e isto quer dizer que x e y s˜ao

linearmente dependentes.

Exerc´ıcios

1.6 - Em rela¸c˜ao ao produto escalar usual do IR^3 , calcule (x, y) nos seguintes casos:

a) x = (1/ 2 , 2 , 1)t^ , y = (4, 1 , −3)t;

b) x = (2, 1 , 0)t^ , y = (4, 0 , 2)t;

1.7 - Determinar (f, g) =

0 f^ (t)g(t)dt^ para cada um dos seguintes pares de vetores de^ K^2 (t). a) f (t) = t , g(t) = 1 − t^2 ;

b) f (t) = t − 12 , g(t) =^12 −

t − (^12)

1.8 - Sejam x = (x 1 , x 2 )t^ e y = (y 1 , y 2 )t^ dois vetores quaisquer do IR^2. Mostre que:

(x, y) =

x 1 x 2 a^2

y 1 y 2 b^2

com a, b ∈ IR fixos e n˜ao nulos define um produto escalar sobre o IR^2.

1.9 - Considere no espa¸co vetorial IR^2 o produto escalar dado por: (x, y) = x 1 y 1 + 2x 2 y 2 , para todo par de vetores x = (x 1 , x 2 )t^ e y = (y 1 , y 2 )t. Verificar se x e y s˜ao ortogonais em rela¸c˜ao a esse produto escalar nos seguintes casos:

a) x = (1, 1)t^ e y = (2, −1)t;

b) x = (2, 1)t^ e y = (− 1 , 1)t;

b) x = (3, 2)t^ e y = (2, −1)t;

bem definida no IRn. De fato:

N 1 ) ‖ x ‖E =

∑n

i=

x^2 i ≥ 0 (evidente).

‖ x ‖E =

∑n

i=

x^2 i = 0 ⇔

∑^ n

i=

x^2 i = 0 ⇔ xi = 0, ∀i ⇔ x = θ.

N 2 ) ‖ λx ‖E =

∑n

i=

λ^2 x^2 i =

√λ 2

∑^ n

i=

x^2 i = |λ|

∑n

i=

x^2 i = |λ| ‖ x ‖E.

N 3 ) ‖ x + y ‖^2 E =

∑^ n

i=

(xi + yi)^2 = (x 1 + y 1 )^2 + (x 2 + y 2 )^2 +... + (xn + yn)^2

= x^21 + 2x 1 y 1 + y^21 + x^22 + 2x 2 y 2 + y^22 +... + x^2 n + 2xnyn + y^2 n

=

∑^ n

i=

x^2 i + 2

∑^ n

i=

xiyi +

∑^ n

i=

y^2 i

∑^ n

i=

x^2 i + 2

∑n

i=

x^2 i

∑n

i=

y i^2 +

∑^ n

i=

y i^2 ,

onde usamos a desigualdade de Schwarz, isto ´e:

∑^ n

i=

xiyi ≤

∑n

i=

x^2 i

∑n

i=

y i^2.

Portanto, ‖ x + y ‖^2 E ≤ ‖ x ‖^2 E + 2 ‖ x ‖E ‖ y ‖E + ‖ y ‖^2 E = (‖ x ‖E + ‖ y ‖E )^2.

Assim: ‖ x + y ‖^2 E ≤ (‖ x ‖E + ‖ y ‖E )^2. Extraindo-se a raiz quadrada de ambos os membros, temos que: ‖ x + y ‖E ≤ ‖ x ‖E + ‖ y ‖E. Logo, (1.14) ´e uma boa defini¸c˜ao de norma.

No pr´oximo exemplo, a verifica¸c˜ao de que as condi¸c˜oes N 1 , N 2 e N 3 s˜ao satisfeitas, fica como exerc´ıcio.

Exemplo 1.9 - Seja E = IRn, e seja x = (x 1 , x 2 ,... xn)t. Definimos ent˜ao:

‖ x ‖∞ = max 1 ≤i≤n |xi| ,

‖ x ‖ 1 =

∑^ n

i=

|xi| ,

‖ x ‖ =

(x, x) ,

como normas no IRn.

Observa¸c˜oes:

1. ‖ x ‖=

(x, x) corresponde `a no¸c˜ao intuitiva de comprimento ou m´odulo de um vetor.

2. Se usarmos a defini¸√ c˜ao usual de produto escalar no IRn^ , isto ´e, se usarmos (1.8), ent˜ao: ‖ x ‖ = (x, x) =

√∑n i=1 x

2 i =^ ‖^ x^ ‖E^.

Exemplo 1.10 - Seja x = (− 1 , 10 , 3 , 4 , −20)t. Calcular ‖ x ‖E , ‖ x ‖∞ e ‖ x ‖ 1.

Solu¸c˜ao: Aplicando a defini¸c˜ao de cada uma das normas, obtemos:

‖ x ‖E =

(−1)^2 + (10)^2 + 3^2 + 4^2 + (−20)^2 ' 22. 93 ,

‖ x ‖∞ = max (| − 1 |, | 10 |, | 3 |, | 4 |, | − 20 |) = 20 , ‖ x ‖ 1 = | − 1 | + | 10 | + | 3 | + | 4 | + | − 20 | = 38.

Como vocˆe pode observar a aplica¸c˜ao de cada uma das normas definidas anteriormente fornece um resultado diferente. Entretanto, no IRn, todas as normas s˜ao equivalentes.

Defini¸c˜ao 1.8 - Duas normas ‖ · ‖a e ‖ · ‖b s˜ao equivalentes se existem constantes k 1 e k 2 tais que:

k 1 ‖ x ‖a ≤ ‖ x ‖b ≤ k 2 ‖ x ‖a , ∀ x ∈ E. (1.15)

Exemplo 1.11 - Como exemplos de normas equivalentes, no IRn, temos:

a) ‖ x ‖∞ ≤ ‖ x ‖ 1 ≤ n ‖ x ‖∞ , b) ‖ x ‖∞ ≤ ‖ x ‖E ≤

n ‖ x ‖∞ ,

c)

n

‖ x ‖ 1 ≤ ‖ x ‖E ≤

x ‖ x ‖ 1.

Vamos verificar que o item a) ´e verdadeiro; a verifica¸c˜ao das demais fica como exerc´ıcio.

Solu¸c˜ao: Temos:

‖ x ‖∞ = max 1 ≤i≤n

|xi| = max{|x 1 |, |x 2 |,... , |xn|}

= |xk| ≤ |xk| +

k∑− 1

i=

|xi| +

∑^ n

i=k+

|xi| =

∑^ n

i=

|xi| = ‖ x ‖ 1

= |x 1 | + |x 2 | +... + |xn| ≤ {|xk| + |xk| +... + |xk| ︸ ︷︷ ︸ n vezes

= n|xk| = n max 1 ≤i≤n |xi| = n ‖ x ‖∞.

Teorema 1.4 - A desigualdade de Schwarz (1.13) pode ser escrita como:

|(x, y)| ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖. (1.16)

Prova: A prova deste teorema fica como exerc´ıcio.

Um vetor x, de E, ´e unit´ario se seu comprimento ´e igual a 1, isto ´e, se ‖ x ‖= 1.

Defini¸c˜ao 1.9 - Seja E um espa¸co euclidiano de dimens˜ao n. Os vetores f 1 , f 2 ,... , fn formam uma base ortonormal de E se eles forem vetores ortonormais, ou seja, se:

(fi, fj ) = δij =

1 se i = j, 0 se i 6 = j.

Solu¸c˜ao: Usando cada uma das defini¸c˜oes dadas anteriormente, obtemos:

||A||∞ = | 6 | + | 3 | + | 4 | = 13 , ||A|| 1 = | 3 | + | 6 | + | − 1 | = 10 , ||A||E = (9 + 4 + 1 + 36 + 9 + 16 + 1 + 4 + 1)^1 /^2 = 9.

Como no caso de vetor, as normas de matrizes tamb´em s˜ao equivalentes, isto ´e, satisfazem uma rela¸c˜ao do tipo (1.15), com o vetor x substitu´ıdo pela matriz A. A verifica¸c˜ao das desigualdades no pr´oximo exemplo fica como exerc´ıcio.

Exemplo 1.14 - Como exemplos de normas equivalentes, no espa¸co vetorial das matrizes de ordem n, temos:

a)

n

‖ A ‖∞ ≤ ‖ A ‖E ≤

n ‖ A ‖∞ ,

b)

n

‖ A ‖ 1 ≤ ‖ x ‖E ≤

n ‖ x ‖ 1 , c) ‖ A ‖∞ ≤ n ‖ A ‖ 1 , d) ‖ A ‖ 1 ≤ n ‖ A ‖∞.

Defini¸c˜ao 1.12 - Dada uma norma de vetor, podemos definir uma norma de matriz, que ser´a chamada de subordinada a ela do seguinte modo:

‖ A ‖= sup ‖x‖=

‖ Ax ‖.

Observe que a norma de matriz assim definida pode ser interpretada como sendo o comprimento do maior vetor no conjunto imagem {Ax} da esfera unit´aria {x / ‖ x ‖= 1} pela transforma¸c˜ao x → Ax.

Defini¸c˜ao 1.13 - Se uma norma de matriz e uma norma de vetor est˜ao relacionadas de tal modo que a desigualdade: ‖ Ax ‖ ≤ ‖ A ‖‖ x ‖ ,

´e satisfeita para qualquer x, ent˜ao dizemos que as duas normas s˜ao consistentes.

Note que existe um vetor x 0 tal que: ‖ Ax ‖=‖ A ‖‖ x ‖. Nestas condi¸c˜oes: ‖ A ‖= mink tal que ‖ Ax ‖≤ k ‖ x ‖.

Exerc´ıcios

1.14 - Considere os vetores do IR^6 : x = (1, 2 , 0 , − 1 , 2 , −10)t^ e y = (3, 1 , − 4 , 12 , 3 , 1)t. Calcule a norma de cada um desses vetores usando as normas definidas no exemplo 1.9.

1.15 - No espa¸co vetorial IR^4 , munido do produto escalar usual, sejam x = (1, 2 , 0 , 1)t^ e y =

(3, 1 , 4 , 2)t^. Determine: (x, y), ‖ x ‖, ‖ y ‖, d(x, y) e x^ +^ y ‖ x + y ‖

1.16 - Prove que num espa¸co euclidiano normado:

a) ‖ x + y ‖^2 + ‖ x − y ‖^2 = 2(‖ x ‖^2 ‖ +y ‖^2 ),

b) | ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | ≤‖ x − y ‖.

1.17 - Sejam u e v vetores de um espa¸co euclidiando tais que ‖ u ‖= 1, ‖ v ‖= 1 e ‖ u − v ‖= − 2. Determine (u, v).

1.18 - Considere as seguintes matrizes:

A =

; B =

 ; C =

Calcule a norma de cada uma delas usando as normas definidas no exemplo 1.12.

1.3 Processo de Gram-Schmidt

Em diversos problemas relacionados com espa¸co vetorial, a escolha de uma base para o espa¸co fica a crit´erio da pessoa que se propˆos a resolver o problema. E claro que sempre a melhor estrat´´ egia ser´a escolher a base que melhor simplifique os c´alculos. Em espa¸cos euclidianos, tem-se muitas vezes o caso em que a melhor escolha da base ´e aquela onde todos os seus vetores s˜ao mutuamente ortogonais ou ortonormais. Vimos anteriormente que uma sequˆencia ortonormal de vetores ´e sempre linearmente independente. Vamos agora mostrar que ´e sempre poss´ıvel construir, a partir de uma sequˆencia de vetores linearmente independentes {f 1 , f 2 ,... , fn}, uma sequˆencia ortogonal {e 1 , e 2 ,... , en}. Para obtermos uma sequˆencia ortonormal {e∗ 1 , e∗ 2 ,... , e∗ n}, basta fazer:

e∗ i =

ei ‖ ei ‖

, i = 1 , 2 ,... , n.

Teorema 1.6 - Todo espa¸co euclidiano n dimensional tem uma base ortogonal e uma base ortonormal.

Prova: Todo espa¸co euclidiano E ´e um espa¸co vetorial, e, portanto tem uma base. Seja f 1 , f 2 ,... , fn uma base desse espa¸co euclidiano. Vamos construir a partir de f 1 , f 2 ,... , fn uma base ortogonal de E. Seja {e 1 , e 2 ,... , en} a base procurada. Tomamos e 1 como sendo igual ao primeiro elemento da sequˆencia dada, isto ´e:

e 1 = f 1.

O elemento e 2 ser´a tomado como combina¸c˜ao linear do segundo elemento da sequˆencia dada e e 1 , ou seja: e 2 = f 2 + α 1 e 1 ,

onde α 1 ´e escolhido de tal maneira que e 2 seja ortogonal a e 1. Assim: (e 2 , e 1 ) = 0 → (f 2 + α 1 e 1 , e 1 ) = 0. Portanto, segue que:

α 1 = −

(f 2 , e 1 ) (e 1 , e 1 )

Vamos supor que j´a temos constru´ıdo os vetores: e 1 , e 2 ,... , ek− 1 , dois a dois ortogonais. O elemento ek ser´a tomado como combina¸c˜ao linear do ko^ elemento da sequˆencia dada e todos os ei, j´a calculados, isto ´e: ek = fk + αk− 1 ek− 1 + αk− 2 ek− 2 +... + α 1 e 1 ,