Baixe Cálculo A - Exercícios - Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
A
LISTA DE EXERCÍCIOS
- Esboce o gráfico de f, determine (^) f(x)
x a
f(x), lim
x a
lim
→
e, caso exista, f(x): x a
lim →
a)
x
x
f x
x
x (a= )
x
b)
x ,
x ,
f(x)
2
x
x (a= )
x ex
c)
x ,
x x, f(x)
2
x
x ( a= 0 ) d)
( ) x
x
f x
(a=- 2 )
x
x
02. Determine, se possível, a ∈ R, para que exista f(x)
x x
lim → (^) o
, sendo:
a)
ax ,
x ,
f(x)
x
x (x )
x
o b)^
−
a ,
(x )(x ) , f(x)
2 1 4 2
x
x ( xo = 2 )
- Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.
- Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R? R, tal que g é contínua e
g(x) = f(x), para todo x ∈ D(f):
x
x a) f(x) −
2
x,
x , b) f(x) 2
x
x
- Calcule os limites a seguir ,
a) lim( y y y ) y
5 4 2
1
→ −
b) (^) lim(logw lnw) w
→ 10
c) (^) lim e (x )
x
x
3
1
→
d) cosx
sen x lim x → π / 2 1 +
e) x
x lim x −
2
2
f) 1
3
→ x
x lim x
g) 8 1
3
2
→ (^) x
x x lim x /
h)
4 3 1
2
16 8
−
→
(x − )(x − )
lim e
x
i) 1
→ (^) x
x lim x
j) y y
y lim y (^) + +
2
1
k) x
x lim x (^) − −
4
l) 4
→ (^) x
x lim x
m)
lim
3
→ x
x
x
n)
lim
2
3
→ x
x
x
06. Determine, se possível, as constantes a, b e c ∈ R, de modo que f seja contínua em x 0 , sendo:
INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CÁLCULO A
a)
b ,
bx , f (x) 2
2 2
x
x (x 0 = 1) b)
2 bx
ax
x
f(x)
,x -
,x -
,x -
(x 0 = - 3)
- Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede:
e ,
lnx, a) f(x) x 0
x
x
- (^) lim f(x), lim f(x),lim f(x),limf(x),limf(x), lim f(x),limf(x), lim f(x) x → −∞ x→ 0 -^ x→ 0 +^ x→ 0 x→ 1 x→- 1 x→e x→+∞
- intervalos onde f é contínua.
/x ,
b)f(x)
x
x
x
- (^) lim f(x),lim f(x),lim f(x),limf(x),limf(x),lim f(x), lim f(x) x x x x x x
x → → →− →+∞ → →
→ −∞ − + 0 1 1 0 0
− x ,
log x,
c) f(x)
/
2
1 2
x
x
x
- (^) lim f(x),lim f(x),limf(x),limf(x) x →−∞ x→+∞ x→ 0 x→ 1
- estude a continuidade de f em x = 0.
x p ,
g x,
x ,
d) f(x) cot
4
π
π
x
x
x
lim f(x),lim f(x),lim f(x),limf(x), lim f(x), lim f(x), lim f(x), lim f(x ) x → −∞ x→ 0 −^ x→ 0 + x→ (^0) x→ π / (^2) x→ π - (^) x→ π + x→+∞
- ponto(s) de descontinuidade de f.
- Calcule:
a) (^) lim ( x x ) x
5 2
b) (^) lim ( x x x ) x
3 2 − + − → −∞
c) (^) lim ( e )
x
x
→ −∞
d) 5 2
2
→ −∞
lim x x x
e ) lim ( x x x) x
→ +∞
2 f) (x x) x
lim ln
2
0
→
g) x /x
lim 1 1 2
h) (^) lim ln( x)
x
→^ −
2
i)
1
1 1
2 3
lim
−
→
−
x
x
π
- Calcule os seguintes limites:
a) senx
x lim x
2
0
→
b) 2 0
x
x lim x
→^ +
c) 2
2
(x )
x lim x (^) −
→
d) 2
→ (^) x
x lim x
e) x
cos x lim x
→ 0
f) 3
lim (^3) −
→ − (^) x
x
x
a)
x x
x x
f x (x 0 = 2) b) f(x) = x
2 |x| (x 0 = 0) c) f(x) =
3
x (x 0 = 0)
d) f(x) = 2x
3
n
, n ∈ N
(x 0 ∈ R)
- Verifique em que ponto(s) a função f(x) = |x
2
- 1| não é derivável. Justifique sua resposta.
- Esboce o gráfico de f’ sabendo que f é dada pelo gráfico:
a) b)
(-2,3) (^) (1,3)
(5,-2)
(7,3)
0
0
(-2,4)
(-5,0)
(2,4)
D(f) = [–2, + 8 ) D(f) = R
obs: No intervalo [–2,2], f(x) = x
2
- Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em x = 1, sendo
− 1
1
2
x , x
ax b,x f (x).
- Determine as derivadas das funções a seguir:
a) y = 2x
4
2
2 ( 2 z 1 ) x
= c) y
y y y
w
d) 7
t
t u e) x .ln π x
y
3
3 6 1
= f) y x ( x )
/ / 2 1
2 3 1 3 = −
g) 2 ( 1 )
3
y = x +x+
x
- Determine a derivada de cada uma das funções a seguir:
a) y = (–2/5)senx + 9secx b) y = x senx + cosx c) f(x) = 2senx cosx + 8tgx secx
d) sect
tg t g( t)
= e) senx cosx
senx cos x g (x) −
= f)
senx
e
y
x
- Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa x 0 :
a) f(x) = 2x
3
- 3 x –1; x 0 = 1 b) f(x) = tg x; x 0 = p/4 c) f(x) = cossec x; x 0 = p/
- Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f(x) = x
3
2
- 4x nos quais a reta tangente é:
a) horizontal b) paralela à reta 2y + 8x – 5 = 0
- Em que ponto da curva y = 2 + x
2 a reta tangente tem ângulo de inclinação p/3?
- Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva f( x ) = 1/x , no qual a reta tangente é paralela à:
a) 1ª bissetriz b) 2ª bissetriz
- Seja f(x) = b – (x
2 /16). Determine a constante b de modo que a reta que passa pelos pontos M(0,5) e
N(5/2,0) seja tangente ao gráfico de f.
- Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x
2
- 3x e perpendicular à reta 2y + x = 3.
- Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(0,2) e é tangente ao gráfico de f(x) = x
3
. Ilustre a
interseção construindo o gráfico.
( Observe que o ponto P não pertence ao gráfico da função f(x) = x
3 )
- Determine a equação da reta tangente comum aos gráficos de f(x) = – x
2 e de g(x) = x
2
- Determine f’(x) supondo g e h deriváveis e
()
3
g x
xhx f x = , g(x)? 0
RESPOSTAS DA 1
a LISTA
1
1
2
a) 5
0
1
2
3
b)
lim f(x) ,lim f(x) , limf(x )
x 1 x 1 x^1
→ → →
− +
2 2 2
→ −^ →+ →
lim f(x) lim f(x) limf(x)
x x x
0 1
c)
1
d)
π
(π,2π)
0, -∞, +∞, 0, não é contínua em zero
porque limf(x) f( ) x
0
→
+∞, 0, +∞, não existe, 0, -∞, 2π, +∞;
x = 0 e x = π
- a), d), e) +8 b), f), h) – 8 c) 0 g) 1/2 i) p/
- a) Não existe pois =−∞
− →
senx
x lim
x
2
0
e =+∞
→
senx
x lim
x
2
0
b) – 8 c) + 8
d) + 8 e) N ão existe pois =−∞ − →
x
cos x lim
x
0
e =+∞
→ x
x
x
cos 3 lim
0
f) Não existe, pois =−∞ −
− → −^3
lim
3 x
x
x
e =+∞ −
→− 3
lim
3 x
x
x
g) – 8
- a),c) 0; b) 2 / 2 ; d) – 8 e) 3/2 f) – ½
- a) a = 1, b = -6; b) a = 0, b = -5; c) a = 0, b = 12, c = 36, d = 24
d) a = 4/3, b = 2/3; e) b = 6; f) a = 10, b = 8/3.
12.a) a b) a/b c) 1/2 d) 0 e) –1 f ) cos a g ) – sen a.
13.) , b) , d) , e) zero; c) +∞.
- f é contínua ∀x ∈IR−{ 2 , 5 };
- a) não existe; b) zero; c) não existe; d) 24; e)
n− 1 nxo
- f não é derivável em –1 e em +
a) b)
1 5
3 (5,5/2)
-3/
(5,-5/4)
-2 - 2
4/
2
4
4
- a = -1/2, b = 3/
- a) y´ = 8x
3
- 6x +1; b) x' = 4 / 3 ; c) 3
3 2 2 2
y
y y
w' (^) −
d) 2 7
(t )
u'
−
= − ; e) x ln π
( x )
x y'
2
3 2
2
3
6 1
= ; f)
3 3
x
y' = − ;
g) 2 ln 2 ( 1 ) 2 ( 3 1 )
3 2
y ′^ = x +x+ + x +
x x
- a) y´ = - (2/5) cosx + 9 secx tg b) y´= x cosx; c) f´(x) = 2 cos 2 x + 8 secx (2tg
2 x + 1 );
d) g´(t) = (1 + tgt) cost e) g´(x) = – 2(senx – cosx)
sen x
e senx x
y
x
2
( −cos )
- a) t: 9x – y – 5 = 0 e n: x + 9y – 37 = 0; b) t: y (x )en:y (x )
2 4
π π − = − − =− − ;
c) t: y = 1 e n: x = π/2.
- a) x = -2, x = 2/3; b) x = 0, x = -4/
- a) não existe b) (1,1), (-1,-1);
- b = –
- t: y = 2x - (25/4)
- t: y = 3x + 2
- t 1 : y = x + 1/4, t 2 : y = -x + 1/
3 ( )[ '() ( )]
2
2 2 3 3
g x
g xx h x
gx
x h x xh x hx f x −
