Baixe Cálculo 1 - Exercícios - Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA
C´alculo 1 - 2012/
o
Exerc´ıcio Escolar
1 - Calcule os seguintes limites:
( O uso da regra de L’Hˆopital n˜ao ´e permitido!)
a) (1.0 pt) lim x→ 7
x − 3
x^2 − 49
lim x→ 7
x − 3
x^2 − 49
x − 3
2 +
x − 3
= lim x→ 7
7 − x
(x^2 − 49) (2 +
x − 3)
lim x→ 7
−(x − 7)
(x − 7) (x + 7) (2 +
x − 3)
= lim x→ 7
(x + 7) (2 +
x − 3)
b)(1.0 pt) lim x→π
1 − sin(x 2
π − x
Fa¸ca u ≡ π − x. Ent˜ao x → π ´e equivalente a u → 0.
lim x→π
1 − sin(x 2 )
π − x
= lim u→ 0
1 − sin(π 2 − u 2 )
u
= lim u→ 0
1 − cos(u 2 )
u
lim u→ 0
1 − cos(u 2 ) u 2
c)(1.0 pt) lim x→ 64
x − 8 3
x − 4
Fa¸ca x = u
6
. Neste caso x → 64 ´e equivalente a u → 2.
lim x→ 64
x − 8 √ (^3) x − 4
= lim u→ 2
u^3 − 8
u^2 − 4
= lim u→ 2
(u − 2) (u^2 + 2 u + 4)
(u − 2)(u + 2)
lim u→ 2
(u^2 + 2 u + 4)
(u + 2)
2 - Calcule a derivada da fun¸c˜ao dada:
a)(1.0 pt) y = e
sin(2 x) ln
x
2
x .
e
sin(2 x) cos(2 x) 2 ln
x
2
x
. + e
sin(2 x) 2 x^ + 2 x^2 + 2 x
x
. + e
sin(2 x) ln
x
2
x ln(3).
1
b)(1.0 pt) y =
x^3
3
(1 + x sec(x))^3
x^3
(1 + x sec(x))
3 2
3 x^2
(1 + x sec(x))^3 − x3 3 2
(1 + x sec(x)).(sec(x) + x sec(x) tan(x))
(1 + x sec(x))^3
c)(1.0 pt) y = cos(x)
sin(x^2 ) .
Tomando-se o logaritmo:
ln(y) = sin(x^2 ) ln(cos(x))
Derivando:
y′
y
= cos(x
2 ) 2 x ln(cos(x)) − sin(x
2 )
sin(x)
cos(x)
e portanto:
y
′ = cos(x)
sin(x^2 )
cos(x
2 ) 2 x ln(cos(x)) − sin(x
2 ) tan(x)
3-(2.0 pts) Considere a fun¸c˜ao
f (x) =
x^2 se x ≥ 0 ,
−x^2 se x < 0.
Usando a defini¸c˜ao calcule a derivada desta fun¸c˜ao no ponto x = 0.
lim h→ 0 +
f (0 + h) − f (0)
h
= lim h→ 0 +
h^2
h
= lim h→ 0 +^
h = 0.
lim h→ 0 −
f (0 + h) − f (0)
h
= lim h→ 0 +
−h^2
h
= lim h→ 0 +^
−h = 0.
Como os dois limites laterais existem e s˜ao iguais entre si, segue que
f
′ (0) = 0.
4- (2.0 pts) Encontre as equa¸c˜oes das retas tangente e normal `a curva
y = e(
1 −x^2 )
no pontos onde essa curva intersecta a reta y = 1.
Os pontos de interse¸c˜ao s˜ao solu¸c˜oes de
1 = e
(^1 −x^2 )
0 = 1 − x
2
x = ± 1
Temos ent˜ao os pontos P 1 = (− 1 , 1) e P 2 = (1, 1).
