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NÚMEROS REAIS
Chamamos de Números Reais o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que inclui os: ✓ Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} ✓ Números Inteiros (Z): Z= {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...} ✓ Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, – 5/4...} ✓ Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....} DIAGRAMA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS:
Ao observar a figura acima, podemos concluir que:
➢ O Conjunto dos Números Reais (R) engloba 4 conjuntos de
números: Naturais (N), Inteiros (Z), Racionais (Q) e Irracionais (I)
➢ O Conjunto dos Números Racionais (Q) é formado pelos conjuntos dos Números
Naturais (N) e dos Números Inteiros (Z). Por isso, todo Número Inteiro (Z) é Racional
(Q), ou seja, Z está contido em Q.
➢ O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui os Números Naturais (N); em outras
palavras, todo número natural é um número inteiro, ou seja, N está contido em Z.
FUNÇÕES
Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro. O primeiro conjunto é chamado de domínio, e o segundo, contradomínio da função. As formulações matemáticas que envolvem equações podem ser estruturadas por meio de funções A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). Chamamos x de domínio e f(x) ou y de imagem da função. A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com elementos de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que: f: x → y
Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei de formação. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o valor de x. TIPOS DE FUNÇÕES As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber:
- Função injetora ou injetiva Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um exemplo:
- Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8}
- Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {A, C, D}
- Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, C, D}
- Função Sobrejetora ou sobrejetiva Na função sobrejetiva, todos os elementos do domínio possuem um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos.
Geralmente estudamos doze funções, que são: 1 – Função constante; 2 – Função par; 3 – Função ímpar; 4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau; 5 – Função Linear; 6 – Função crescente; 7 – Função decrescente; 8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau; 9 – Função modular; 10 – Função exponencial; 11 – Função logarítmica; 12 – Funções trigonométricas; 13 – Função raiz. Mostraremos agora o gráfico e a fórmula geral de cada uma das funções listadas acima: 1 - Função constante Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y). Fórmula geral da função constante: f(x) = c x = Domínio f(x) = Imagem
c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais. Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2 2 – Função Par A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente. Fórmula geral da função par: f(x) = f(- x) x = domínio f(x) = imagem
- x = simétrico do domínio Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x^2
4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b. Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau f(x) = ax + b x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente b = coeficiente Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x + 1 5 – Função Linear A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). Trata-se de um caso particular, pois b sempre será igual a zero. Fórmula geral da função linear f(x) = ax x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = - x/
6 – Função crescente A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e maior que um (a > 1). Fórmula geral da função crescente f(x) = + ax + b x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente sempre positivo b = coeficiente Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x
9 – Função modular A função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é caracterizado por (| |). Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo quanto positivo. Exemplo: |x| = + x ou |x| = - x. Fórmula geral da função modular f(x) = x, se x≥ 0 ou f(x) = – x, se x < 0 x = domínio f(x) = imagem
- x = simétrico do domínio Exemplo de gráfico da função modular: f(x) =
10 – Função exponencial Uma função será considerada exponencial quando a variável x estiver no expoente em relação à base de um termo numérico ou algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, o gráfico da função exponencial é decrescente. Fórmula geral da função exponencial f(x) = ax a > 1 ou 0 < a < 1 x = domínio f(x) = imagem a = Termo numérico ou algébrico Exemplo de gráfico da função exponencial crescente: f(x) = (2)x,^ para a = 2
12 – Funções trigonométricas As funções trigonométricas são consideradas funções angulares e são utilizadas para o estudo dos triângulos e em fenômenos periódicos. Podem ser caracterizadas como razão de coordenadas dos pontos de um círculo unitário. As funções consideradas elementares são:
- Seno: f(x) = sen x
- Cosseno: f(x) = cos x
- Tangente: f(x) = tg x Exemplo de gráfico da função trigonométrica seno: f(x) = sen (x + 2) Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x + 2)
Exemplo de gráfico da função tangente: f(x) = tg (x + 2) 13 – Função raiz O que determina o domínio da função raiz é o termo n que faz parte do expoente. Se n for ímpar, o domínio (x) será o conjunto dos números reais; se n for par, o domínio (x) será somente os números reais positivos. Isso porque, quando o índice é par, o radicando (termo que fica dentro da raiz) não pode ser negativo. Fórmula geral da função raiz f(x) = x 1/n f(x) = Imagem x = domínio/ base 1/n = expoente
