Cálculo Integral e Diferencial II, Resumos de Cálculo para Engenheiros

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Este material é parte integrante da disciplina “Cálculo Diferencial e Integral II”

oferecido pela UNINOVE. O acesso às atividades, as leituras interativas, os

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feitos diretamente no ambiente de aprendizagem onl ine.

• AULA 01 • REVISÃO:TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V)...........................................................
  • Algumas regras de diferenciação ................................................................................................
• AULA 02 • REGRA DO PRODUTO .................................................................................................
  • Regra do Quociente ..................................................................................................................
  • Regra da Derivação da Função Composta (Regra da Cadeia) ..................................................
  • Tabela de Derivadas .................................................................................................................
• AULA 03 • DERIVADA DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL .................................
  • Derivadas Sucessivas ............................................................................................................... - ) ...................................................................................................................
  • Definição de Função Inversa .....................................................................................................
  • Gráficos de algumas funções e suas inversas...........................................................................
  • Como derivar a função inversa ..................................................................................................
• AULA 04 • DERIVAÇÃO IMPLÍCITA..............................................................................................
  • Funções implícitas e explícitas ..................................................................................................
  • Derivação implícita ....................................................................................................................
• AULA 05 • DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA ......................................
  • Função na forma paramétrica....................................................................................................
  • Derivada de uma função na forma paramétrica .........................................................................
• AULA 06 • FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS............................................................................
  • Introdução .................................................................................................................................
  • Função de várias variáveis ........................................................................................................
    • Os cálculos são análogos àqueles das funções de uma variável:..........................................
  • Gráficos.....................................................................................................................................
• AULA 07 • DERIVADAS PARCIAIS...............................................................................................
  • Funções de várias variáveis ......................................................................................................
    • Derivadas parciais .................................................................................................................
• AULA 08 • DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ........................................................
• AULA 09 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................
  • 1. Equação de Laplace..............................................................................................................
  • 1. Diferencial total (ou Derivada Total).......................................................................................
• AULA 10 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................
  • 1. Vetor gradiente ......................................................................................................................
• AULA 11 • DERIVADA DIRECIONAL (Inclinação).........................................................................
• AULA 12 • JACOBIANO ................................................................................................................
• AULA 13 • MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS....................................
  • Teorema do valor extremo.........................................................................................................
  • Extremos ...................................................................................................................................
  • Determinação dos extremos relativos........................................................................................
  • Ponto de sela ............................................................................................................................
• AULA 14 • TESTE DA SEGUNDA DERIVADA (PARA EXTREMOS RELATIVOS OU LOCAIS) ...
• LIMITADOS................................................................................................................................... AULA 15 • DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E
• AULA 16 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................
• AULA 17 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................
• AULA 18 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................
• AULA 19 • REGRA DA CADEIA ....................................................................................................
  • Derivada total ............................................................................................................................
• AULA 20 • PLANO TANGENTE E RETA NORMAL.......................................................................
  • Exercícios..................................................................................................................................
• BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................

AULA 01 • REVISÃO:TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V)

Incrementos ou acréscimos: O incremento, ou acréscimo, de uma variável x é a

variação de x quando aumenta, ou diminui, de um valor x = x 0 para outro valor x = x 1 , dentro de

seu domínio.

Taxa Média de Variação

Quando D x Æ0 temos

f' (x)

Δx

f(x Δx) f(x)

Δx 0

lim

Δx

Δy

x 0

lim =

Æ

Æ

Calcule a derivada da função f(x) = 2x² + 3x – 2 usando a definição pelo limite:

Resolução:

lim 4 x 4 x 3 f'(x) 4 x 3.

x

x( 4 x 4 x 3 )

lim

x

4 x 4 x x 3 x

lim

x

2 x 4 x x 4 x 3 x 3 x 2 2 x 3 x 2

lim

x

{ 2 [(x 2 x x ( x) ] 3 x 3 x 2 2 x 3 x 2

lim

x

[ 2 (x x) 3 (x x) 2 ] ( 2 x 3 x 2 )

lim

x

f(x x) f(x)

lim

x

y

f'(x) lim

x 0 x 0

2

x 0

2 2 2

x 0

2 2 2

x 0

2 2

x 0 x 0 x 0

= D + + fi = +

D

D D + +

D

D + D + D

D

+ D + D + + D - - - +

D

+ D + D + + D - - - +

D

+D + +D - - + -

D

+D -

D

D

DÆ D Æ

DÆ DÆ

DÆ

DÆ DÆ DÆ

Algumas regras de diferenciação

• Derivada de uma constante

Δx

f(x Δx) f(x)

Δx

Δy + -

• Taxa instantânea de variação.
• Derivada da função y =f(x) = y’ = f’(x).
• f’(x) =

dx

dy

.

• Algumas Derivadas de funções trigonométricas
• Regras da Soma (e da Diferença)

Exemplos:

1. Ache a derivada de f(x) = x

4

• 4x

2 6x.

f(x) = sen x Æ f’(x) = cos x.(x)’ = cos x.(1) = cos x

f(x) = cos x Æ f’(x) = s en x.(x)’ = s en x.(1) = s en x

f(x) = tg x Æ f’(x) =

x

2 cos

1

= sec

2 x.

f(x) = cotg x Æ f’(x) =

x

2 sen

1

• = co ssec

2 x.

f(x) = sec x Æ f’(x) =

x

2 cos

senx

= sec x .tg x.

f(x) = cossec x Æ f’(x) =

x

2 sen

cosx

• (^) = cossec x .cotg x.

f(x) = arcsen x Æ f’(x) =

2 1 x

1

.

f(x) = arccos x Æ f’(x) =

2 1 x

1

-.

f(x) = arctg x Æ f’(x) =

2 1 x

1

.

f(x) = arccotg x Æ f’(x) =

2 1 x

1

-.

Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos:

[ ] [ ] (x)

' (x) g

' f

' f(x) g(x) f(x) g(x)

dx

d

• = + = +

[ ] [ ] (x)

' (x) g

' f

' f(x) g(x) f(x) g(x)

dx

d

• = - = -

Resolução: f ‘(x) = ( x4)’ + 4(x2)’ – 6(x)’ = (4x3)’ + 4(2x)’ – 6(1)’

f’(x) = 4 x

3 +8x 6.

1. Ache a derivada de g(x) =

2

x

8

• 4x

2

• 2x + 7.

Resolução: g’(x) =

.8x

7

• 4.2x – 2.1 + 0

¤ g ‘(x) = 4x

7

• 8x 2

Regra do Quociente

Exemplo:

Derive y =

4x 6

x 3

Resolução: Temos f = x 1 e g = 2x + 3

48x 36

16x

4x 6 4x 12

48x 36

16x

1.(4x 6) (x 3).

(4x 6)

(x 3)'.(4x 6) (x 3).(4x 6)'

dx

dy

48x 36

16x

dx

dy

Regra da Derivação da Função Composta (Regra da Cadeia)

Exemplos:

1. Derive y = (x

2

3 .

Resolução: Temos u = x

2

+ 1 Æ y = u

3 , portanto

y’ =

dx

du

.

du

dy

dx

dy

= = 3u

2 .u’ = 3.(x

2

2

. 2x = 3.(x

4 +2x

2

+1).2x ¤

y’ = 6x

5 +12x

3

• 6x

ou

Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos:

[ ]

2 g(x)

(x)

' (x).g(x) f(x).g

' f

g(x)

f(x)

dx

d -

Í

Î

È

Seja y = f(u) diferenciável em u.

Sejam u = g(x) e f[g(x)] diferenciáveis em x, temos:

dx

du .

du

dy

dx

dy

ou [^ ]^ [^ ]^

g(x).g'(x)

' f(g(x)) f

dx

d

com g(x) π^0

y’ = [ (x

2

3 ]’.(x

2

• 1)’ = 3.(x

2

2

.2x ¤ y’ = 6x5 +12x3 + 6x

1. Derive y = (3x

3 +2x)

2 .

Resolução: Temos u = 3x

3 +2x y = u

2 , portanto

y’ =

dx

du .

du

dy

dx

dy = = 2u .u’ = 2.(3x

3 +2x). (9x

2

• 1. = (6x

3

• 4x). (9x

2

y’ = 54x

5

• 48x

3

• 8x

ou

y’ = [(3x

3 +2 x)

2 ]’.(3x

3 +2 x)’ = 2.(3x

3 +2 x). (9x

2

• 1. = (6x

3

• 4x). (9x

2

¤ y’ = 54x

5

• 48x

3

• 8x

1. Derive y = sen 2x.

Resolução:.

y’ = [sen 2x]’.(2x)’ = cos2x. 2 ¤ y’ = 2.cos 2x

NOTA: Pensando na regra da cadeia, podemos, então, ampliar nossos conceitos de

derivação, uma vez que, ao derivarmos, por exemplo,cos x, temos que u = x, logo u’ = 1,

portanto, (cos x)’ = [cos x]’.(x)’ = ( sen x). 1 ¤ (cos x)’ = senx. Muitas vezes nos

esquecemos disso, o que acarreta em erros freqüentes e comuns, por exemplo, se a derivada de

cos x é sen x, é natural pensarmos que a derivada de cos 2x é sen 2x; natural, porém absurdo,

pois já vimos, pela regra da cadeia, que derivada de cos 2x é –2.sen 2x. Uma boa sugestão é

nunca se esquecer de derivar a função u.

Pensando nisso, preparamos uma tabela de derivadas onde a variável a ser operada não é

“x”, mas sim “u” (como função), notamos, em sala de aula, que houve significativo aumento de

compreensão das derivadas que usam regra da cadeia.

Segue abaixo, essa tabela:

senh u u’.cosh u

cosh u u’.senh u

tgh u

u

2 cosh

u'

cotgh u

u

2 senh

u'

arcsenh u

2 1 u

u'

arccosh u

u

u'

arctgh u

2 1 u

u'

, |u| < 1

arccotg h u

1

2 u

u'

• (^) , |u| > 1

f(u).g(u).h(u) f’(u)g(u)h(u)+f(u)g’(u)h(u)+f(u)g(u)h’(u)

y=f[g(x)]=f(u)

f’[g(x)].g’(x) =

dx

du .

du

dy (Deriv. função composta)

u+v u’ + v’

u v u’ v’

u.v u’v + uv’

u / v

2 v

u' v-uv'

uv ˜

¯

Á

Ë

Ê

• v'.lnu

u

u'v .

v u

AULA 03 • DERIVADA DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICA E

EXPONENCIAL

** Exemplo: y = e5x

Æ

y’ = e5x. (5x)’ = y’ = e5x. 5

y’ = 5.e

5x

Derivadas Sucessivas

Exemplo:

• f(x) = 8x

Æ

f’(x) = 32x

3 Æ

f’’(x) = 9 6x

Æ

f’’’(x) = 1 92x

Æ

f

iv (x) = 1 92

Æ

f

v (x) = 0.

• y =

x

e a

log

x.lna

dx

dy

x a

log Æ = =.

• y =

x

dx

dy lnx Æ =.

• y =

x e

dx

x dy e Æ =.

• y = e y' e.u'

u u

Æ =. **

• y = .lna

x a

dx

x dy a Æ =.

Seja y = f(x), chamamos de Derivada Primeira a função y’ = f’(x) obtida a partir da

derivação de y = f(x); se derivarmos y’ = f’(x) obteremos y’’ = f’’(x) ou Segunda

Derivada, e assim por diante, até y

n = f

n (x) possível.

Gráficos de algumas funções e suas inversas

a)

b)

Como derivar a função inversa

No nosso estudo, não nos interessa acharmos a função inversa propriamente dita, mas sim

a sua derivada.

Sabemos que f

1

(x) o f(x) = x (função composta) ¤ f

1

(f(x)) = x ¤ [f

1

(f(x)) ]’ = x’ ¤

¤ [f^

1

(f(x)) ]’ = 1 ¤ [ f

1

(f(x)) ]’. f’(x) = 1(regra da cadeia) ¤ [f

1 (f(x))]’ =

(x)

f

como y = f(x), também podemos denotar [ f 1 ]’(y) =

f (x)

'

Exemplos:

a) Sendo f(x) = x

5 2x

3

• 2x

2

• 3, calcule (f

1 )’ (^) (y).

Resolução:

[ f

1 ]’(y) =

4x

6x

5x

(x)

f

b) Idem para f(x) = x5 + 2x3 + x, com y 0 = 4.

Resolução:

Temos f(x) = y = 4 ¤ x5 + 2x3 + x = 4 \ x = 1

[ f

1 ]’(y) =

6x

5x

(x)

f

= , logo, substituindo x = 1 em [ f 1 ]’(y), temos:

(f

1 )’ (^) (4) = ¤

(f

1 )’ (^) (4) =

12

Em resumo: A derivada da função inversa é o inverso da derivada da função.

f(x)

Esse processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, o que

não ocorre, por exemplo, com y

5

• 3x

2 y + 5lny

3 = 0.

Para tanto, podemos utilizar um método chamado Derivação implícita

(ou diferenciação implícita), que nos permite derivar uma função sem a necessidade de

explicitá la.

Derivação implícita

Essa derivação é feita em relação a x. Resolvendo normalmente as derivadas que

envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regra da Cadeia,

uma vez que y é uma função de x.

Exemplos:

a) 3x + y

4

Resolução:

Sendo y uma função de x, devemos aplicar a regra da cadeia para diferenciar em relação

a x, daí :

dx

3 dy ) 3 4y

(y

dx

d (3x)

dx

d )

(3x y

dx

d

• = + = +

b) 2x 3y

Resolução:

dx

dy (3y) 2 3

dx

d (2x)

dx

d (2x 3y)

dx

d = - = -

c) 3xy²

Resolução:

dx

dy

6xy

3y

dx

dy

3x.2y

) 3y

(y

dx

d

3x.

) 3.y

(3xy

dx

d

= + = + = +

Regra da cadeia

d) 8x

3 12y² = 25

Resolução:

y

x

dx

dy

24y

24x

dx

2 dy 24x

dx

dy ) 0 24y

(12y

dx

2 d 12y² 25) 24x

(8x

dx

d = ¤ - = ¤- =- ¤ = ¤ =

e) x

4 y

4

• x² y ² + x y = 2

Resolução:

y 1

4y

2x 1

4x

dx

dy

y 1

4y

2x 1

4x

dx

dy

2x 1

y 1) 4x

( 4y

dx

dy 2x 1

4x

dx

dy

dx

dy y

dx

3 dy 4y

dx

dy 1

dx

dy 2x y

dx

3 dy 4y

x y 2) 4x

y

x

y

(x

dx

d

fi =

fi =

fi- - - =- - - fi - - - =- - - fi

• • • • • = fi - + - + - = fi

f) x

3 y

5 = y + 2

Resolução:

5y

x

y

3x

dx

5 dy y

1. 3x

5y

(x

dx

dy

y

3x

dx

dy

dx

4 dy 5y

0 x

dx

dy

dx

4 dy 5y

x

y

y 2) 3x

y

(x

dx

d

fi - =- fi =

= + fi + = + fi - =- fi

g) tgy = xy

Resolução:

y

1 x.cos

y

y.cos

dx

dy

y

1 x.cos

y

cos

y.

dx

dy

y

cos

y

1 x.cos

y

dx

dy

x

y

cos

y

dx

dy

y x

sec

y

dx

dy

y x) y

(sec

dx

dy

y

dx

dy

x

dx

dy

y

sec

dx

dy

y x

dx

dy

y

(tgy xy) sec

dx

d

fi =

fi

fi =

fi =

fi =

fi =

= fi = + fi - = fi - = fi