AVA1 - CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, Exercícios de Engenharia de Produção

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

MARCOS PAULO CARDOSO DOS SANTOS

MATRICULA – 1240115628

AVA 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II (IL10405)

RIO DE JANEIRO

1. ENUNCIADO

Funções de várias variáveis: algumas aplicações Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das funções de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas áreas do conhecimento. 1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. (a) Qual o significado das derivadas parciais , e? (b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)). 2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥^2 − 3 𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧. (a) Qual o domínio da função V? (b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊̂+ 𝒋̂+𝒌̂. (c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? 3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm^3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular) Responda às questões com clareza, indicando o raciocínio desenvolvido e destacando as respostas obtidas.

2ª QUESTÃO – POTENCIAL ELÉTRICO (a) Domínio da função V A função é um polinômio em x,y,z. Portanto, está definida para todos os números reais. Resposta: D=R (b) Taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção de i^+j^+k^

1. Gradiente de V : ∇V=(∂V∂x,∂V∂y,∂V∂z) =(10x−3y+yz, −3x+xz, xy)
2. Em P(3,4,5) : ∇V(3,4,5)=(38, 6, 12)
3. Direção (1,1,1) : u=13(1,1,1)
4. Taxa de variação: DuV(P)=∇V(3,4,5)⋅u= (c) Direção e sentido de maior variação O potencial varia mais rapidamente na direção do gradiente: ∇V(3,4,5)=(38,6,12)

• Direção de maior crescimento: vetor (38,6,12)
• Sentido: o mesmo do gradiente
• Taxa máxima de variação: ∣∇V(3,4,5)∣=382+62+122=
• (a) Domínio: R
• (b) Taxa de variação em P: 563
• (c) V varia mais rapidamente em P na direção (38,6,12), com intensidade (^) √ 1624

3ª QUESTÃO – CAIXA DE PAPELÃO

Volume da caixa: 32000 cm COMPRIMENTO = X LARGURA = Y ALTURA = Z O volume de uma caixa retangular é dado por: V = xyz xyz = 32000 Área total: A = 2xy + 2xz + 2yz Equação do volume: xyz = 32000 z = 32000/(xy) A(x,y) = 2xy + 2x(32000/(xy)) + 2y(32000/(xy)) A(x,y) = 2xy + 64000/y + 64000/x ∂A/∂x = 2y − 64000/x² 2y = 64000/x² ∂A/∂y = 2x − 64000/y² 2x = 64000/y² Sabemos que: x³ = 32000 x = ∛ x ≈ 31,75 cm Resposta Final Sendo assim, mesmo que, inicialmente, a caixa fosse retangular, para que as di- mensões da caixa minimizem a quantidade de papelão utilizado, o formato deve ser de um cubo, com as seguintes dimensões: Comprimento: 31,75 cm Largura: 31,75 cm Altura: 31,75 cm