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Pergunta 1
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da resposta:
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que. No entanto, e são funções de expressas por e. Para se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a , isto é, , para quando.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde. Assim,
. Dado que , temos .
Pergunta 2
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e. A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por
. Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das
derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com relação à variável.
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável , sabendo que e .
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , , e. Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada:
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. Trocando as expressões de e temos
.
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da resposta:
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso pela função.
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico no ponto.
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é
e sua norma é
, temos que a direção procurada é
.
Pergunta 4
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis e , isto é, e. A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por. Já a derivada de com relação à variável é obtida
por meio da expressão.
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação às variáveis e , sabendo que e .
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II. O domínio da função corresponde à região a seguir.
III. O domínio da função corresponde à região a seguir.
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da resposta:
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir.
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
I, IV, apenas.
I, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Verificando as restrições para a função, temos que são falsas as afirmativas II, III e IV, pois: Afirmativa II: Incorreta. A função tem a seguinte restrição
. Portanto, o seu domínio é o conjunto , que deveria corresponder a uma região em formato de parábola. Afirmativa III: Incorreta. A função tem a seguinte restrição . Portanto, o seu domínio é o conjunto , que deveria corresponder a uma circunferência. Afirmativa IV: Incorreta. A função tem a seguinte restrição . Portanto, o seu domínio é o conjunto , que deveria corresponder a uma região limitada entre as retas e.
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função.
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2).
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Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da resposta:
Com base no exposto, assinale a alternativa correta.
As variáveis e são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das variáveis e , pois. No entanto, as variáveis e dependem das variáveis e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis independentes.
Pergunta 10
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor. Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão.
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto.
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função:
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante):
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): . Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e . Logo, o vetor gradiente é.
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