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Cálculo Proposicional Clássico
O Cálculo Proposicional Clássico (CPC) consiste num sistema simbólico de Lógica Clássica. E como todos os sistemas de lógica clássica, segue os seguintes princípios:
- Bivalência : Cada fórmula recebe apenas um de dois valores distintos e absolutos, verdadeiro ou falso.
- Não-contradição : Dadas uma fórmula e sua negação, uma delas é falsa.
- Terceiro Excluído : Dadas uma fórmula e sua negação, uma delas é verdadeira.
- Identidade : Se uma fórmula é verdadeira, então esta fórmula é verdadeira. O CPC se distingue de outros sistemas de Lógica Clássica por lidar apenas com:
- Letras sentenciais : No CPC, letras do alfabeto romano maiúsculas são usadas para representar as proposições. Este sistema foi desenvolvido para propósitos matemáticos, tendo, portanto, limitações no que se refere à análise de raciocínios. Ainda assim, podemos aplicá- lo à filosofia, às ciências e ao conhecimento ordinário, desde que sempre estejamos cientes de suas limitações. Por ser um sistema de lógica simbólica, devemos ter várias considerações tanto para formalizar proposições da linguagem natural, quanto para interpretar suas fórmulas na linguagem natural.
Proposições
Proposições são estruturas lingüísticas passíveis de serem julgadas verdadeiras ou falsas, tais como “Todos homens são mortais”, “Sócrates é homem”, “A água sob uma atmosfera ferve a 100°C”, “Siegfrid matou Fafnir”, “2 + 2 = 4” etc. Não são proposições as estruturas lingüísticas interrogativas (ex: “Quem é você?”) ou imperativas (ex: “Faça isto”), pois elas não são passíveis de serem julgadas verdadeiras ou falsas.
Termos, Operadores, Conectivos e Valorações
No CPC, fórmulas atômicas representam proposições de uma linguagem. Para escrevê-las, são usadas letras do alfabeto latino maiúsculas (A, B, C, D, E etc.). Os operadores alteram os valores das fórmulas, constituindo assim fórmulas moleculares. Os conectivos são operadores que relacionam duas fórmulas. Os 5 operadores mais usuais são: a negação (¬), a conjunção (∧), a disjunção (∨), a implicação (→) e a bi-implicação (↔).
Definição de Fórmula
Fórmulas atômicas são fórmulas bem formuladas. Se e são fórmulas bem formuladas, então , , , e são fórmulas bem formuladas. Se é uma fórmula bem formulada, então é subfórmula de. Se e são fórmulas bem formuladas, então e são subfórmulas de , , e.
Tabelas de Verdade
Seja uma linguagem que contenha as proposições , e. O que podemos dizer sobre proposição? Para começar, segundo o princípio de bivalência, ela ou é verdadeira ou é falsa. Isto representamos assim: A V F Agora, o que podemos dizer sobre as proposições e? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim:
e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F). Então, para a fórmula , temos: A B C A B ∧ (A B)→C ∧ ¬((A B)→C) ∧ V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como interpretá-los. Negação A negação tem o valor inverso da fórmula negada. A saber: A ¬A V F F V
- Interpretações : "Não ", "Não é o caso de ", "A proposição ' ' é falsa". Assim, em uma linguagem na qual significa " Sócrates é mortal", pode ser interpretada como " Sócrates não é mortal", e, se o primeiro é verdadeiro, o segundo é falso; e se o primeiro é falso, o segundo é verdadeiro. Interpretar a negação por meio de antônimos também é uma alternativa, mas deve-se ter cautela, pois nem sempre é aplicável em todos os casos. No exemplo acima a interpretação por meio de antônimos é perfeitamente aplicável, ou seja, se
significa " Sócrates é mortal", pode ser interpretada como " Sócrates é imortal". Por outro lado, em uma linguagem na qual significa " João é bom jogador", a proposição " João é mau jogador" não é a melhor interpretação para (João poderia ser apenas um jogador mediano). Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação: A ¬A ¬¬A ¬¬¬A V F V F F V F V “ ” significa “‘ ’ é falsa”. “ ” significa “‘ ’ é falsa”. E assim por diante. Repare que é equivalente a , assim como é equivalente a. A negação múltipla trás alguns problemas de interpretação. Interpretando mais uma vez por " Sócrates é mortal", podemos perfeitamente interpretar de diversar formas: " Não é o caso de que Sócrates não é mortal", " Não é o caso de que Sócrates é imortal", " É falso que Sócrates não é mortal", " É falso que Sócrates é imortal" etc. Contudo, nem sempre na língua portuguesa a dupla negação de uma proposição equivale à afirmação desta. Muitas vezes a dupla negação é uma ênfase na negação. Exemplos: " Não veio ninguém", "Não fiz nada hoje" etc. Conjunção A conjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ambas são verdadeiras. A saber: A B A B ∧ V V V V F F F V F F F F
- Interpretação : " " pode ser interpretada como " e ", "Tanto quanto ", "Ambas proposições ' ' e ' ' são verdadeiras" etc.
Disjunção A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. A saber: A B A B ∨ V V V V F V F V V F F F Repare que a disjunção também é comutativa: A B A B ∨ B A ∨ V V V V V F V V F V V V F F F F
- Interpretação : " " pode ser interpretada como " ou ", "Entre as proposições e , ao menos uma é verdadeira". Assim, se significa " Fulano estuda filosofia" e significa " Fulano estuda matemática", pode ser interpretada como " Fulano estuda filosofia ou matemática"; o que só é falso se nem nem forem verdadeiras. Com a disjunção é preciso tomar muito cuidado tanto na interpretação de fórmulas quanto na formalização de proposições, pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos são excludentes. Por exemplo: " Uma moeda ao ser lançada resulta em cara ou coroa", " Nestas férias eu vou viajar ou ficar em casa". Para estes casos usamos a disjunção exclusiva ou a bi-implicação combinada com a negação, como veremos mais adiante.
Implicação A implicação entre duas fórmulas só é falsa se a da esquerda (antecedente) for verdadeira e da direita (conseqüente) for falsa. A saber: A B A → B V V V V F F F V V F F V Repare que a implicação não é comutativa: A B A → B B → A V V V V V F F V F V V F F F V V
- Interpretação : " " pode ser interpretada como " Se , então ", " implica em ", " Se a proposição ' ' é verdade, então a proposição ' ' também é verdade ", "A partir de ' ' inferimos ' ' ", " satisfaz ", " é condição suficiente de ". Assim, se, em uma linguagem , significa " O botão vermelho foi apertado" e significa " O lugar todo explode", pode ser interpretada como " Se o botão vermelho foi apertado, o lugar inteiro explode", o que só é falso se o botão vermelho for apertado (verdade de ) e o lugar não explodir (falsidade de ): A interpretação da implicação é uma das mais complicadas. Talvez você tenha estranhado que a implicação seja verdadeira quando o antecedente é falso. Ou ainda, você poderia objetar "mas e se o botão for apertado, o lugar explodir, mas uma coisa não ter nada a ver com a outra?". Quando temos na linguagem natural uma proposição que afirma que, a partir de um evento, outro segue inexoravelmente (por exemplo: " Se você sair na chuva sem guarda-chuva ou capa de chuva, então você vai se molhar") ou uma
Outros conectivos Ainda há outros conectivos interessantes, mas, por motivos explicados mais para frente, não trabalharemos com eles. Vamos apenas nos familiarizar com alguns deles agora. Adaga de Quine é verdadeiro somente se ambos, e , forem falsos. Trata-se, portanto, da negação da disjunção: A B A B ∨ A ↓ B V V V F V F V F F V V F F F F V Disjunção Exclusiva A disjunção exclusiva entre duas fórmulas é verdadeira somente se apenas uma delas for verdadeira. Trata-se, portanto, da negação da bi-implicação: A B A ↔ B A ∨ B V V V F V F F V F V F V F F V F Traço de Sheffer só é falsa se ambos e forem verdadeiros. Trata-se, portanto, da negação da conjunção. A B A ∧ B A|B V V V F V F F V F V F V F F F V
Uso de parênteses e fórmulas com mais de um operador
Assim como na aritmética e algebra, os parênteses na lógica indicam o que considerar primeiro. Portanto, a fórmula consiste na negação da conjunção entre e , enquanto a fórmula consiste na conjunção entre a negação de e. A diferença entre as fórmulas fica clara na tabela de verdade: A B ¬A A B ∧ ¬(A B) ∧ ¬A B ∧ V V F V F F V F F F V F F V V F V V F F V F V F Da mesma forma, é distinta de. A saber: A B C A → B B → C (A → B) → C A → (B → C) V V V V V V V V V F V F F F V F V F V V V V F F F V V F F V V V V V V F V F V F F V F F V V V V V F F F V F V V Contudo, tem-se que a fórmula é equivalente à , pois ambas só serão verdadeiras se , e forem verdadeiras. Da mesma forma, é equivalente à (ambas só são falsas quando todos termos são falsos), e é equivalente à . Devido a isto, vale como convenção informal as construções , e.
Por fim, resta a coluna da fórmula. Pela definição de negação, em cada linha na qual for verdadeira, será falsa; e em cada linha na qual for falsa, será verdadeira: A B C A B ∧ (A B)→C ∧ ¬((A B)→C) ∧ V V V V V F V V F V F V V F V F V F V F F F V F F V V F V F F V F F V F F F V F V F F F F F V F Por meio desta tabela podemos ver que a fórmula só é verdadeira em um único caso: o qual e são verdadeiras enquanto é falsa. Esta é uma das aplicações da tabela de verdade: determinar em quais valorações de suas subfórmulas uma fórmula é verdadeira ou falsa.
Exercícios
Seja uma linguagem na qual: significa "Russell desenvolveu a teoria das descrições". significa "Gödel é matemático". significa "Está chovendo". Formalize no CPC as seguintes proposições e faça a tabela de verdade de cada uma delas:
- "Não está chovendo".
- "Russell desenvolveu a teoria das descrições e Gödel é matemático".
- "Russell desenvolveu a teoria das descrições ou Gödel não é matemático".
- "Se Gödel é matemático, então está chovendo".
- "Se não está chovendo, então Gödel não é matemático". 6."Nem está chovendo, nem Russell desenvolveu a teoria das descrições".
- "Russell não desenvolveu a teoria das descrições se e somente se está chovendo".
Fórmulas Contingentes, Contradições e Tautologias
Fórmulas contingentes são aquelas cuja valoração pode ser verdadeira ou falsa, dependendo da valoração de suas fórmulas atômicas. Todas fórmulas descritas na seção anterior são contingentes: A B ¬A A B ∧ A B ∨ A → B A ↔ B V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V Contradições são fórmulas que, independente da valoração de suas fórmulas atômicas, sua valoração é “Falso”. Um exemplo de contradição é : A ¬A A ¬A ∧ V F F F V F Tautologias são fórmulas que, independente da valoração de suas fórmulas atômicas, sua valoração é “Verdadeiro”. Bons exemplos de tautologia são , e. A ¬A A → A ¬(A ¬A) ∧ A ¬A ∨ V F V V V F V V V V Nota: Toda negação de uma contradição consiste numa tautologia e toda negação de uma tautologia consiste numa contradição. Exercício Faça a tabela de verdade das seguintes fórmulas e determine se elas são contingentes, contraditórias ou tautológicas.
Princípio de identidade α → α α ↔ α Princípio de não-contradição ¬(α ∧¬α) Princípio do terceiro excluído α ∨¬α α ∨ ¬α Dupla negação α ↔ ¬¬α Idempotência da conjunção (α ∧α) ↔ α Idempotência da disjunção (α ∨α) ↔ α Comutatividade da conjunção (α ∧ β) ↔ (β ∧α) Comutatividade da disjunção (α ∨ β) ↔ (β ∨α) Comutatividade da equivalência (α ↔ β) ↔ (β ↔ α) Associatividade da conjunção ((α ∧ β) ∧ γ) ↔ (α ∧ (β ∧γ)) Associatividade da disjunção (( α ∨ β) ∨ γ) ↔ (α ∨ (β ∨γ)) Associatividade da equivalência ((α ↔ β) ↔ γ) ↔ (α ↔ (β ↔ γ)) Leis de DeMorgan ¬(α ∧ β) ↔ (¬α ∨¬β) ¬(α ∨ β) ↔ (¬α ∧ ¬β) Contraposição (α → β) ↔ (¬β → ¬α) Distributividade (α ∧ (β ∨ γ)) ↔ ((α ∧ β) ∨ ( α ∧γ)) (α ∨ (β ∧ γ)) ↔ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)) Modus ponens (α ∧(α → β)) → β Modus tollens (¬β ∧(α→β)) → ¬α Silogismo disjuntivo ((α ∨ β) ∧¬α) → β Silogismo hipotético ((α → β) ∧(β → γ)) → (α → γ) Lei de Peirce ((α → β) → α) → α Lei de Dun Scot ¬α → (α → β) Prefixação α → (β → α) Antilogismo ((α ∧ β) → γ) ↔ ((α ∧¬γ) → ¬β) Exportação/Importação ((α ∧β) → γ) ↔ (α → (β → γ)) Princípio da Explosão (α ∧¬α) → β
Implicação semântica
Um conjunto de fórmulas implica semanticamente - ou "materialmente" - numa fórmula , , sempre quando todas as fórmulas de forem verdadeiras, seja verdadeira. Por exemplo, digamos que ( Gama é o conjunto unitário da fórmula alfa ). Se é verdadeira, então é verdadeira. Assim: ( alfa implica semanticamente em alfa ) Ainda utilizando o conjunto , podemos dizer que: ( alfa implica na negação da negação de alfa ). Afinal, sempre que uma fórmula é verdadeira, a negação de sua negação também é verdadeira. Como está ilustrado na tabela adiante: α ¬α ¬¬α V F V Agora digamos que ( Gama é o conjunto binário das fórmulas alfa e beta ). Revejamos algumas tabelas de verdade, apenas a linha que representa o caso de e serem ambas verdadeiras: α β α β ∧ α β ∨ α → β α ↔ β V V V V V V Podemos ver que, sempre que duas fórmulas são verdadeiras, a conjunção, disjunção, implicação e bi-implicação entre elas também são verdadeiras. Assim sendo: No caso da conjunção, é válido o seguinte: Afinal, sempre que a conjunção entre duas fórmulas é verdadeira, ambas as fórmulas são verdadeiras. Isto não acontece com as outras operações lógicas (reveja as tabelas de verdade).
Argumentando com o CPC
Agora passemos para casos de implicação semântica mais interessantes. Vejamos o seguinte conjunto de fórmulas: Podemos dizer que: O que fica evidente na tabela: A B A → B V V V V F F F V V F F V Na única linha na qual as fórmulas e são ambas verdadeiras, a fórmula também é verdadeira. Agora podemos usar o CPC para verificar a validade lógica de uma infinidade de raciocínios ou argumentos. Como acabamos de ver, é válido todo raciocínio com a seguinte estrutura: Por exemplo: Se choveu, então o chão está molhado. Oras, choveu. Logo, o chão está molhado. Se ele estudou muito, então conseguiu uma boa nota. Ele estudou muito. Logo, ele conseguiu uma boa nota. Também podemos apontar que um raciocínio é logicamente inválido, ou seja, falacioso. Por exemplo: Se ele estudou muito, então conseguiu uma boa nota. Ele conseguiu uma boa nota. Logo, ele estudou muito. Consideremos que significa “Ele estudou muito” e significa “Ele conseguiu uma boa nota”. A estrutura do argumento então é esta:
Agora façamos uma tabela de verdade para verificar se sempre que e são verdades, também é verdade: A B A → B V V V V F F F V V F F V Como podemos ver, existe uma valoração na qual e são verdades e é uma falsidade. Portanto, o raciocínio é invalido. Lista de argumentos válidos usuais Modus ponens Ex: Se choveu, então o chão está molhado. Oras, choveu. Logo, o chão está molhado. Modus tollens Ex: Se ele estudou, então ele tirou uma boa nota. Ele não tirou uma boa nota. Logo, ele não estudou. A B ¬A ¬B A → B V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V
