Campos Magnéticos e Indutância, Notas de aula de Eletromagnetismo

Baixe Campos Magnéticos e Indutância e outras Notas de aula em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! Caṕıtulo 6 Campo Magnético 6.1 Introdução • Cargas elétricas geram campos elétricos ~E e sofrem forças elétricas ~Fe. • Cargas elétricas em movimento (correntes) geram campos magnéticos ~B e sofrem forças magnéticas ~FB. • Não existem cargas (monopolos) magnéticas. Lei de Gauss para o magnetismo: ∮ A ~B · d ~A = 0 (6.1) • Ímãs: materiais com propriedades magnéticas, resultante do movimento de cargas no ńıvel molecular/atômico. Contem correntes microscópicas que criam campos magnéticos. • Ímãs tem sempre pólos norte e sul indiviśıveis: dipolos. • Oersted (1819): Corrente elétrica em fio deflete agulha imantada. • Ampere: Forças magnéticas entre correntes. Correntes elétricas dão origem a fenômenos magnéticos. • Faraday e Henry (1820): Corrente em circuito produzida por i) movimento de um ı́mã ou ii) variando corrente em circuito proximo. ~B variável → ~E. • Como dependem da velocidade das cargas, efeitos magnéticos são relativ́ısticos e dependem do referencial. A relatividade mostra que campos elétricos e magnéticos podem ser convertidos um no outro dependendo do referencial. Por exemplo, no referencial se movendo com uma carga, a velocidade dela é zero e deve ser nulo o campo magnético por ela criado. Campos elétricos e magnéticos são faces da mesma moeda: o campo eletromagnético. 6.2 Força Magnética e Campo Magnético • Vamos primeiro considerar o efeito de campos magnéticos em cargas elétricas em movimento. • Não nos preocuparemos, no momento, com a criação de campos magnéticos, o que investiga- remos no próximo caṕıtulo. 51 52 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO • Suponha uma carga q com velocidade ~v na presença de um campo magnético ~B. Esta carga sofre uma força magnética ~FB: ~FB = q~v × ~B (6.2) Figura 6.1: Força magnética (Serway). Regra da mão direita para uma carga negativa. (Halliday) • Unidade de Campo Magnético: SI: Tesla [T]= [N] [m/s][C] . CGS: Gauss [G]=10−4[T] • Produto vetorial: – |FB| = qvB sin θ = q(v sin θ)B = qv(B sin θ) – Componente de v perpendicular a B, ou vice-versa. – Direção: ~FB é ⊥ a ambos ~v e ~B. Regra da mão direita: i) dedos no primeiro vetor, ii) rotação na direção do segundo, iii) polegar dá direção do produto vetorial. – |FB| máxima quando θ = 90o, i.e. quando ~v ⊥ ~B. – ~FB = 0 se ~v ‖ ~B. • Trabalho de ~FB: WFB = ∫ ~FB · d~s = ∫ (~FB · ~v)dt = 0 (6.3) pois ~FB ⊥ ~v. Força magnética não realiza trabalho, não alterando a energia cinética de cargas. • Força magnética muda apenas direção de ~v, não o módulo. • Representação em 2 dimensões de eixos trimensionais: ⊙ : vetor saindo ⊗ : vetor entrando 6.3. CARGAS EM CAMPOS MAGNÉTICOS 55 Figura 6.6: Efeito Hall. Uma corrente passa na placa de metal sob a ação de um campo ~B na direcao y, e cargas sofrem força magnética FB na direção z, desviando-se nesta direção (Halliday). À medida que estas cargas se acumulam nas partes superiores da placa metálica, um campo elétrico é criado, produzindo uma força elétrica FE . No equiĺıbrio, Fe = FB . Se os portadores de carga forem negativos, a diferença de potencial criada tem sinal oposto. (Serway) 6.3.3 Efeito Hall No efeito Hall, usa-se o fato de que as cargas são desviadas e começam a se acumular nas placas de um metal, criando um campo elétrico, como em um capacitor. A força elétrica resultante deste processo é oposta à magnética e, eventualmente a cancela. Temos então, no equiĺıbrio FE = FB (6.13) qE = qvB → v = E B (6.14) A diferença de potencial entre as placas é V = Ed e portanto v = V Bd (6.15) Por outro lado, v = j ρ = (i/A) nq = i nqtd → n = i vqtd (6.16) Combinando estes dois resultados, temos n = i (V/Bd)qtd → n = Bi V qt (6.17) o que permite calcular o número de portadores de carga por volume, dados o campo, a corrente, o potencial, a carga de cada portador e a espessura do material. 56 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO 6.4 Força Magnética sobre Correntes Para um elemento infinitesimal de carga dq com velocidade v, a força magnética d~FB é d~FB = dq ~v × ~B (6.18) Figura 6.7: Elemento infinitesimal d~L de fio, contendo carga dq em um campo ~B uniforme (Serway). Para um fio ret́ılinio, pode-se integrar a força total no fio. (Halliday) Se dq está em um elemento de comprimento dL de um fio, com o qual associamos um vetor d~L, de forma que a velocidade do elemento de carga seja ~v = d~L/dt, a força fica d~FB = dq d~L dt × ~B = dq dt d~L × ~B = i d~L × ~B (6.19) Para um fio retiĺınio de comprimento L, podemos integrar no fio e obter ~FB = i ~L × ~B (6.20) ou seja, se ~B faz um ângulo θ com o fio, temos FB = BiL sin θ (6.21) 6.5. TORQUE SOBRE ESPIRA 57 6.5 Torque sobre Espira Figura 6.8: Força e torque sobre uma espira de corrente. (Halliday) Considere uma espira por onde passa uma corrente i, na presença de um campo ~B como indicado na Fig 6.9. Nos lados 2 e 4 da espira a força forca magnética é F2 = F4 = ibB sin(90o − θ) = ibB cos θ (6.22) As forças se cancelam, não produzindo translação. Elas também não produzem torque, e portanto não ge- ram rotação da espira. Nos lados 1 e 3, temos ~L ⊥ ~B e a força fica F1 = F3 = iaB (6.23) Elas produzem torques τ em relação ao eixo central da espira: ~τ1 = ~τ3 = ~b 2 × ~F1 → τ1 = b 2 iaB sin θ (6.24) e o torque total fica τ = τ1 + τ3 = iabB sin θ = iAB sin θ (6.25) Definindo o vetor área ~A = abn̂, temos ~τ = i ~A × ~B (6.26) Note que o torque tende a fazer a espira girar de até que ~A aponte na direção de ~B, situação em que τ = 0. 6.6 Momento de Dipolo Magnético Figura 6.9: Momento magnético de uma es- pira de area A e corrente i. (Serway) Em analogia à definição de dipolo elétrico, podemos con- siderar uma espira com corrente como sendo um dipolo magnético. Analogamente, definimos o momento de dipolo mag- netico ~µ: ~µ = i ~A (6.27) e o torque sobre a espira fica ~τ = ~µ × ~B (6.28) Lembre-se que um campo ~E faz um dipolo elétrico gi- rar até seu momento de dipolo elétrico apontar na direção do campo. Da mesma forma, um campo ~B faz um dipolo magnético girar até seu momento de dipolo magnético apontar na direção de ~B. 7.2. EXEMPLOS 61 Se tivermos uma espira completa, θ = 2π e obtemos B = µ0i 2R (7.9) 7.2.3 Espira Circular Figura 7.5: Campo devido a uma espira circular. (Serway) Considere uma espira circular de corrente, como na Fig. 7.5. A contribuição do campo no ponto P no eixo x da espira devido a um elemento ds do fio é mostrada na figura. Temos d~s ⊥ r̂ para todos os pontos do fio (note entretanto angulo θ entre r̂ e o eixo y), portanto |d~s × r̂| = ds. Temos dB = µ0i 4π ds x2 + R2 (7.10) Componentes de d ~B: dBx ao longo do eixo e dBy = dB⊥ na direção perpendicular. Somando contribuições B⊥ = 0 por cancelamentos. Calculamos então Bx, integrando dBx = dB cos θ, onde cos θ = R/ √ x2 + R2: Bx = ∮ dB cos θ = ∮ µ0i 4π ds x2 + R2 R√ x2 + R2 = µiR 4π(x2 + R2)3/2 ∮ ds = µiR 4π(x2 + R2)3/2 (2πR) → Bx = µ0iR 2 2(x2 + R2)3/2 (7.11) Em x = 0, reobtemos o resultado anterior: Bx = B = µ0i 2R (7.12) enquanto para x ≫ R, lembrando do momento magnético µ = i(πR2), temos: B ≈ µ0iR 2 2x3 = µ0 2π µ x3 (7.13) 62 CAPÍTULO 7. LEI DE AMPERE ou vetorialmente ~B = µ0 2π ~µ x3 (7.14) similar ao campo distante de um dipolo elétrico ~E = ~p/4πǫ0x 3. 7.2.4 Força entre correntes paralelas Figura 7.6: Forca entre dois fios paralelos de corrente. (Serway) Considere 2 fios paralelos de comprimento l com cor- rentes i1 e i2 separados de uma distância a. Vamos calcular a forca magnética F1 no fio 1 devido ao campo magnético ~B2 do fio 2. Como ~B2 é perpendicular ao comprimento ~l do fio, temos F1 = i1lB2 sin 90o = i1l µ0i2 2πa = µ0i1i2l 2πa (7.15) F1 é simétrico sob 1 → 2. Portanto F2 = F1. A direção de F2 é oposta a F1, c.f. a 3a lei de Newton. Correntes na mesma direção: fios se atraem Correntes opostas: fios se repelem. 7.3 Lei de Ampere A Lei de Ampere relaciona a corrente (constante) que atravessa um circuito S com a circulação sobre este circuito do campo B criado pela corrente: ∮ L ~B · d~l = µ0iin (Lei de Ampere) (7.16) A corrente na Lei de Ampere é a corrente total (soma de correntes positivas e negativas depen- dendo da direção), que atravessam o circuito. Correntes ”fora”do circuito não contribuem. A Lei de Ampere é uma das Equações de Maxwell e portanto uma lei fundamental do eletromag- netismo. Podemos trivialmente verificar que a Lei de Ampere vale para um fio infinito de corrente, em que B = µ0i/2πr a uma distância r do fio. Neste caso temos, para um circuito C circular ao fio, onde sabemos que B tem o mesmo valor, e aponta na direção de d~l ∮ L ~B · d~l = ∮ Bdl = B ∮ dl = ( µ0i 2πr ) (2πr) = µ0i (7.17) Sendo uma lei fundamental, a Lei de Ampere vale não apenas neste caso, mas sempre. 7.4. EXEMPLOS 63 7.4 Exemplos 7.4.1 Fio com corrente Figura 7.7: Campo fora e dentro de um fio, gerado por sua corrente. (Halliday) Considere um fio reto com raio R com corrente uniformemente distribuida em seu interior, como na Fig. 7.7, para o qual desejamos saber o campo B tanto dentro quanto fora do fio. Usando a Lei de Ampere com um circuito Amperiano fora do fio, temos ∮ ~B · d~s = ∮ Bdl = B ∮ dl = B(2πr) = µ0i → B = µ0i 2πr (7.18) Similarmente, usando um circuito dentro do fio e incluindo somente a corrente i′ interna a r: ∮ ~B · d~s = B(2πr) = µ0i ′ = µ0i r2 R2 → B = µ0i 2πR2 r (7.19) 7.4.2 Exerćıcio: Fio com corrente e cavidade Figura 7.8: Fio ciĺındrico com uma cavi- dade ciĺındrica em uma região qualquer. Considere um fio ciĺındrico, como anteriormente, mas com uma cavidade ciĺındrica como mostrado na Fig. 7.8. Mos- tre que o campo magnético B em um ponto P genérico dentro da cavidade é constante. Essa é uma maneira de obter uma região com campo magnético constante. Sugestão: Considere primeiro o fio ciĺındrico sem a cavidade e expresse a resposta em termos de r e θ̂. Considere então um fio com densidade de corrente no sentido oposto na posição da cavidade; expresse esta resposta em termos de r e θ̂. Por fim, use o prinćıpio da superposição para a corrente total no fio. 66 CAPÍTULO 7. LEI DE AMPERE • Usando então vr = L/m, obtemos µ = e 2m L (7.29) ou, vetorialmente, como a carga do eletron é negativa, ~µ = − e 2m ~L (7.30) • Na mecânica quântica, verifica-se que o momento angular dos átomos é quantizado, de modo que a trajetória corresponda a um número inteiro de comprimentos de onda associado ao elétron. Esta é a base do modelo do átomo de Bohr, que leva à quantização dos ńıveis de energia. • Os elétrons e átomos também possuem spin, que também está relacionado a um momento de dipolo magnético. 7.5.2 Diamagnetismo e Paramagnetismo • Na maior parte dos materiais, os momentos magnéticos dos átomos se cancelam devido a orientações aleatórias. • Quando um campo magnético é aplicado, um alinhamento resultante destes dipolos magnéticos ocorre e o meio se torna magnetizado. • Lembre que a polarização elétrica sempre aponta na direção do campo externo E. • Em se tratanto de um campo magnético externo, no entanto, alguns materiais têm seus dipolos magnéticos alinhados na direção de B (paramagnéticos), enquanto outros se alinham na direção oposta a B (diamagnéticos). • O paramagnetismo se dá devido ao fato de que os momentos de dipolo magnético sofrem um torque e tendem a se alinhar com o campo externo. • Alguns materiais mantém um momento de dipolo magnético mesmo após a retirada do campo externo. Estes são ditos ferromagnéticos. São usados e.g. como ı́mas. Nestes materiais, a magnetização depende de toda a história do material, e não apenas no campo externo momentâneo. • O diamagnetismo é causado pela indução de Faraday, um efeito que estudaremos no próximo caṕıtulo. Basicamente, a variação do campo magnético externo Borig (enquanto ele é criado) gera uma voltagem V que causa uma corrente induzida iind, cujo campo induzido Bind se opõe ao campo original Borig. Portanto, o dipolo magnético µind se alinha na direção oposta ao campo original Borig. Esse efeito, embora sempre presente, em geral é mais fraco do que o paramagnetismo, quando ambos ocorrem. 7.5. MAGNETISMO NA MATÉRIA 67 7.5.3 Magnetização Figura 7.11: Magnetização em um elemento de volume ∆v = A ds ao redor do qual passa uma corrente i. • Magnetização: ~M = momento de dipolo magnético ~µ por unidade de volume v ~M = ~µ ∆v (7.31) • Considere a magnetização em um elemento in- finitesimal de volume ∆v = A ds, a que ”asso- ciamos”uma corrente i. Temos M = µ ∆v = iA A ds = i ds (7.32) • Portanto, a corrente no circuito do elemento fica i = Mds (7.33) • Considere agora uma fatia de altura ds composta por varios elementos de circuito como esse, representando e.g. o momento de dipolo de uma camada de átomos: Figura 7.12: Magnetização de vários elementos de volume ∆v = A ds. Para magnetização constante, as correntes internas se cancelam, sobrando apenas uma corrente total circulante. Essa corrente im, embora nao necessariamente real, é chamada de corrente de magnetização. • As correntes internas se cancelam, enquanto as externas se mantém formando uma ”cor- rente”de magnetização iM . Figura 7.13: A circulação de M no circuito é igual a corrente de magnetização. • Considere novamente 1 elemento, com a corrente de magnetizacao mostrada entrando na pagina. • No circuito mostrado, para o qual temos ∮ ~M · d~s = Mds = i (7.34) pois ~M = 0 fora dos elementos e ~M ⊥ d~s nas bordas de cima e de baixo. 68 CAPÍTULO 7. LEI DE AMPERE Figura 7.14: A circulação de M em um circuito qual- quer pode ser obtida como a soma sobre vários ele- mentos, pois as contribuições internas se cancelam. • Para obter a circulação em um circuito qual- quer, basta considerá-lo como a soma de vários elementos, pois as contribuições in- ternas se cancelam, sobrando apenas as bor- das. • Portanto para um circuito c qualquer, com magnetização constante, temos que a cor- rente de magnetização fica iM = ∑ [ ∮ elementos ~M · d~s ] = ∮ c ~M · d~s (7.35) 7.5.4 Lei de Ampere Considere uma região do espaco onde há correntes livres il e correntes de magnetização iM . A Lei de Ampere leva em conta todas as correntes, e nos dá ∮ ~B · d~s = µ0itot = µ0(il + iM ) (7.36) Usando iM = ∮ ~M · d~s, obtemos ∮ ~B µ0 · d~s = il + ∮ ~M · d~s (7.37) → ∮ ( ~B µ0 − ~M ) = il Definimos o vetor ~H: ~H = ~B µ0 − ~M ou ~B = µ0( ~H + ~M) (7.38) para o qual a Lei de Ampere fica ∮ ~H · d~s = il (7.39) i.e. ~H é determinado apenas pelas correntes livres. Para materiais lineares, temos ~M = χM ~H (7.40) onde χM : susceptibilidade magnética. Neste caso temos ~B = µ0( ~H + χM ~H) = µ0(1 + χM ) ~H = µ ~H (7.41) onde µ: permeabilidade magnética. Finalmente κM = µ/µ0 = (1 + χM ) é a permeabilidade relativa (7.42) E a Lei de Ampere também pode ser escrita como ∮ ~B · d~s = µ il . (7.43) 8.3. LEI DE FARADAY 71 Este resultado, obtido para este caso particular, na verdade vale sempre, mesmo quando o fluxo muda devido a e.g. um campo B variável e não ao movimento do circuito. Como existe uma corrente i para cima no fio, este sofrerá uma força Fm = Bil para a esquerda e, para que a velocidade seja de fato constante, é preciso aplicar na barra uma força ~Fap = −~Fm: ~Fap = Bil = B ( Blv R ) l = B2l2v R (8.6) Esta força provê uma potência Pap ao sistema: Pap = ∆W ∆t = Fap∆x ∆t = Fapv = B2l2v2 R (8.7) Por outro lado, a potência dissipada no resistor é Pdis = Ri2 = R ( Bl R )2 = B2l2v2 R (8.8) i.e. a energia fornecida pela força aplicada é transferida para o movimento das cargas e dissipada no resistor. Note que o campo magnético, como sempre, não realiza trabalho. 8.3 Lei de Faraday Figura 8.2: Superf́ıcie S apoiada no circuito C. A Lei de Faraday relaciona a variação temporal do fluxo de B em S com a circulação de E em C. A Lei de Faraday formaliza as observações men- cionadas na introdução e generaliza o resultado da última seção. Considere um circuito C e uma su- perf́ıcie aberta S qualquer que se apoia em C. O fluxo magnético na superf́ıcie S é dado por ΦS B = ∫ S ~B · d~S (8.9) Unidade de fluxo magnético: Weber [Wb]=[T][m2]. A Lei de Faraday diz que a variação temporal deste fluxo magnético em S induz a formação de um campo elétrico circulante em L de acordo com E = ∮ C ~E · d~l = − dΦS B dt (Lei de Faraday) (8.10) Note que • C é a borda de S. A Lei de Faraday, portanto, relaciona, o fluxo de B em S com a circulação do campo E induzido na borda de S. • Como ~B · d~S = BdS cos θ, a variação temporal de ΦS B pode ocorrer porque o campo B varia no tempo, ou porque a área S em contato com B muda, ou ainda porque a orientação de S em relação a B, i.e. θ, muda. • Por definição, E = ∮ C ~E · d~l é a voltagem induzida no circuito. Se houver um resistor R, uma corrente i = E/R, será induzida em C. • Note o sinal negativo no lado direito, relacionado com a Lei de Lenz, a seguir. 72 CAPÍTULO 8. LEI DE FARADAY 8.4 Lei de Lenz • Interpretação do sinal negativo da Lei de Faraday. • Lei de Lenz: A variação do fluxo magnético induz um efeito (campo elétrico, voltagem, ou corrente induzida) que tende a anular esta variação. • Permite sabermos a direção da circulação de E, i.e. a direção da voltagem e da corrente induzida como resultado da variação do fluxo. • Vamos considerar alguns casos posśıveis. Para isso, considere uma espira, i.e. um circuito L e uma superf́ıcie S que se apoia em L. Suponha que um campo B atravessa a superf́ıcie S, que permanece fixa. Figura 8.3: Lei de Lenz. Quando um ı́ma se aproxima da espira, o fluxo através desta aumenta. A corrente induzida na espira produz um campo contrário ao campo original, a fim de anular a variação no fluxo original. Note ainda que a espira desenvolve um dipolo magnético para a esquerda, i.e. oposto ao do ı́ma. Portanto, existirá uma força de repulsão entre eles, no sentido de afastar o ı́ma e impedir o aumento do fluxo. • Campo aumentando com tempo: ∂B/∂t > 0 → dΦB/dt > 0 e E < 0. Portanto, ~E terá a direção oposta a d~l, i.e. a corrente induzida i também terá direção oposta a d~l. Mas essa corrente induzida gera um campo Bind que aponta no sentido oposto ao campo B original, i.e. Bind aponta no sentido tal que tende a diminuir o fluxo magnético, cujo aumento foi a causa original da corrente. Imagine que isto acontece porque aproximamos um ı́ma (que gera B) da espira, o ı́ma e a espira sofrerão uma força de repulsão mútua (dois dipolos magnéticos em sentidos opostos), que, novamente, tende a anular o efeito que gera a corrente induzida. • Campo diminuindo com o tempo: ∂B/∂t < 0 → dΦB/dt < 0 e E > 0. Portanto, ~E e i terão a mesma direção de d~l. Esta corrente induzida gera um campo Bind que aponta no sentido do campo B original, i.e. Bind tende a aumentar o fluxo magnético, cuja diminuição foi a causa original da corrente. Se isto ocorre porque afastamos um ı́ma da espira, o ı́ma e a espira sofrerão uma força de atração mútua (dois dipolos magnéticos no mesmo sentido), que, novamente, tende a anular o efeito que gera a corrente induzida. • Se o lado direito da Lei de Faraday tivesse sinal positivo, teŕıamos um run-away process, i.e. o aumento do fluxo tenderia a aumentar o fluxo ainda mais, tendendo a um fluxo infinito. Assim, produziŕıamos uma corrente infinita com um mero movimento do magneto na direção da espira! Obviamente esta situação não conserva energia. 8.5. APLICAÇÕES 73 8.5 Aplicações 8.5.1 Exemplo 1 Figura 8.4: Bateria conectada a um circuito com campo magnético crescente. (Halliday) Considere o circuito mostrado na Fig 8.4, que tem resistência R e está conectado a uma bateria com fem Ebat. O campo magnético varia com o tempo como B(t) = (t2 + 2t + 7) T. a) Qual a magnitude e direção da fem Eind induzida no tempo t? O fluxo no circuito é dado por ΦB = BA = B πr2 2 (8.11) e a voltagem induzida fica |Eind| = dΦB dt = πr2 2 d dt (t2 + 2t + 7) = πr2 2 (2t + 2) = πr2(t + 1) (8.12) O fluxo está crescendo com o tempo. O campo Bind induzido deve se opor a este crescimento e, portanto, apontar no sentido contrário a B, i.e. dentro da página. Portanto, iind e Eind devem estar no sentido horário. b) Qual a corrente no circuito no tempo t ? Como Eind tem direção oposta a Ebat, a corrrente terá a direção da maior fem. A magnitude é i = Eind − Ebat R = πr2(t + 1) − Ebat R (8.13) No tempo t = Ebat/(πr2) − 1, a corrente é nula. 8.5.2 Exemplo 2 Figura 8.5: Circuito em um campo magnético variando no espaço e no tempo. Como B depende de x, consideramos o elemento de área dA = Hdx na integração do fluxo. (Halliday) Considere o circuito mostrado na Fig 8.5, atra- vessado por um campo B = 4t2x, que varia no tempo e no espaço. Qual a fem Eind induzida no tempo t? O fluxo é dado por ΦB = ∫ ~B · d ~A = ∫ BdA = ∫ B(Hdx) = ∫ (4t2x)Hdx = 4t2H ∫ W 0 xdx = 4t2H W 2 2 = 2t2W 2H 76 CAPÍTULO 8. LEI DE FARADAY Por outro lado, o circuito tem um momento de dipolo magnético ~µ, e sofre um torque ~τ τ = |~µ × ~B| = µB sin(180o − θ) = µB sin θ (8.23) Como µ = iS, temos τ = i(t)SB sin(ωt) (8.24) Portanto, para que ω seja de fato constante, é preciso que um torque externo ~τap = −~τ seja aplicado ao circuito. A potência fornecida por ~τap = ~r × ~Fap é Pap = ~Fap · ~v = Fapv = (τap r ) (ωr) = τapω = [i(t)SB sin(ωt)]ω = i(t)SBω sin(ωt) = ( BSω R sin(ωt) ) SBω sin(ωt) = B2S2ω2 R sin2(ωt) = Pdis Portanto, a potência mecânica aplicada ao circuito é convertida exatamente na energia dissipada no resistor. Caṕıtulo 9 Indutância 9.1 Indutores e Indutância Neste caṕıtulo, estudamos os indutores e suas indutâncias, cujas propriedades decorrem diretamente da lei de indução de Faraday. Capacitores: Recapitulação Lembre-se que, no caso de um capacitor, a carga elétrica acumulada nas placas de um capacitor é proporcional à voltagem entre as placas: q ∝ V . A capacitância C foi definida como a constante de proporcionalidade: q = CV (9.1) ou C = q/V . Ou seja, entre as placas do capacitor, tem-se uma diferença de potencial VC VC = q C (9.2) Indutores Como o capacitor, um indutor é um elemento de circuito, sob o qual existe uma certa voltagem. O exemplo t́ıpico é um solenóide, pelo qual passa uma corrente variável. Esta gera uma variação do fluxo magnético através do indutor, que induz uma voltagem induzida em suas extreminadas. Em analogia ao tratamento dos capacitores, o fluxo magnético total em um indutor formado por N espiras é proporcional ao campo magnético, que por sua vez é proporcional à corrente elétrica nas espiras: ΦT B ∝ i. A constante de proporcionalidade é a indutância L: ΦT B = Li (9.3) ou L = ΦT B/i. Pela Lei de Faraday, a diferença de potencial no indutor é VL = −∂ΦT B/∂t, i.e. VL = −L di dt (9.4) A unidade de indutância é o Henry [H]=[T][m2]/[A]=[V][s]/[A] 77 78 CAPÍTULO 9. INDUTÂNCIA 9.2 Indução Mútua 9.2.1 Solenóide Figura 9.1: Indutância mútua de dois solenóides (Nussenzveig). Considere dois solenóides concêntricos de raios R1 e R2, correntes i1 e i2 , N1 e N2 espiras, e comprimento l. O campo criado pelo solenóide 1 é B1 = µ0 N1 l i1 , (0 < r < R1) (9.5) Portanto o fluxo magnético Φ2(1) produzido sobre as N2 espiras do solenóide 2 por B1 fica Φ2(1) = N2 ∫ ~B1 · d ~A2 = N2B1(πR2 1) = N2(µ0 N1 l i1)(πR2 1) = µ0N1N2 πR2 1 l i1 (9.6) Portanto, Φ2(1) = L12i1 (9.7) L21 = µ0N1N2 πR2 1 l (9.8) e L21 é a indutância mútua. Similarmente, B2 = µ0 N2 l i2 , (0 < r < R2) (9.9) Portanto o fluxo magnético Φ1(2) produzido sobre as N1 espiras do solenóide 1 por B2 fica Φ1(2) = N1 ∫ ~B2d ~A1 = N1B2(πR2 1) = µ0N1N2 πR2 1 l i2 (9.10) e temos Φ1(2) = L12i2 (9.11) L12 = µ0N1N2 πR2 1 l = L21 (9.12) 9.3 Auto-indução 9.3.1 Solenóide Se fizermos os dois solenóides coincidirem (i.e. R1 = R2 = R, etc.), ou se simplesmente considerar- mos o fluxo de um solenóide sobre ele mesmo, temos Φ = µ0N 2 πR2 l i (9.13) 9.5. CIRCUITO LC 81 Como i(0) = 0, temos 0 = i(0) = E R + K → K = −E R (9.29) e a solução fica i(t) = E R ( 1 − e−tR/L ) (9.30) 9.4.2 Corrente decrescendo Suponha que agora a bateria seja desconectada do circuito RL (switch b). Temos −Ri − L di dt = 0 (9.31) Note que VL tem o sentido oposto à variação de fluxo magnético, ou à variação da corrente no tempo. Como agora a corrente está decrescendo, VL terá sentido oposto ao caso anterior. Mas isso já está garantido pela equação acima, pois agora di/dt < 0, que já produz o sentido correto. A solução para i(t) fica: di dt + R L i = 0 → i(t) = Ke−tR/L Como i(0) = E/L, temos i(t) = E R e−tR/L (9.32) 9.5 Circuito LC Figura 9.5: Circuito LC. (Halliday). Para um circuito LC, temos q C − L di dt = 0 → di dt = q LC (9.33) No sentido escolhido, o capacitor está descarregando e portanto temos i = −dq/dt. Derivando temos d2i dt2 = − i LC = −ω2 0i (9.34) onde ω0 = 1√ LC (9.35) A solução fica i(t) = A cos(ω0t + ϕ) (9.36) e portanto a carga q(t) = − A ω0 sin(ω0t + ϕ) (9.37) Como não há dissipação de energia por resistores, as cargas e correntes ficam oscilando, trans- ferindo energia do capacitor para o indutor e vice-versa. 82 CAPÍTULO 9. INDUTÂNCIA 9.6 Energia do Campo Magnético Considere um circuito RL conectado a uma bateria E e com corrente crescendo: E − Ri − L di dt = 0 (9.38) Multiplicando essa equação por i, temos Ei = Ri2 + Li di dt = 0 (9.39) O primeiro termo é a potência provida pela bateria e o segundo termo a potência dissipada pelo resistor. Portanto, o último termo é a potência armazenada no indutor: dUB dt = Li di dt = L 2 di2 dt = d dt ( Li2 2 ) → UB = Li2 2 (9.40) A densidade de energia magnética em um solenóide de comprimento l e área A fica então: uB = UB vol = Li2/2 Al (9.41) Para o solenóide, L = µ0 N2 l A e B = µ0 N l i uB = Li2 2Al = ( µ0 N2 l A ) i2 2Al = µ0N 2i2 2l2 = B2 2µ0 (9.42) e podemos interpretar a energia como armazenada no campo magnético. 9.6.1 Exemplo: Cabo coaxial Para o cabo coaxial, vimos que B = µ0i 2πρ ϕ̂ (9.43) o que dá uma densidade de energia uB = 1 2µ0 ( µ0i 2πρ )2 = µ0 8π2 i2 ρ2 (9.44) Portanto a energia total em um segmento de comprimento l do cabo fica UB = ∫ uBdV = ∫ l 0 dz ∫ b a ρdρ ∫ 2π 0 dϕ uB = ∫ l 0 dz ∫ b a ρdρ ∫ 2π 0 dϕ µ0 8π2 i2 ρ2 = µ0i 2 8π2 (l2π) ∫ b a dρ ρ = µ0i 2l 4π ln ( b a ) = 1 2 [ µ0l 2π ln (a b ) ] i2 = 1 2 Li2 (9.45)