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CaríTULO Engrenagens - Geral 13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6 13-7 138 13-9 13-10 13-11 13-12 13-13 13-14 13-15 13-16 13-17 Tipos de Engrenagens. 628 Propriedades da Evolvente 631 Fundamentos 632 Razão de Contato 637 Interferência 638 Fabricação de Dentes de Engrenagens 640 Engrenagens Cênicas de Dentes Retos 643 Engrenagens Helicoidais de Eixos Paralelos 643 | Engrenagens Sem-Fim 647 Sistemas de Dentes 648 Trens de Engrenagens 650 Análise de Força — Engrenagens Cilindricas de Dentes Retos Análise de Força — Engrenagens Cônicas 658 Análise de Força — Engrenagens Helicoidais 661 Análise de Força — Engrenagens Sem-Fim 663 655 28 Projeto DE ENGENHARIA MECÂNICA. Ex capítulo abordará a geometria das engrenagens, as relações cinemáticas e as forças transmitidas pelos quatro tipos principais de engrenagens: cilíndricas de dentes retos, helicoidais, cônicas e sem-fim. As for- ças transmitidas entre engrenagens engranzadas fornecem momentos torcionais a eixos, para gerar movimen- to e transmissão de potência, e criam forças e momentos que afetam o eixo e seus mancais. Os dois capítulos subsegiientes tratarão da tensão, resistência, segurança e confiabilidade dos quatro tipos de engrenagens. 3-1 Tipos de Engrenagens As engrenagens cilíndricas de dentes retos, ilustradas na Figura 13-1, têm dentes paralelos ao eixo de rota- ção e são utilizadas para transmitir movimento entre dois eixos paralelos. De todos os tipos, a engrenagem cilíndrica de dentes retos é a mais simples, sendo, por essa razão, empregada para desenvolver as relações cinemáticas primárias da forma de dente. As engrenagens helicoidais, mostradas na Figura 13-2, têm dentes inclinados em relação ao eixo de rotação. Podem ser utilizadas nas mesmas aplicações que as engrenagens de dentes retos, porém sem ser tão barulhentas quanto aquelas, devido ao engajamento mais gradual dos dentes durante o engranzamento. O dente inclinado também cria forças axiais e momentos flexores, os quais não estão presentes em se tratando de dentes retos. Algumas vezes, as engrenagens helicoidais são empregadas para transmitir movimento en- tre eixos não-paralelos. As engrenagens cônicas, exibidas na Figura 13-3, têm dentes formados em superfícies cônicas e são uti- lizadas para transmitir movimento entre eixos que se interceptam. A figura realmente ilustra engrenagens cô- | F nicas de dentes retos. As engrenagens cônicas espiraladas são cortadas de forma que o dente deixe de ser re- to, formando um arco circular. As engrenagens hiperbolóides, abreviadas por Aipóides, são muito semelhantes às engrenagens cônicas espiraladas, exceto pelo fato de serem os eixos deslocados e não-interceptantes. O par parafuso-coroa sem-fim, apresentado na Figura 13-4, representa o quarto tipo básico de engre- nagem. Como mostrado, o pinhão sem-fim assemelha-se a um parafuso. A direção de rotação da coroa sem- fim, também chamada de roda sem-fim, depende da direção de rotação do parafuso e de serem seus dentes 1 Figura 13-2 Engrenagens helicoidais são utilizadas para transmitir movimento entre eixos paralelos e não-paralelos. 630 Proxtro DE Encenharia MECÂNICA Círculo de adendo Adendo Flanco Espessura Dedendo de dente filete Circunferência de raiz, Circunferência de folga Figura 13-5 Nomenclatura para dentes de engrenagens cilíndricas de dentes retos. O círculo de folga é um círculo tangente ao círculo de adendo da engrenagem par. A folga c é o quan- to o dedendo, em uma dada engrenagem, excede ao adendo da sua engrenagem par. O recuo é o quanto a lar- gura do espaço entre os dentes excede à espessura dos dentes engranzados, medido sobre os círculos primi- tivos. Você deve provar a si mesmo a validade das seguintes relações úteis: N P=5 (13-1) d n=s (13-2) xd p= =m (133) pP=7 (13-4) em que: P = passo diametral, dentes por polegada úmero de dentes d = diâmetro primitivo, in m = módulo, mm d = diâmetro primitivo, mm Pp = passo circular 13-3 Ação Conjugada A discussão que se segue supõe que os dentes sejam perfeitamente formados, suaves e rígidos. Tal hipótese é, obviamente, irrealista, já que a aplicação de forças causará deflexões. Os dentes de engrenagens engranzadas, agindo uns sobre os outros para produzir movimento rotatório, são similares a cames. Quando os perfis de dente, ou cames, são projetados para produzir uma razão de velo- cidade angular constante durante o engranzamento, diz-se que os mesmos têm ação conjugada. Pelo menos em tese é possível selecionar, arbitrariamente, qualquer perfil para um dente e então encontrar um perfil para o dente engajante que resulte em ação conjugada. Uma dessas soluções é o perfil de evoluta, o qual, com umas poucas exceções, é de uso universal para dentes de engrenagens e o único com o qual nos preocuparemos. Quando uma superfície curva empurra outra superfície (Figura 13-6), o ponto de contato ocorre onde ambas são tangentes entre si (ponto c), e as forças em qualquer instante são direcionadas, ao longo da nor- mal comum ab, às duas curvas. A linha ab, representando a direção da ação das forças, é denominada linha de ação. Essa linha interceptará a linha de centros 0-0 em um ponto P. A razão de velocidade angular en- Capfruto 13 + ENGRENAGENS Ger 631 Figura 13-6 Came A e seguidor B em contato. Quando as superfícies em contato têm perfis de evolvente, a ação conjugada resultante produz uma razão constante de velocidade angular. tre os dois braços é inversamente proporcional aos seus raios ao ponto P. Os círculos traçados através do a ponto P, a partir de cada centro, são denominados círculos primitivos, e o raio de cada um deles é denomi- E nado raio primitivo. O ponto P, por sua vez, é denominado ponto primitivo. r A Figura 13-6 é útil para uma outra observação. Um par de engrenagens é, de fato, um par de cames que agem em um pequeno arco e que, antes do término do contorno de evoluta, são substituídos por um outro par idêntico de cames. Os cames podem rodar em uma ou outra direção e são configurados para transmitir uma ra- zão de velocidade angular constante. Se curvas de evoluta são utilizadas, as engrenagens toleram mudanças na D distância centro a centro, sem qualquer variação na razão constante de velocidade angular. Ademais, os perfis de cremalheira têm flancos retos, tornando o ferramental primário mais simples. Para transmitir movimento a uma razão de velocidade angular constante, o ponto primitivo deve per- manecer fixo; isto é, todas as linhas de ação, para cada ponto instantâneo de contato, devem passar pelo mes- mo ponto P. No caso do perfil de evoluta, será mostrado que todos os pontos de contato ocorrem na mesma 3) linha reta ab, que todas as normais aos perfis de dente, no ponto de contato, coincidem com a linha ab e que, portanto, esses perfis transmitem movimento rotativo uniforme. b 13-4 Propriedades da Evolvente Uma curva evolvente, ou involuta,* pode ser gerada como mostra a Figura 13-7(a). Um flange parcial B é atado ao cilindro A, ao redor do qual é enrolada uma corda def, que é mantida esticada. O ponto b na corda representa o ponto traçador e, à medida que ela é enrolada e desenrolada ao redor do cilindro, esse ponto irá traçar a curva evolvente ac. O raio de curvatura da evolvente varia continuamente, sendo zero no ponto a e um máximo no ponto c. No ponto b, o raio é igual à distância be, uma vez que o ponto b está, instantanea- mente, rodando em relação ao ponto e. Dessa forma, a linha geradora de é normal à evolvente em todos os pontos da intersecção e, ao mesmo tempo, sempre tangente ao cilindro A. O cilindro sobre o qual a evolven- te é gerada é denominado círculo de base. Examinemos o perfil da evolvente para verificar como ela satisfaz aos requerimentos para transmissão e de movimento uniforme. Na Figura 13-7(b), duas rodas de engrenagens com centros fixos em O, e O, são mostradas tendo círculos de base cujos raios respectivos são O a e O,b. Imaginemos, agora, que uma corda >» seja enrolada ao redor do círculo de base da engrenagem 1, esticada entre os pontos a e b e enrolada, em sen- tido anti-horário, ao redor do círculo de base da engrenagem 2. Se, então, os círculos de base forem rodados 5 em direções diferentes, a fim de manter a corda esticada, um ponto g nela irá descrever as evolventes cd na o engrenagem 1 e ef na engrenagem 2. Tais evolventes são, assim, geradas simultaneamente pelo ponto traça- s dor. Esse ponto representa, portanto, o ponto de contato, ao passo que a porção da corda ab é a linha gera- e a * N, de T.: Os termos evoluta e involuta são relacionados. Evoluta, do latim evolutus, é a curva que corresponde ao local geométrico de uma outra curva; o enve- lope das perpendiculares da involuta. Involuta, ou evolvente, do latim involutus, é, por sua vez, o local geométrico dos centros de curvatura de uma curva pla- na ou inversa: curva cujas tangentes são normais a uma outra; curva que se faz sobre a superfície tangente de uma outra curva e que intercepta, ortogonalmen- te, as retas geradoras. [Re Sisuco cus cmrorppenes mesas cor rrenan op anger RSA RIC ARA cg a a Capítulo 13 « Encrenaçens -Gera 633 Quando duas engrenagens estão engranzadas, seus círculos primitivos rolam uns sobre os outros, sem escorregamento, Designe os raios primitivos como r, e r, e as velocidades angulares como «, e (»,, respec- tivamente. Desse modo, a velocidade no círculo primitivo vale V=|no] = rol Logo, a relação entre raios e velocidades angulares é o rn (13-5) [E n Suponha que desejemos projetar um redutor de velocidade tal que a velocidade de entrada seja de 1800 rpm e a de saída, 1200 rpm. Isso representa uma razão de 3:2; os diâmetros dos círculos primitivos estariam, portanto, na mesma razão, por exemplo, de um pinhão de 4 in acionando uma coroa de 6 in. As várias di- mensões encontradas em engrenamentos são sempre baseadas nos círculos primitivos. Suponha que especifiquemos que um pinhão de 18 dentes deva engranzar com uma engrenagem de 30 dentes e que o passo diametral do conjunto de engrenagens deva ser de dois dentes por polegada. Assim, a partir da Equação (13-1), os diâmetros primitivos do pinhão e da coroa são, respectivamente, 1.18 = =5 =ºin bh= 30 => =1S5in 2 O primeiro passo, ao desenhar dentes em um par de rodas, é mostrado na Figura 13-9. A distância en- tre centros é a soma dos raios primitivos — nesse caso, 12 in. Sendo assim, localize os centros O, e O, das en- grenagens, 12 polegadas à parte. Construa então os círculos primitivos de raios r, e r;. Esses círculos são tan- gentes entre si no ponto P, o ponto primitivo. A seguir, construa a linha ab, a tangente comum, passando pe- Jo ponto primitivo. Designamos a engrenagem 1 como sendo a engrenagem motora, e, uma vez que ela es- teja se movendo em sentido anti-horário, desenhamos uma linha cd passando pelo ponto P, formando um ângulo é com a tangente comum ab. A linha cd tem três nomes, todos eles de uso geral: é denominada linha depressão, linha de geração e linha de ação. Ela representa a direção na qual a força resultante atua entre as engrenagens. O ângulo à é denominado ângulo de pressão e geralmente apresenta os valores de 20 ou 25º, ainda que 144º tenha sido utilizado no passado. A seguir, em cada engrenagem, desenhe um círculo tangente à linha de pressão. Esses círculos consti- tuem os círculos de base. Uma vez que são tangentes à linha de pressão, o ângulo de pressão determina seus tamanhos. Como mostrado na Figura 13-10, o raio do círculo de base é m=rcosó (13-6) em que ré o raio primitivo. Agora, gere uma evolvente sobre cada círculo de base, tal como discutido previamente e mostrado na Figura 13-9. Essa evolvente deve ser utilizada para um lado de dente de engrenagem. Não é necessário de- senhar uma outra curva na direção reversa para criar o outro lado do dente, uma vez que iremos utilizar um gabarito que pode ser girado de modo a obtê-lo. —— Círculo deruiz Círculo primitivo Cítculo de base Exolvente Círculos de topo de raiz Figura 13-9 Círculos de um arranjo de engrenagens. [E RR NEED POE DR a RA 634 rosto DE EncenHaRia MECÂNICA Círculo primitivo | / Linha de pressão 4 1 r A Y csrento de base | [| od H Figura 13-10 O roio do círculo de base pode ser relacionado ao ângulo de pressão ge ao raio do círculo primitivo por meio de 1, = ros à As distâncias referentes ao adendo e ao dedendo para dentes padronizados intercambiáveis são, como iremos aprender mais adiante, 1/P e 1,25/P, respectivamente. Portanto, para o par de engrenagens que esta- mos construindo, 11 125 1,25 . a= =5=0,500in b= P 3 = 0,625 in Fazendo uso dessas distâncias, desenhe os círculos de adendo e dedendo do pinhão e da coroa como mostrado na Figura 13-9. A seguir, utilizando papel de desenho espesso ou, preferivelmente, uma folha de plástico claro de ) 0,015 a 0,020 in, recorte um gabarito para cada evolvente, sendo cuidadoso ao localizar os centros das en- grenagens de forma apropriada com relação a cada evolvente. A Figura 13-11 consiste em uma reprodução do gabarito empregado para criar algumas das ilustrações deste livro. Observe que apenas um lado do perfil de dente é construído nesse gabarito. Para obter o outro lado, vire-o. Para alguns problemas, você pode que- rer construir um gabarito para o dente inteiro. Para desenhar um dente, você necessita saber sua espessura. A partir da Equação (13-4), o passo cir- cular é D=D=isi rSpooo mm Sendo assim, a espessura do dente é r=2 18 comi 2 2 medida no círculo primitivo. Utilizando essa distância para a espessura de dente, assim como para o espaço entre dentes, desenhe tantos dentes quanto desejar, por meio do gabarito, após os pontos terem sido marca- dos no círculo primitivo. Na Figura 13-12, somente um dente foi desenhado em cada engrenagem. Você po- derá encontrar problemas ao desenhar esses dentes, se um dos círculos de base for maior que o círculo de dedendo. A razão para isso reside no fato de que a evolvente começa no círculo de base, sendo indefinida abaixo dele. Assim, ao desenhar dentes de engrenagens, geralmente desenhamos uma linha radial para o per- fil abaixo do círculo de base. A forma real, entretanto, dependerá do tipo de ferramenta de máquina utiliza- da para formar os dentes durante a manufatura, isto é, da forma como o perfil é gerado. A porção do dente entre o círculo de folga e o círculo de dedendo inclui o filete. Nesse caso, a folga é c=b-—a = 0,625 — 0,500 = 0,125in A construção termina quando os filetes tiverem sido desenhados. Figura 13-11 Um gabarito para o desenho de dentes. ESSO E TO 636 Prosro e Excenharia MECÂNICA Passo de base circular Figura 13-13 Pinhão de dentes com perfil de evolvente e cremalheira. Linha de pressão Círculo primitivo Círculo de raiz Círculo de topo Figura 13-14 Engrenagem interna e pinhão. primitivos de projeto das engrenagens, embora seja essa a forma como eles foram construídos na Figura 13- 12. Se aumentarmos a distância entre os centros, criaremos dois novos círculos primitivos de operação com diâmetros maiores, haja vista que eles devem ser tangentes entre si no ponto primitivo. Dessa forma, os cír- culos primitivos das-engrenagens realmente não começarão a existir até que um par de engrenagens seja pos- to em engranzamento. Alterar a distância entre os centros não produz efeito sobre os círculos de base, visto que esses círcu- los foram utilizados para gerar os perfis de dentes. Assim, o círculo de base é fundamental para uma engre- nagem. Incrementar a distância entre os centros aumenta o ângulo de pressão e diminui o comprimento da linha de ação; no entanto, os dentes ainda são conjugados, o requerimento de transmissão uniforme de mo- vimento ainda é satisfeito e a razão de velocidade angular não mudou. EXEMPLO 13-1 Um par de engrenagens consiste em um pinhão de 16 dentes movendo uma coroa de 40 dentes. O passo diametral vale 2, e o adendo e o dedendo são 1/P e 1,25/P, respectivamente. As engrenagens são cortadas com um ângulo de pressão de 20º. (a) Compute o passo circular, a distância entre os centros e os raios dos círculos de base. (b) Ao montar essas engrenagens, a distância entre os centros foi, incorretamente, aumentada em À in. Calcule os novos valores do ângulo de pressão e os diâmetros de círculo primitivo. Solução EIA Eis 7] Resposta (a) [cen vt 1,57in Carítuio 13 « ENGRENAGENS GERAL 637 Os diâmetros primitivos do pinhão e da coroa são, respectivamente, 16 40 ! des otn do = 7 =20in Portanto, a distância entre os centros é dptdo 8+20 —— = 14i Z Z in Uma vez que os dentes foram cortados com um ângulo de pressão de 20º, os raios do círculo de ba- se são determinados segundo a expressão r, = r cos à, Resposta rp (pinhão) = eos 20º = 3,76 in Resposta ny (coroa) = = cos 20º = 9,40 in (b) Designando como dp e dç, os novos diâmetros primitivos, o aumento de i in na distância entre os cen- tros requer que do + de dedo 14250 (1) Ademais, a razão de velocidades não muda, e assim 7 Ep JÉ (o) de 40 Solucionando as Equações (1) e (2), simultaneamente, obtemos dp =8,143in dg = 20,357in Resposta Uma vez que r, = r cos 4, o novo ângulo de pressão é = Fb (pinhão) 376 E > Resposta g=cos!2 IT =cos! 10 =2256 a po: 6/2 8,143/2 r e + 13-6 Razão de Contato a A zona de ação de dentes de engrenagens engranzadas é mostrada na Figura 13-15. Recordemo-nos de que o la contato entre dentes começa e termina na intersecção dos dois círculos de adendo com a linha de pressão. Na ii Figura 13-15, o contato inicial ocorre em a e o contato final, em b. Perfis de dentes traçados a partir desses pon- tos interceptam o círculo primitivo em A e B, respectivamente. Como mostrado, a distância AP é denominada arco de aproximação q, e a distância PB, arco de recesso q,. A soma dessas quantidades é o arco de ação q,. o] Agora, considere uma situação em que o arco de ação seja exatamente igual ao passo circular, isto é, q, = p. Isso significa que um dente e seu espaço irão ocupar o arco completo AB. Em outras palavras, quando um dente está justamente começando o contato em a, o dente anterior está, ao mesmo tempo, terminando o seu contato em b. Portanto, durante a ação de dente entre a e b existirá exatamente um par de dentes em contato. A seguir, considere uma situação em que o arco de ação seja maior que o passo circular, ainda que não muito — digamos, q, = 1,2p. Isso significa que, quando um par de dentes está acabando de entrar em conta- to em a, um outro par, ainda em contato, não terá ainda alcançado b. Logo, por um curto período de tempo haverá dois dentes em contato, um na vizinhança de A e outro na de B. À medida que o engranzamento pros- segue, o par próximo a B deve cessar o contato, deixando apenas um par de dentes em contato, até que o pro- cedimento se repita. Devido à natureza dessa ação entre dentes, na qual um ou dois pares de dentes estão em contato, é con- veniente definir o termo razão de contato m, como m = (13-8) p FÉ Capíruto 13 + ENGRENAGENS —GeraL 639 AP Círculo de base / SN pndodopt ANA N não é de evolvente Pá sYZ Engrenagem movida 3 Linha de pressão EN : Cíeuts VA DE WS =x . N 7 A intestesência ocome no N flanco da engrenagem rd 4 mooradurmea aproximação Círculodebaso N N Esta porção do perfil não é de evolvente Engrenagem motora 2 Figura 13-16 . Interferência na ação de dentes de engrenagens. (Esta é, de fato, uma figura pobre; 1. E. Shigley desenhou a forma dos dentes fazendo uso de arcos circulares, o que é incorreto, para responder a uma questão formulada por um estudante há muitos anos.) 4k Np=—— "E ese (1 +4 sto) (13-10) em que k = 1 para dentes de altura completa, 0,8 para dentes reduzidos e é = ângulo de pressão. Para um ângulo de pressão de 20º, com k = 1, E No = 0 (1 +v1+ 3sen? 20º) = 12,3 = 13 dentes — 6sen?20º Assim, 13 dentes no pinhão e na coroa não causam interferência. Observe que 12,3 dentes constituem um resultado possível para arcos engranzados; porém, para engrenagens rotantes, 13 dentes representam o menor número. Para um ângulo de pressão de 1418, N, = 23 dentes, de maneira que se pode entender por que poucos sistemas com dentes de 144º de ângulo de pressão são usados, já que ângulos de pressão maio- res podem produzir um pinhão menor, com uma menor distância correspondente entre os centros. Se a engrenagem par tem um número de dentes maior do que o pinhão, isto é, semç = Nç/N, = mé maior que um, então o menor número de dentes no pinhão, sem que ocorra interferência, é fornecido por = oO. 2 2 7 Np= Tres (+ mi + (1 +2m) sen 8) (13-11) Sem=4,6=20, — DO as 424 (14214) senê2 = 15,4 = 16 dentes 640 Prosro De ExcenHaria MECÂNICA Assim, um pinhão de 16 dentes irá engranzar com uma coroa de 64 dentes, sem interferência. O menor pinhão cilíndrico de dentes retos que irá operar com uma cremalheira, sem interferência, é = AG) = 13-12 á 2sen À ( ) Para um ângulo de pressão de 20º, com dentes de profundidade completa, o menor número de dentes do pinhão é 4a p= O = 17,1 = 18 dentes 2sen* 20º A maior coroa com um pinhão especificado livre de interferência é À senÊ 2 — Npsenb—4K CC gk-2Np sent (13-13) Para um pinhão de 13 dentes, com um ângulo de pressão q de 20º, 132 sen? 20º — 4(1)2 = "05 Dn. E 16,45 = 16 dentes 4(1) — 2(13) sen” 20º G Para um pinhão cilíndrico de dentes retos com 13 dentes, o máximo número de dentes possível na co- roa, sem ocorrência de interferência, é 16. Uma vez que ferramentas que dão forma a engrenagens resumem-se a contato com uma cremalheira, e o processo de fresagem é similar, o número mínimo de dentes para evitar a interferência, para evitar adel- gaçamento no processo de fresagem, é igual ao valor de N, quando N, é infinito. A importância do problema relativo a dentes que foram enfraquecidos por adelgaçamento não pode ser superenfatizada. Obviamente, a interferência pode ser eliminada utilizando-se mais dentes no pinhão. Toda- via, se este se destina a transmitir uma dada quantidade de potência, mais dentes podem ser usados somen- te com aumento do diâmetro primitivo. A interferência também pode ser reduzida mediante a utilização de um ângulo de pressão maior. Isso resulta em um círculo de base menor, de modo que uma parte maior do perfil de dente torna-se evolvente. A demanda por pinhões menores, com menos dentes, favorece, portanto, o uso de um ângulo de pressão de 25º, ainda que as forças de atrito e as cargas nos mancais aumentem e a razão de contato decresça. 13-8 Fabricação de Dentes de Engrenagens Existem muitas maneiras de fabricar dentes de engrenagens, tais como fundição em areia, moldagem em casca, fundição de investimento, fundição em molde permanente, fundição em matriz e fundição centrífuga. Os dentes também podem ser fabricados mediante o processo de metalurgia do pó; de outra forma, por meio de extrusão, uma única barra de alumínio pode ser fabricada e então fatiada em engrenagens. De fato, as en- grenagens que suportam altas cargas, em comparação com seus tamanhos, são geralmente feitas de aço e cortadas com cortadores de forma ou de geração. No corte de forma, o espaçamento dos dentes toma a for- ma exata do cortador. No de geração, uma ferramenta com uma forma diferente do perfil de dente move-se relativamente à peça que dará origem à engrenagem, de modo a gerar a forma apropriada de dente. Um dos métodos de formação de dentes mais recentes e promissores é conhecido como conformação a frio, ou la- minação a frio, no qual matrizes são roladas sobre peças de aço para formar os dentes. As propriedades me- cânicas do metal são notavelmente melhoradas pelo processo de rolamento, e um perfil gerado de alta qua- lidade é obtido ao mesmo tempo. Os dentes de engrenagens podem ser usinados por fresagem, moldagem ou fresagem de caracol; po- dem também ser acabados por rebarbação, brunimento, retífica ou lapidação. Engrenagens de termoplásticos como náilon, policarbonatos e acetal são bastante populares e facil- mente manufaturadas por injeção em molde. Apresentam precisão variando entre baixa e moderada e são de baixo custo para produção em altas quantidades, além de serem e capazes de transmitir cargas leves, poden- do funcionar sem lubrificação. Fresagem | Os dentes de engrenagens podem ser cortados com uma fresa de forma feita para adaptar-se ao espaço de dente. Com esse método, é teoricamente necessário utilizar um cortador diferente para cada engrenagem, CEE 642 Proxtro e ENcenHaria MECÂNICA A peça de engrenagem ” O cortador de cremalheira altema em uma direção perpendicular a esta página. Figura 13-18 Usinagem de dentes por meio de uma cremalheira. (Esta é uma figura de quadro-negro que J. E. Shigley fez, em resposta a uma pergunta de um estudante, há quase 35 anos, na Universidade de Michigan.) Figura 13-19 Fresagem de uma engrenagem. (Cortesia da Boston Gear Works, Inc.) Acabamento Engrenagens que rodam a altas velocidades e transmitem gra.ides forças podem ser submetidas a forças di- nâmicas adicionais, no caso de haver erros nos perfis de dentes. Os erros podem ser de alguma forma evita- dos pelo acabamento dos perfis de dentes, o qual pode ser feito após o corte, tanto por rebarbação como por brunimento. Existem várias máquinas de rebarbação que cortam uma quantidade diminuta de metal, trazen- do a acurácia do perfil de dente para dentro dos limites de 250 ptin. O brunimento, assim como a rebarbação, é usado com engrenagens que foram cortadas, ainda que não tratadas termicamente. Nele, engrenagens endurecidas, com dentes ligeiramente maiores que o necessário, são postas a rodar com a engrenagem, até que as superfícies tornem-se suaves. A retífica e a lapidação são usadas para dentes de engrenagens endurecidas após tratamento térmico A operação de retífica emprega o princípio da geração e produz dentes bastante precisos. Na lapidação, os dentes da engrenagem em trabalho e da lapidadora deslizam de forma axial, para que toda a sua superfície seja desgastada igualmente. E SEE SERES O ST et 642 Prosro DE ENcENHaria MECÂNICA A peça de engrenagem O cortador de cremalheira alterna erm uma direção perpendicular a esta página Figura 13-18 Usinagem de dentes por meio de uma cremalheira. (Esta é uma figura de quadro-negro que J. E. Shigley fez, em resposta a uma pergunta de um estudante, há quase 35 anos, na Universidade de Michigan.) Figura 13-19. Fresagem de uma engrenagem. [Cortesia da Boston Gear Works, Inc.) Acabamento Engrenagens que rodam a altas velocidades e transmitem grai.des forças podem ser submetidas a forças di- nâmicas adicionais, no caso de haver erros nos perfis de dentes. Os erros podem ser de alguma forma evita- dos pelo acabamento dos perfis de dentes, o qual pode ser feito após o corte, tanto por rebarbação como por brunimento. Existem várias máquinas de rebarbação que cortam uma quantidade diminuta de metal, trazen- do a acurácia do perfil de dente para dentro dos limites de 250 in. O brunimento, assim como a rebarbação, é usado com engrenagens que foram cortadas, ainda que não tratadas termicamente. Nele, engrenagens endurecidas, com dentes ligeiramente maiores que o necessário, são postas a rodar com a engrenagem, até que as superfícies tornem-se suaves. A retífica e a lapidação são usadas para dentes de engrenagens endurecidas após tratamento térmico. A operação de retífica emprega o princípio da geração e produz dentes bastante precisos. Na lapidação, os dentes da engrenagem em trabalho e da lapidadora deslizam de forma axial, para que toda a sua superfície seja desgastada igualmente. ESCREO AOS Êi 644 | Proxro DE ENcenHaRia MECÂNICA Evolyente Ângulo da hélice f de base Cilindro de base Figura 13-21 Uma evolvente helicoidal. paralelogramo, é enrolado ao redor de um cilindro, a extremidade angular do papel torna-se uma hélice, Se desenrolarmos esse papel, cada ponto na extremidade angular irá gerar uma curva evolvente. Tal superfície, obtida quando cada ponto da extremidade gera uma evolvente, é denominada helicóide de evolvente. O contato inicial dos dentes das engrenagens cilíndricas de dentes retos é uma linha que sc estende ao longo da face completa do dente. O contato inicial dos dentes das engrenagens helicoidais é um ponto que se estende até formar uma reta, à medida que os dentes aumentam o grau de engranzamento. Em engrena- gens cilíndricas de dentes retos, a linha de contato é paralela ao eixo de rotação; em engrenagens helicoi- dais, é uma diagonal cruzando a face do dente. É precisamente esse engajamento gradual dos dentes e a transferência suave de carga de um dente para o outro que confere às engrenagens helicoidais a habilidade de transmitir grandes cargas a altas velocidades. Devido à natureza do contato entre engrenagens helicoi- dais, a razão de contato tem importância menor, sendo a área de contato, que é proporcional à largura de fa- ce da engrenagem, o fator relevante. As engrenagens helicoidais submetem os mancais de eixo a ambas as cargas, radial e axial. Quando as cargas axiais tornam-se elevadas, ou então motivo de objeção por outras razões, pode ser desejável utilizar engrenagens helicoidais duplas. Uma engrenagem desse tipo (espinha-de-peixe) é equivalente a duas engre- nagens helicoidais de mãos opostas, montadas lado a lado no mesmo eixo. Elas desenvolvem reações axi: opostas e, assim, cancelam a carga axial. Quando duas ou mais engrenagens helicoidais simples são montadas no mesmo eixo, a mão das en- grenagens deve ser selecionada de modo a produzir uma carga axial mínima. A Figura 13-22 representa uma porção da vista do topo de uma cremalheira helicoidal. As linhas ab e cd são as linhas de centro de dois dentes helicoidais adjacentes tomados sobre o mesmo plano primitivo. O ângulo yé o ângulo de hélice. A distância ac é o passo circular transversal p, no plano de rotação (geral- mente chamado de passo circular). A distância ae é o passo circular normal p, e está relacionada com o pas- so circular transversal da seguinte forma Pn = preosy (13-16) A distância ad é chamada de passo axial p, e está definida pela expressão pr = 13-17 Pe any (13-17) Uma vez que p,P, = 7,0 passo diametral normal é P P= (13-18) cosy E O ângulo de pressão à,, na direção normal, é diferente do ângulo de pressão 6, na direção de rotação, devido à angularidade dos dentes. Esses ângulos relacionam-se por meio da equação tand, tand, cos y = (13-19) A Figura 13-23 ilustra um cilindro cortado por um plano oblíquo ab em um ângulo W relativo a uma secção reta. Esse plano corta um arco que tem um raio de curvatura R. Para a condição y = 0, o raio de curvatura é R = D/2. Se imaginarmos o ângulo y sendo pouco a pouco aumentado de zero a 90º, vere- mos que R inicia em um valor D /2 e aumenta até quando y = 90º, R = es, O raio R é o raio primitivo apa- EC Caríruio 13 e ENGRENAGENS —GERAL 645 (a) Figura 13-22 Nomenclatura de engrenagens helicoidais (a) Figura 13-23 Cilindro cortado por um plano oblíquo. rente de um dente de engrenagem helicoidal quando visto na direção dos elementos de dentes. Uma en- grenagem do mesmo passo e com o raio R terá um número maior de dentes, devido ao aumento do raio. Na terminologia das engrenagens helicoidais, isso é conhecido como número virtual de dentes. Pode ser mostrado pela geometria analítica que o número virtual de dentes está relacionado com o número real por meio da equação n =D (13-20) 
