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Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano
Perdas de Protensão
DEFINIÇÕES
3.1. Introdução
A força efetiva de protensão é variável ao longo do cabo e menor do que a aplicada pelo dispositivo de protensão. Esta redução de força é chamada de perda de protensão. Ela é devida a várias causas. Costuma-se agrupar as perdas em dois conjuntos: A. Perdas imediatas que ocorrem durante o estiramento e ancoragem dos cabos B. Perdas progressivas, que ocorrem ao longo do tempo. No caso comum de concreto protendido com aderência posterior, constituem perdas imediatas, aquelas provenientes de: Atrito entre o cabo e a bainha; Acomodação do cabo nas ancoragens; Encurtamento do concreto durante a operação de protensão. As perdas progressivas são provocadas pela: Retração e fluência do concreto Relaxação da armadura de protensão.
3 2. Perdas por atrito em cabos pós-tracionados
As perdas por atrito variam ao longo do cabo. O fenômeno envolvido é o do atrito entre o cabo e a bainha e é similar ao problema de uma polia que recebe um momento torçor através de uma correia.
Figura 23
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Conforme o esquema da fig. 23, pode-se escrever:
p. μ.ds + dP = 0 onde: μ = coeficiente de atrito entre a correia e a polia.
Substituindo
r
P p = e ds=r.dα
na expressão anterior, tem-se: P. .r.d dP 0 r
μ α + = ou = −μ.dα P
dP
Portanto, ln( P)=−μ.α+C
Sendo P=P 0 , para α = 0, vem C =ln(P 0 )
e, portanto
ln( P)-ln(P 0 )= - μα ou P = P 0 .e−μα.
Figura 24 Em situações usuais, ilustradas na fig.24, μ ≈ 0,2 e α ≤ 20° (0,35 rad). Portanto, o produto μα ≤ 0,07. Para valores desta ordem pode-se tomar
e −μα^ ≅ 1 − μα
resultando
P ≅ P 0 ( 1 −μα).
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Costuma-se determinar o valor da força de protensão nas extremidades de cada trecho (reto ou curvo) a partir da força já definida para a extremidade inicial do respectivo trecho. Normalmente, admite-se que, em cada trecho, o diagrama de força possa ser aproximado por uma variação linear. Considere-se o cabo esquematizado na fig. 25:
Figura 25 Admitindo-se:
μ = 0,2 ; k = 0,002 m-1^ ; PA = 1733 KN; Ap = 11,84 cm^2 a 1 = 10 m ; a 2 = 5 m ; α = 8,5°= 0,148 rad.; Ep = 19500 kN/cm^2 resulta
PB ≅PA ( 1 −μα−ka 1 )
PB = 1733 ( 1 −0,2.0,148−0,002.10) =1647KN
PC = PB ( 1 −ka 2 )→ PC = 1647 ( 1 − 0 ,002.5) =1631KN
O alongamento do cabo no final da protensão vale
l
(^1733 1647 10 1647 1631 5 1) 108, 7 mm 2 2 11,84 19500
Δ = ⎛^ +^ × + + × ⎞ = ⎜⎝ ⎟⎠ (^) ×
A fig. 26 apresenta o diagrama de força de protensão ao longo da viga com a aplicação de P 0 nas extremidades.
Figura 26
A B (^) C
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3.3. Perda por acomodação das cunhas de ancoragem
Geralmente, a ancoragem do cabo é feita por encunhamento individual das cordoalhas. Este encunhamento é acompanhado de um recuo do cabo (δ), de alguns milímetros acarretando uma queda na força de protensão, num trecho de comprimento x junto à ancoragem, e mobilizando forças de atrito em sentido contrário àquelas da operação de protensão. A figura 27 apresenta as diversas situações que podem ocorrer com a acomodação nas ancoragens de um cabo simétrico, protendido simultaneamente pelas suas extremidades.
Figura 27 Para o cálculo da influência do encunhamento serão descrito dois métodos; o primeiro é de simples interpretação e entendimento, fácil e de utilidade prática; já o segundo é mais aprimorado e preciso. Deste modo, será resolvido o seguinte problema: Determinar o diagrama de força de protensão após o encunhamento para o cabo de protensão da viga esquematizada na figura 27. As perdas durante a protensão foram determinadas no item 3.2. Dados: μ = 0,2 (coeficiente de atrito - trechos curvos) k = 0,002 / m (coeficiente de atrito ao longo do cabo) f (^) ptk = 1900 MPa (valor característico da resistência à ruptura) 0,77 fptk = 1463 MPa (tensão normal máxima no ato de protensão) Ap = 11,844 cm^2 (área da seção do cabo de 12 cordoalhas de 12,7 mm) P 0 = 0,77 fptk Ap = 1733 kN (força inicial de protensão) Ep = 195000 MPa (módulo de elasticidade da armadura de protensão) δ = 6 mm (recuo do cabo devido à cravação da cunha de ancoragem)
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1 0 1
x A a P ka
= δ μα +
1 0 1 1
P P P^ Px a
= +^ −
P 01 = 2P −P 0
2.2. Se A 1 for menor do que Aδ , a influência do recuo na ancoragem estende-se além de P 1 e deve-se prosseguir com o item 3;
- Determinar a área da figura (P 0 P 1 P 2 BC) = A 2 = 1260, da figura 30 (caso B);
Figura 30
3.1. Se A 2 for maior ou igual do que Aδ , a extensão da influência do encunhamento pode ser definida através da igualdade [área da figura (P 0 P 1 PP 11 P 01 )] = Aδ = 1385,7, resultando;
2 P P y^ a 2P ky y a A A 2 2 δ
− ⎛^ + ⎞^ = ⎛^ + ⎞= − ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠
de onde se obtém y e, portanto, x e os valores de P 11 e P 01 ;
3.2. Se A 2 for menor do que Aδ , todo o cabo é afetado pelo encunhamento, figura 9 e os valores da força de protensão podem ser obtidos a partir da expressão (caso C):
2 ΔP a ( 1 + a 2 )= A δ− A 2 ΔP = 4,19 kN.
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Figura 31
A. Nos cabos protendidos por uma das extremidades (ancoragem fixa na outra extremidade), o diagrama de força de protensão pode ser definido (a partir da extremidade que recebe a protensão) aplicando-se, por exemplo, o procedimento visto no item anterior.
2° Método
a) Caso A, em que x < a 1
Figura 32
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0 1 1 1 ( 1 ) 1 1 p p
P ka a x a E A P k x a a 2 2 2
μα + (^) + − ⎛ (^) + − ⎞= δ ⎜⎝ ⎟⎠
logo
p p (^0 1 )^1 1
1
E A P P a P ka x P k
δ − − +
resultando
P = P 1 ⎡⎣ 1 − k x ( −a 1 )⎤⎦
P 01 = 2P −P 0 P 11 = 2P −P 1
c) Caso C em que (x = a 1 + a 2 )
Figura 34
Tem-se:
0 1 1 ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ) p p
P P a a E A P P a P a a 2 2 2
− (^) + − ⎛ (^) + ⎞+ Δ + = δ ⎜⎝ ⎟⎠
ou
p p 0 1 1 (^1 2 ) 1 2
1 2
E A P^ P^ a P P a a P 2 2 2 a a
δ (^) − − − − ⎛ (^) + ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ Δ =
P 01 = 2P 2 − P 0 − 2 ΔP P 11 = 2P 2 − P 1 − 2 ΔP P 22 =P 2 − 2 .Δ P
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Resolvendo o exemplo anteriormente proposto pelo 2 o^ método
Não se sabe a priori , até onde chega a influência do recuo nas ancoragens. A solução pode ser encontrada por tentativas. Pode-se começar, por exemplo, admitindo-se tratar do caso A (item 3.3) onde a influência é restrita ao trecho curvo. Assim,
p p 1 0 1
E A a x P ka
δ
19500 11,844 0, 006 10 (^) 12, 70 m 1733 0, 2 0,148 0, 002 10
= ⋅^ ⋅^ ⋅ = ⋅ + ⋅
O valor obtido mostra que o recuo afeta além do trecho curvo inicial (x > a 1 = 10 m). Caso se admita o caso B (influência até um ponto do trecho reto), vem:
p p (^0 1 )^1 1
1
E A P P a P ka x P k
δ − − +
x 19500 11,844 0, 006^ (^1733 1647 )^10 1647 0, 002 10^2 16,1 m
1647 0, 002
= ⋅^ ⋅^ −^ −^ ⋅^ +^ ⋅^ ⋅ = ⋅
Este valor ultrapassa a metade do comprimento do cabo (simetria) que é de 15 m. Conclui- se, assim, tratar-se do caso c, resultando:
p p 0 1 1 (^1 2 ) 1 2
1 2
E A P^ P^ a P P a a P 2 2 2 a a
δ (^) − − − − ⎛ (^) + ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ Δ =
19500 11,844 0, 006^1733 1647 10 1647 1631 P 2 2 2 4,19 kN 10 5
⋅ ⋅ − −^ ⋅ − − ⎛^ + ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ Δ = =
P 01 = 2P 2 − P 0 − 2 ΔP = 2 1631⋅ − 1733 − 2 4,19⋅ = 1521 kN
P 11 = 2P 2 − P 1 − 2 ΔP = 2 1631⋅ − 1647 − 2 4,19⋅ = 1607 kN
P 21 = P 2 − 2 ΔP = 1631 − 2 4,19⋅ = 1623 kN
A figura 35 apresenta o diagrama de força normal no cabo:
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p p (^ g cp)
n 1 2n
Δσ = α σ + σ^ −
onde:
g g p c
M e I
σ = → tensão no concreto ao nível do baricentro da armadura de
protensão, devida à carga permanente mobilizada pela protensão; 2 p cp c c
1 e P A I
⎛ ⎞ σ = − (^) ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ ⎠
→ tensão no mesmo ponto anterior, devida à protensão simultânea
dos n cabos;
p p c
E E
α = → coeficiente de equivalência;
Ac , I (^) c → área e momento de inércia da seção transversal;
ep → excentricidade da resultante de protensão. A deformação total, junto à fibra de passagem da resultante dos n cabos de protensão, é dada por
g c,p c,pg g c,p Ec
σ + σ ε = ε + ε =
portanto, a protensão de cada cabo provoca a deformação
c,pg c,pg1 (^) n
ε ε =
Admitindo-se a protensão seqüencial dos n cabos, pode-se construir a seguinte tabela:
Tabela 6 Encurtamento dos cabos Protensão C 1 Protensão C 2 Protensão C 3 Protensão C 4 Protensão C 5 Total
C 1 εc,pg1 εc,pg1 εc,pg1 εc,pg1 4 εc,pg
C 2 εc,pg1 εc,pg1 εc,pg1 3 εc,pg
C 3 εc,pg1 εc,pg1 2 εc,pg
C 4 εc,pg1 1 εc,pg
C (^5)
Portanto, a deformação total vale
c,pg1 c,pg
n n 1 1 2 ... n 1 2
− ε = ⎡⎣ + + + − ⎤⎦= ε
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que é a soma dos n - 1 primeiros termos da progressão aritmética ( 1,2,...,n - 1). A perda total de protensão correspondente é dada por
c,pg1 p p,
n n 1 P E A 2
− Δ = ε
onde: Ap,1 é a área da seção transversal de um cabo ou
( ) c,pg ( ) g cp p
p p,1 p c
n n 1 n n 1 A P E A E 2 n 2 nE n
− ε^ − σ + σ Δ = =
onde Ap é a área total dos n cabos. Finalmente, tem-se:
p p (^ g cp) p
P n 1 A 2n
Δσ = Δ^ = α σ + σ −
Considere-se o exemplo com os seguintes dados: P 1 = 1614 kN ; P 2 = 1621 kN ; P 3 = 1623 kN; P 4 = P 5 = 1624 kN αp = 5,85 ; Ic = 0,519 m^4 ; Ac = 0,944 m^2 ; ep = 0,816 m ; Mg = 3000 kN.m Ap = 11,84 cm^2 (de cada cabo) ; P 0 = 1733 kN (força inicial de protensão por cabo) Tem-se:
P = (^) ∑Pi =8106kN
g g p c
M (^3000) e 0,816 4, 72MPa I 0, 519
σ = = × =
(^2 ) p c,p c c
1 e 1 0, P 8106 18, 99MPa A I 0, 944 0, 519
⎛ ⎞ (^) ⎛ ⎞ σ = − (^) ⎜⎜ + (^) ⎟⎟ = − (^) ⎜ + (^) ⎟= − ⎝ ⎠ ⎝^ ⎠ Logo
p p (^ g cp)^ (^ )
n (^1) 5,85 4, 72 18, 99 5 1 33, 4MPa 2n 2 5
Δσ = α σ + σ −^ = × − × − = − × A tensão inicial de tração na armadura de protensão vale:
p0^0 p
P (^1733) 1464MPa A 11,
σ = = =
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O fenômeno da relaxação pode ser caracterizado através da seguinte experiência. Considere-se uma barra (fig. 38) à qual é aplicada, num certo instante t 0 , um alongamento permanente de valor a 0 mantido constante ao longo do tempo. Para isto, é necessário aplicar uma força de tração de intensidade P (^) i. No material viscoelástico, esta força diminui ao longo do tempo para um valor assintótico P∞. A viscoelasticidade acarreta, neste caso, diminuição da tensão sob deformação constante que é chamada de relaxação.
Figura 38 Pode-se admitir que o efeito do tempo em uma peça de concreto protendido transcorra em condições que se aproximam da fluência pura no concreto e da relaxação pura na armadura de protensão. De fato, no concreto, as solicitações de caráter permanente são devidas à carga permanente (constante) e à protensão que relativamente varia pouco; as tensões normais correspondentes no concreto acabam gerando deformações adicionais semelhantes a fluência pura. A grande deformação inicial aplicada na armadura para se obter a força de protensão, mantém-se praticamente constante ao longo do tempo provocando perdas de tensão semelhantes a relaxação pura.
L 0
P
A B
A B’
a 0 = cte
t
P
t (^) o
P (^) i
a
t (^) o
a 0
t
a 0 = constante
Relaxação
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3.5.1.Perdas por retração no concreto (Shrinkage Δσ p,s )
Figura 39
ε^ Deformação por retração cs=^ Equivale a uma diminuição de temperatura entre 15°C a 38°C
- Umidade relativa do ambiente (U)
Umidade Relativa do Ar (Diminui) Retração (aumenta) Rio de Janeiro São Paulo
U= 78% (^) εcs=-20x 10-
- Consistência do concreto no lançamento:
a c
0,45 0,50 0,55 0,65 0,
Porosidade aumenta → Índice de vazios aumenta →
- Espessura fictícia da peça hfic ;
Figura 40
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Figura 43
Figura 44
g po^ (^ po^ p) p p c c c
c,pog
M F F e e e I A I
⎛ (^). ⎞ − − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠
g po (^) c p c c c
2 c,pog p
M F (^) A e I A I
− 1 e
⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠
positivo negativo c,pog c,g c,po
σ = σ + σ
p c,pog p,c Δσ ≅ α ϕ σ^ ∞ β
onde:
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Δσ p,c é a perda no aço de protensão devido a fluência
α (^) pé a razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto s c
E E
.
A seguir apresenta-se o critério aproximado da Nova Norma NB1-2003 para se estimar a deformação por fluência e retração.
Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente de fluência ϕ (t ∞ ,to ) e da
deformação específica de retração ε cs(t ∞ ,to ) do concreto, submetido a tensões menores que 0,5 f c quando do
primeiro carregamento, podem ser obtidos, por interpolação linear, a partir da tabela 7.
Esta tabela fornece o valor do coeficiente de fluência ϕ (t ∞ ,to ) e da deformação específica de retração
ε cs(t ∞ ,to) em função da umidade ambiente e da espessura equivalente 2Ac /u, onde Ac é a área da seção
transversal e u é o perímetro desta seção em contato com a atmosfera. Os valores desta tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10ºC e 20ºC, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0ºC e 40ºC. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum.
Tabela 7 Valores característicos superiores da deformação específica de retração ε cs (t ∞ ,t^ o) e do coeficiente de fluência^ ϕ (t ∞ , to ) Umidade ambiente (%) 40% 55% 75% 90% Espessura Equivalente 2Ac u
(cm) 20 60 20 60 20 60 20 60 5 4,4^ 3,9^ 3,8^ 3,3^ 3,0^ 2,6^ 2,3^ 2, ϕ(t∞,t (^) o) to (dias) 30 3,0^ 2,9^ 2,6^ 2,5^ 2,0^ 2,0^ 1,6^ 1, 60 3,0^ 2,6^ 2,2^ 2,2^ 1,7^ 1,8^ 1,4^ 1, 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0, εcs(t∞,t (^) o) ‰ to (dias)^30 -0,37^ -0,38^ -0,31^ -0,31^ -0,20^ -0,20^ -0,09^ -0, 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,
3.5.3. Perdas por relaxação do aço, ( ε p,r)
A relaxação da armadura de protensão é a perda de protensão quando os fios ou cordoalhas estão sujeitos essencialmente com uma deformação constante. Por simplificação, pode-se considerar o efeito da relaxação da armadura semelhante à fluência do concreto, lembrando somente que a fluência caracteriza-se pelo aumento das deformações ao passo que a relaxação do aço é uma diminuição da tensão com o tempo.
