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Oscilações e Ondas Leonor Cruzeiro, 2003 1 Movimento Harmónico Simples Considere uma. esfera no fundo de um poço parabólico (ver figura 1). Quando a esfera está na posição x — 0, não há nenhuma força a actuar sobre ela e a esfera. está em repouso. Se deslocarmos a esfera ligeiramente, para uma posição ty na vizinhança da posição de equilíbrio, a esfera vai entrar num movimento oscilatório de amplitude x em torno da posição de equilíbrio. Nesta secção va- mos estudar este problema e ver quais as expressões matemáticas que descrevem movimentos oscilatórios. Vamos começar pelo osciladór harmórico simples, no qual se desprezam as forças de atrito. O polencial representado na figura 1 tem uma forma parabólica e a energia potencial da esfera, quando esta está numa posição «, pode escrever-se: Edo) = 50º (1) “omo vimos na Mecânica, a força que actua na partícula é aee, sujeita a movi- mento harmónico simples é: F=-ka (2) Pela segunda lei de Newton temos: dg F=ma= ma (3) A equação do movimento harmónico simples é pois: Pg mas = —ka (4) Pode verificar-se que a solução geral, x(t), desta equação é: 2 = Xp cos (wi + 4) (5) ande x representa o desvio em relação à posição de equilíbrio (na figura 1 a posição de equilíbrio corresponde a x =: 0), 6 é a fase inicial e w é a frequência angular, dada por: w= km (6) Daqui deduzimos que a velocidade no movimento harmónico simples se pode eserever: dz v— ao Tt sin (wt + &) (7) (BI. Cruzeiro, 2003, todos os direitos reservados Oscilações e Ondas 2 Figure 1: Exemplo de movimento oscilatório E derivando em ordem so tempo mais uma vez deduzimos: 2 , k a=-2w cos(wt+ 6)=——a (8) uma. equação que se poderia Lambém deduzir das equações (2) e (3) Este movimento oscilatório é caracterizado por uma amplitude, um período e uma frequência. Estas últimas são dadas pela frequência e período do coseno. O valor do coseno é igual para ângulos que diferen de 27. Sendo o periodo, 7, O intervalo de tempo ao fim do qual o movimento se repete, temos: 2x wr=m>r= (9) w A frequência, que é o número de oscilações por unidade de tempo, é o inverso do período: 1 wu 1 /k T 27 2m Outra característica do movimento harmónico simples é a amplitude, 4, do movimento. Esta representa o deslocamento máximo em torno da posição de equilíbria, que se obtem quando o coseno é máximo, ou seja, quando o ângulo wL + & é igual a zero. À partir da equação (5) temos: A=glwt+6)-0-—zo. (11) (10) (OL. Cruzeiro, 2003, todos os direitos reservados Oscilações e Ondas 4 (a) ú Rad) Figure 3: Projecção da velocidade linear é da aceler ação segundo um eixo. jecção, sobre um eixo, de um movimento circular uniforme (ver figura 3). Vamos ver como, a partir das expressões que já tínhamos encontrado na Mecânica para o movimento circular uniforme, encontramos as expressões obtidas agora para o movimento oscilatório No movimento circular uniforme, a velocidade angular é constante e o ângulo 8 em cada inslanle ( é: B=wt (12) À posição da massa ao longo do eixo dos x é: x=r cos0 = q coswt (13) onde x é igual ao raio, 7, do círculo. Desprezando a fase inicial, esta expressão coincide com (5). Q período do movimento ao longo do eixo dos x é dado pela expressão (9). Seja 7, a velocidade linear da massa neste movimento circular. À componente de ?. segundo o eixo dos x é (ver figura 3): = —ve sinQ (14) onde o sinal menos se deve ao facio da projecção da velocidade ser no sentido negativo do eixo dos x. Por outro lado, vimos no capítulo de Mccânica que a velocidade linear, v. — wr— w xo Substituindo em (14) fica: Ur — —w dg sinwt (5) Oscilações e Ondas 5 JL. Cruzeiro, 2008, todos os dircilos reservados Figure 4: Oscilador Harmánico amortecido. tal como já tínhamos encontrado antes (7) Do mesmo modo, podemos calcular a projecção da aceleração centrípeta segundo o eixo dos q: Ar — —a cos 8 (16) onde a aceleração centrípela, q, é: a 2 de — E = (ow) = qu? (17) to o que substituido na Ia. (16) conduz à seguinte equação para a aceleração: fls = —xou? coswi (18) que coincide com a equação (8). Vemos assim que quando uma massa percorre um movimento circular uniforme, à componente desse movimento segundo o eixo dos 7 percorre um movimento harmónico simples, no qual, ao raio do movimento circular corresponde a am- plitude do movimento harmónico simples, À velocidade angular do movimento circular corresponde uma, frequência angular, que é função dos parâmetros que definem a força de restauração do movimento harmónico simples, (5) 1.1 Energia de um oscilador harmónico simples O princípio de conservação da energia, aplica-se também so oscilador harmónico simplos. Temos poís que, em qualquer instante £ a energia total do oscilador (OL. Cruzeito, 2003, todos os direitos reservados Oscilações e Ondas 7 pode falar de frequência. do movimento. O movimento diz-se então sobreamorte- cido. Nesse caso, prova-se que o deslocamento em relação à posição de equilíbrio segue a lei: do [Rm 5) do ft à) no “Ge E E rio m d+ Gis |[(55 - Vem m t (25) 3 Oscilador sujeito a uma força exterior Quira situação de grande interesse físico é o caso cm que uma força exterior, também oscilatória, actua sobre um oscilador harmónico simples. Seja wy = VBA 'm a frequência característica do oscilador harmónico. A segunda lei de New- ton conduz à equação diferencial seguinte: Ex de o e-ho—b— ; 2 Ma ka—b E + Fa coswi (26) Pode provar-se que à solução da equação (26) é a soma de dois termos, x(t) = xa(t) + xo(t), onde 24 é solução da equação homogénea, (a equação que se obtem na ausência de força exterior, ou seja, a eq.(22)) e x> é uma solução particular Como mostram as expressões (23) e (25), a é uma função exponencialmente decrescente com o tempo, pelo que, ao fim de algum tempo a solução de (26) é aproximadamente igual a «>, que tem a forma seguinte: tt) = volt) = A cos (wt + 4) (27) onde a amplitude A é dada por: (28) que nos mostra que a amplitude de oscilação do oscilador forçado é máxima quando a frequência da força é tómax —" tj — Es 3, O que para pequenos valores de = é aproximadamente igual à frequência natural do oscilador. A razão física êa seguinte. Consideremos que o oscilador está em repouso, na sua posição de equilíbrio, quando começa actuar sobre ele ura força oscilatória, de frequência w. Esta força pretende fazer o oscilador vibrar com uma frequência w, mas por seu lado, o oseilador tem a sua frequência de oscilação natural, wp. Se w e wo são diferentes, os impulsos da força raramente estão em fase com as oscilações próprias do sistema, a força exterior tanto realiza um trabalho positivo, como re- aliza um trabalho negativo, e, em média, o oscilador absorve muito pouca energia da força exterior. Sc as duas frequências são comparáveis, os impulsos da força Oscilações e Ondas 8 (O. Cruzeiro, 2003, todos os direitos reservados Figure 5: Geração de uma onda ao longo de uma corda. À extremidade esquerda, da corda é sujeita a um movimento harmónico simples, de período 7, que se transmite ao longo da corda. exterior estão frequentemente em fase com as oscilações próprias do sistema, e O sistema absorve energia da força exterior. Neste último caso, a sua. energia total vai aumentando com o tempo, ou seja, a amplitude do movimento do oscilador vai armentando. Diz-se que a força exterior está em ressonância com o oscilador Por esta razão os osciladores harmónicos possuem grande capacidade de absorver energia de forma muito selectiva. Aplicações. Quando sintonizamos uma telefonia para um determinado posto, estamos a variar a frequência natural da telefonia de modo a que esta frequência entre em zes- sonância com a frequência do posto emissor Há outros casos em que é fundamental evitar as ressonâncias. Por exemplo, as pontes podem ruir se a passagem de veículos com certas massas gerar forças CL Cruzeito, 2003, todos os direitos reservados Oscilações e Ondas 10 Displacement, y Displacement, y Figure 6: (a) Desvio da posição de equilíbrio de um ponto dado da corda em função do tempo (b) Desvio da posição de equilíbrio dos pontos da corda num dado instante. Ambas as curvas são sinusoidais onde w = 2ywv = 2m/7 é a frequência angular. Por outro lado, podemos também considerar a corda, num certo instante t = tg. Os deslocamentos y(x) da corda ao longo da corda, isto é, ao longo x são descritos por uma função semelhante: u(x) = yo cos (EE) (31) Esta onda propaga-se com uma velocidade v dada pela expressão (29). Con- sideremos um observador que se desloque com essa velocidade. Para esse obser- vador, a onda parece estacionária e será representada, pela expressão: 4 — Ya cos (250º) (32) onde 7 e x são as coordenadas do deslocamento e da posição ao longo da corda para o observador que se move com velocidade v em relação à corda. Se o ob- ser vador se começa a mover num instante tal que as origens dos dois eixos y e y coincidem no instante £ = 0 então, a posição x do obsei vador é dada pela posição que o observador tem no referencial móvel, x”, mais a disiância percorrida pelo referencial móvel em relação ao referencial fixo: = put>g=2-vt (33) Substituindo (33) em (32) fica: ulx,t) = % cos Es (a—u 0) (34) (QL. Cruzeiro, 2003, todos os direitos reservados Oscilações e Ondas 11 Figure 7: (a) Ondas de compressão longitudinais ao longo de uma mola geradas pela aplicação de uma força sinusoidal. (b) Ondas longitudinais (ondas sonoras) numa coluna de gás, criadas pela aplicação de uma força oseilatória a um pistão E usando (29) obtemos: x ty] u(a, E) = yo cos x G — -)| (35) Esta função descreve a propagação de uma onda a uma dimensão. Considerando um ponto x fixo, (35) diz-nos que esse ponto executa um movimento harmónico simples, em que na é a fase inicial, Para um tempo t fixo, (35) diz-nos que a variação espacial dos deslocamentos ao longo da corda é sinusoidal. Tal como definimos uma frequência angular pela relação w 7 = 27, podemos também definir de maneira semelhante o número de onda q como: 2 ga=2n>q=5T (36) A velocidade de propagação da onda v (29) fica: v= 5 = À 2ruw w ro uBria 69) Substituindo (36) em (35) obtemos a seguinte expressão para a onda: y(x,t) = pocos (g x — wt) (38) &L Cruseiro, 2008, todos os direitos reservados Oscilações e Ondas 13 sm ima Bm ira = Ir ms dr Pigure 8: Ondas estacionárias numa corda em tensão. Todas estas ondas têm nodos nas extremidades A soma de uma onda que se propaga na direeção positiva do eixo dos « (38) com outra que se propaga no sentido inverso é: Yo cos (g 3 — wl) + yo cos (g 7 + wt) = 2 cosga cost (48) onde se sou a relação tiigonométrica seguinte: cos A + cos B=2cos (2) cos (E) (47) A cquação (46) mostra que nos pontos x tais que qr= (2n+1) 5 (48) a perturbação y induzida pela soma das duas ondas é nula, seja qual for o valor do tempo. À estes pontos chama-se nodos e à onda representada por (46) chama-se anda estacionária. Um exemplo de ondas estacionárias são as ondas que se criam numa corda vibrante cujas extremidades cstejam fixas (ver figura 8). Se for L o comprimento da corda, a figura 8 mostra que o comprimento de onda máximo que uma vibração dessa corda pode ter é 21. Os nodos neste caso são os pontos em que a corda está fixa à parede. A esta onda, chama-se onda fundamental e à frequência associada, 14 — £ = & chama-se freguência fundamental Além desta onda estacionária [undamental, podem obter-se ondas estacionárias de comprimento de onda menor, dados por: À 2L v L "á +A=—— Up = na nin (49) Bi. Cruzeiro, 2008, tndos os direitas reservados Oscilações e Ondas 14 onde 7 = 1 representa a frequência fundamental, e n = 2,3,-- representa as harmúnicas da frequência fundamental, 6 Efeito Doppler O efeito Doppler consiste no facto da frequência de uma onda depender do estado de movimento relativo do emissor da onda e do receptor da onda. Já todos verificámos que quando um combéio a apitar se aproxima do local em que estamos, a frequência do som que ouvimos é superior à do apito emitido pelo combóio e o inverso sucede quando o combéóio se afasta. Este efeito tem o nome do físico austríaco que o estudou, Christian Johann Doppler (1803-1853). Podemos ter dois casos: ou o emissor da onda, está fixo c é o receptor da onda que se move, ou o reecptor da onda está fixa c É o emissor que se movc. De forma geral, a frequência de uma onda, » é dada por: uv V=5 (50) onde v é à velocidade de propagação e À é o comprimento de onda. Estas duas grandezas são função do estado de movimento relativo do emissor e/ou do receptor em relação ao meio em que a onda se propaga. Consideremos o caso em que o emissor está fixo e que o receptor se aproxima do emissor. Nesse caso, no referencial do emissor, a onda move-se com uma velocidade, v,, que é igual à velocidade de propagação da onda no meio, tm, & o comprimento de onda no meio, Am, é igual ao comprimento de onda da onda emitida, À., pelo que, a frequência da, onda, no referencial fixo no meio, /m, é: mms = (51) Am Xe Ve Como o receptor se move com uma velocidade v, em direcção ao emissor, a velocidade de propagação da onda no referencial do receptor, vw, é a soma da velocidade de propagação da onda no meio, “m com a velocidade do receptor em relação ao emissor, v,: Van = = tatu (52) Por outro lada, o comprimento de onda da onda. só é afectado pelo movimento do emissor pelo que o comprimento de onda no referencial do receptor é À, = An = A. Substituindo a igualdade acima na equação (51), concluímos a frequência, 1, da onda no referencial do emissor vem dada por: — or Um HU Um + Ur v. (53) >>> TO dm A Um ou seja,» É. Mais precisamente, a frequência da onda detectada pelo receptor que se move com velocidade v, em direcção ao emissor é maior que a frequência (BI. Cruzeiro, 2003, todos os direitos reservados Oscilações e Ondas 16 Tigure 9: Fotografia de ondas na água, produzidas por um emissor em movi- mento. A linha escura é uma vara vibrante que se desloca na água. da esquerda para a direita. Um observador à direita mede um comprimento de onda. menor (frequência maior) que o da onda emitida. Vê-se a acumulação de ondas à direita Figure 10: Quando o emissor se move com uma velocidade que é exactamente a velocidade de propagação, as ondas acumulam-se e formam uma frente de onda, plana que se estende perpendicularmente à direcção do movimento do emissor, CL Crusciro, 2003, todos «s direitos reservados Oscilações e Ondas 17 Figure 11: Quando o emissor se move com uma velocidade que é maior que a velocidade de propagação forma-se uma frente de anda que se arrasta atrás do emissor. À esta frente de onda chama-se onda de choque das ondas, o emissor passa à frente das ondas emitidas e estas acurmulam-se numa frente de onda cóniea, que faz um certo ângulo com a direcção do movimento (ver figura 11). Quanto maior a velocidade do emissor, tanto menor o ângulo que as frentes de onda fazem entre si O ângulo da frente de onda cónica pode deduzir-se considerando a figura 12. Num tempo +, a onda emitida quando o emissor estava. em O propaga-se até uma distância Q = vm t em todas as direcções. Por outro lado, neste intervalo de tempo, o emissor viajou do ponto O até um ponto P, ou seja, distância igual a vt. O ângulo 8 do cone é: Voto Um sino = = 8 sin 9 vaL (58) Noternos que a velocidade do emissor em Mach, Je é 1 /sin 8. Quando um objecto se desloca a uma velocidade superior à velocidade de propagação do som nesse meio, dizemos que ele é supersônico. Objectos supersónicos gera as chamadas ondas de chogue (sonie boom), cuja intensidade é máxima nas frentes de onda tos lados do cone). A intensidade das ondas de choque é devida à compressão do ar que tem lugar nas frentes de onda. (OI. Cruneiro, 20023, todos os direitos reservados Oscilações e Ondas 19 um — wa Aw = 2 .. nte E: o tw + tua v= "E 2 A Ag corresponde um comprimento de onda, À muito maior que os comprimen- tos de onda das ondas iniciais e a Aw corresponde uma frequência muito mais pequena e por isso um período maior que os das ondas iniciais. A onda (61) pode escrever-se como A(z, t) cos (7x — Dt), podendo pois interpretar-se como uma onda que se propaga com uma frequência que é a média das frequências originais, mas com wma modulação na amplitude. A velocidade de propagação desta onda é: - v= É, (6a) que se designa por velocidade de fase. Devido à modulação, podemos também considerar que a onda está organizada em grupos e a velucidade de grupo, u, é: Aw dy u= Ago dg (64) Um meio em que a velocidade de fase depende do comprimento de onda diz-se um meio dispersivo. As ondas electromagnélicas propagam-se no vácuo com uma, velocidade constante igual a 300,000 km/s. Mas nos meios materiais a velocidade de propagação depende da frequência. Este fenómeno, que se chama dispersão, é posto em evidência quando se passa luz branca através de um prisma de vidro. Como as diferentes frequências que compõem a luz branca se propagam com velocidades diferentes no vidro, elas separemm-se, pelo que o prisma decompõe a luz. Enquanto a velocidade de grupo iem que ser sempre menor que a velocidade da luz no vácuo, a velocidade de fase pode ser maior. 7.2 Reflexão e Refracção. Quando uma onda chega a uma superfícic que separa dois meios transparentes (como o ar e a água ou o vidro), parte da onda é reflectida (onda reflectida) e parte da onda é transmitida (onda refractada. ou transmitida). Um espelho é uma superfície quase completamente reflectora para luz; a água é uma superfície quase completamente refractora. Vamos estudar as leis que regulam estes dois tipos de comportamento. A luz propaga-se de modo a percorrer uma distância de um ponto À a um ponto B no menor intervalo de tempo (Princípio de Fermat ou do tempo mínimo). Quando a luz se propaga num meio contíruo, a sua velocidade de propagação é sempre a mesma e o menor percurso corresponde ao tempo mínimo. O menor EL. Cruneiro, 2003, todos os diveilos reservados Oscilações e Ondas 20 a) b) Figure 13: Rellexão e refracção. percurso é o percurso em linha recta. No caso da reflexão da luz, o percurso minimo obtem-se quando o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão (ver figura 13) Consideremos agora o caso em que parte da onda é transmitida. Considerando dois raios luminosos e usando o princípio de acordo com o qual pontos situados na mesma frente de onda têm que estar em fase, o tempo gasto no pereurso BB' lem que ser igual ao tempo gasto & ir de 4 à 4”. Temos: BB' = AB'sint (65) AM = AB'siny Para os tempos gastos nos dois percursos serem iguais tem que ser: BB AM AB'sini AB'sinr sini sir > — => = (66) [7 vz v us an va Definindo fndice de refracção como a razão entre a velocidade da luz no vazio e a velocidade da luz num meio: c n=— (67) podemos escrever a expressão (66) da forma seguinte: siní ww na == (68) siny vw mM que se chama a lei de Snell-Descartes. Concluímos que quando a luz passa de um meio menos refrangente (menor índice de refracção, velocidade maior) para, 
