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Capacitores e Dielétricos
Um capacitor é um sistema elétrico formado por dois condutores separados por um material isolante, ou pelo vácuo.
Imaginemos uma configuração como a de um capacitor em que os dois condutores estejam inicialmente descarregados (com carga líquida nula). O processo chamado de carregamento de um capacitor consiste em transferir elétrons de um dos condutores para o outro de maneira que, no fim do processo, um dos condutores esteja com carga líquida positiva + Q e o outro condutor esteja com carga líquida negativa − Q. Note que a carga líquida total do sistema formado pelos dois condutores continua nula.
Após o carregamento de um capacitor, dizemos que ele armazena ou possui carga Q.
Note que entre os dois condutores de um capacitor carregado existe
um campo elétrico ᠱ䙒ጘ^ que aponta do condutor com carga + Q para o condutor com carga − Q. Consequentemente, o condutor com carga
- Q está a um potencial maior que o condutor com carga − Q.
Nos diagramas de circuitos elétricos, representa-se um capacitor pelo símbolo abaixo:
Uma maneira de carregar um capacitor é ligar fios metálicos aos condutores e conectá-los aos terminais opostos de uma bateria. Espera-se até que as cargas + Q e − Q se estabeleçam nos dois condutores e depois desconectam-se os fios da bateria. Como as cargas não podem passar de um condutor para outro, a carga armazenada no capacitor permanece constante. A voltagem Vab entre os condutores ( Va − Vb ) permanece constante e é igual à voltagem da bateria.
Capacitor de placas planas e paralelas
Consideremos um capacitor cujos condutores sejam placas metálicas planas e paralelas carregadas com cargas + Q e − Q. Vamos supor que as placas têm área A e estejam separadas por uma distância d.
Define-se
ᠩ ≡ –⡨ᡖᠧ (6)
como a capacitância do capacitor (como vimos, esta relação vale para qualquer capacitor). Portanto, a relação entre a carga armazenada num capacitor e a diferença de potencial entre os condutores é ᡃ = ᠩᡈ. (7) A unidade de capacitância é o farad (F), em homenagem a Michael Faraday (veja a aula 3).
1 farad = 1 F = 1 〄〣 = 1 ⤓⤥⤱⤢⤥⤣⤒⤲⤥⤢⤰.
Quanto maior for a capacitância de um capacitor, maior a carga Q armazenada no capacitor para uma mesma diferença de potencial.
A equação (6) nos permite escrever as unidades da constante ε 0 em termos do farad:
䙰–⡨䙱 = 䙰ᠩ䙱 䙰ᠧ䙱䙰ᡖ䙱 = mF,
ou ε 0 = 8,85 × 10 −^12 F/m.
Capacitor esférico
Um capacitor esférico é formado por uma esfera condutora interna de raio ra e uma casca esférica condutora concêntrica de raio rb. As duas estão separadas pelo vácuo. A esfera interna tem carga + Q distribuída por sua superfície externa e a casca esférica externa tem carga − Q distribuída por sua superfície interna (figura abaixo).
Para calcular a capacitância desse capacitor, vamos usar a relação (7), que é válida para qualquer capacitor:
ᠩ = ᡃᡈ. (8)
Para determinar V , precisamos determinar o campo elétrico ᠱ䙒ጘ^ entre a esfera e a casca esférica.
Tomemos uma superfície gaussiana de raio r entre a esfera e a casca esférica. O fluxo elétrico por essa superfície vale Q / ε 0 :
Um caso particular da equação (9) ocorre para o caso em que a casca esférica de raio rb está muito longe da esfera de raio ra. Se a distância entre elas for tão grande que se possa aproximar rb → ∞, a capacitância do sistema torna-se
ᠩ = 4․–⡨^ ᡰ〨 ᡰᡰ〩 〩
ou seja, a capacitância depende apenas do raio da esfera interna.
Podemos então definir a capacitância de uma esfera condutora de raio R como: ᠩ = 4․–⡨ᡄ. (11) As linhas de força entre a esfera de raio R e a casca esférica de raio “infinito” se estendem até o “infinito”.
Por exemplo, se pudermos tratar a Terra como uma esfera condutora esférica, sua capacitância vale (o raio da Terra é R ≅ 6,37 × 103 km) C Terra ≅ 7,1 × 10 −^4 F = 710 μF. Este é um valor bastante grande. Tão grande que podemos supor, em geral, que quando se escoa uma quantidade de carga ∆ Q para a Terra a alteração no seu potencial é desprezível (veja abaixo)
Δᡈ = Δᡃᠩ.
É por isso que a Terra é um bom “terra”.
Capacitor cilíndrico
Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor de raio
ra e densidade linear de carga λ^1 circundado por uma casca cilíndrica condutora coaxial de raio interno rb e densidade linear de carga − λ (veja a figura abaixo).
Para calcular a diferença de potencial entre os cilindros, lembremos que p potencial em um ponto externo a um cilindro carregado a uma distância r do centro vale
ᡈ = (^) 2․–’⡨ ln ᡰ ᡰ⡨ ,
onde r 0 é uma distância arbitrária onde V = 0. Podemos usar esta expressão aqui porque a carga elétrica sobre a casca cilíndrica externa não contribui para o potencial no interior do cabo coaxial.
(^1) Para relacionar a densidade linear de carga λ com a densidade superficial de carga σ, mais usual quando se trata de superfícies, basta lembrar que a carga total em um comprimento 2 π r L do cilindro é Q = λ L = σ A = aL^ σ. Isto nos dá:^ λ^ = 2^ π ra^ σ.
Capacitores em série e em paralelo
A figura (a) abaixo mostra o diagrama de circuitos para um arranjo de capacitores denominado de arranjo em série. Em um arranjo desse tipo, dois ou mais capacitores são conectados um após o outro (em série) por fios condutores. Os terminais do circuito estão ligados aos polos de uma bateria, de maneira que a diferença de potencial entre eles é V.
A placa superior do capacitor de capacitância C 1 acumula carga + Q. Portanto, a placa inferior desse capacitor possui carga − Q. Os elétrons que se acumulam nessa placa vieram da placa superior do segundo capacitor (com capacitância C 2 ). Desta forma, a placa superior desse segundo capacitor também tem carga + Q e a placa inferior tem carga − Q.
Quando capacitores são conectados em série, cada um deles possui a mesma carga.
A partir deste resultado, podemos escrever que as diferenças de potencial entre os pontos a e c e c e b na figura são:
ᡈ〨〰 = ᡈ⡩ = ᠩᡃ⡩ e ᡈ〰〩 = ᡈ⡰ = ᠩᡃ⡰.
Isto implica que
ᡈ〨〩 = ᡈ = ᡈ⡩ + ᡈ⡰ = ᡃ 㐶 ᠩ^1 ⡩
+ ᠩ^1
⡰
Isto sugere que podemos substituir os dois capacitores em série no circuito acima por um único capacitor equivalente com capacitância
ᠩ⤕⤧ = ᠩ^1 ⡩
+ ᠩ^1
⡰
A figura (b) acima mostra o capacitor equivalente.
Generalizando, se tivermos N capacitores em série em um circuito eles podem ser substituídos por um capacitor equivalente com capacitância
ᠩ⤕⤧ = ᠩ^1 ⡩ + ᠩ^1 ⡰ + ⋯ + ᠩ^1 〕. (16)
A figura abaixo mostra um arranjo de capacitores em um circuito denominado de arranjo em paralelo.
Generalizando, se tivermos N capacitores em paralelo em um circuito eles podem ser substituídos por um capacitor equivalente com capacitância ᠩ⤕⤧ = ᠩ⡩ + ᠩ⡰ ⋯ ᠩ〕. (18)
