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23/7/2010 – CDI-1: Inequações, passo à passo, exercícios resolvidos.
ATENÇÃO: O único objetivo deste arquivo é guiar o estudante para as possíveis soluções dos exercícios propostos pelo livro. Tendo como base o conhecimento sobre estes exercícios, o estudante estará apto para prosseguir no assunto.
Exercícios extra:
Determine o conjunto solução das inequações:
A. x^2 + 1 < 2 x^2 @ 3 ≤ @ 5 x :
Solução:
Resolvendo em partes:
y1:
x^2 + 1 < 2 x^2 @ 3
@ x^2 + 4 < 0
x^2 @ 4 > 0
x = F p 4
wwwwwwwwwwwwwwwwwww
= F 2
y2:
2 x^2 @ 3 ≤ @ 5 x
2 x^2 + 5 x @ 3 ≤ 0
@ 5 F 25 @ 4 2
` a
` a q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
@ 5 F p 49
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
ffffffffffffffffffffffffffffffffffff
@ 5 F 7
ffffffffffffffffffffffff
x =
fff
e x = @ 3
Logo o conjunto solução é a interseção de y1 e y2::
S = x 2 R | @ 3 ≤ x < @ 2
R S
ou por intervalos @ 3 , @ 2
B c
Tente resolver essa:
B. @ 5 < x^2 @ 3 < 1
S = x 2 R | @ 2 < x <
R S
ou por intervalos @ 2 , 2
b c
Livro: Calculo A – Funções, Limite, Derivação, Noções de integração (5ª Edição, revista e ampliada) Diva Marília Flemming, Mirian Buss Gonçalves
(Números reais, pg. 15) - 1.6 Exercícios. (Inequações)
1. Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a
representação gráfica.
a
a
3 @ x < 5 + 3 x
b
a
2 x @ 5 <
ffff
3 x
ffffffff
1 @ x
ffffffffffffffff
c
a
2 > @ 3 @ 3 x ≥ @ 7
e
a
x^2 ≤ 9
f
a
x^2 @ 3 x + 2 > 0
g
a
1 @ x @ 2 x^2 ≥ 0
h
a x + 1
2 @ x
fffffffffffffffff
x
3 + x
ffffffffffffffff
i
a
x^3 + 1 > x^2 + x
j
a
x^2 @ 1
b c
x + 4
` a
k
a 2
x @ 2
fffffffffffffffff
x + 2
x @ 2
fffffffffffffffff
l
a
x^4 ≥ x^2
m
a x
x @ 3
fffffffffffffffff
n
a
fffff
x @ 3
4 + x
ffffffffffffffffffffffff
o
a 3
x @ 5
fffffffffffffffff
p
a
x^3 @ x^2 @ x @ 2 > 0
q
a
x^3 @ 3 x + 2 ≤ 0
r
a 1
x + 1
fffffffffffffffff
x @ 2
fffffffffffffffff
s
a
8x^3 @ 4 x^2 @ 2 x + 1 < 0
t
a
12x^3 @ 20 x^2 ≥ @ 11 x + 2
Soluções:
a
a
3 @ x < 5 + 3 x
resolução :
3 @ x @ 5 @ 3 x < 0
@ 4 x @ 2 < 0 B @ 1
` a
4 x + 2 > 0
x > @
ffff
[ x > @
fff
S = @
fff
f g
d
a 5
x
ffff
ffff
portanto temos duas soluções dois casos
` a
1ºcaso: x 2 ℜ | x <
R S
ou por intervalos: @1 ,
b c
2ºcaso: x 2 ℜ | x >
fffffff
V W
ou por intervalos :
fffffff
f g
e a solução finalé a união desses dois conjuntos soluções, fincando assim:
b c S
fffffff
f g
e
a
x^2 ≤ 9
Solução: essa é muito fácil não é mesmo? Mas mostraremos um outro caminho para resolver:
x^2 @ 9 ≤ 0
x^2 @ 3
2
≤ 0 produto notavel, diferença de quadrados
b c
x + 3
` a
A x @ 3
` a
≤ 0 inequação produto
b c
Análise do comportamento de sinais das funções de 1ºgrau:
y 1: x + 3 ≤ 0
y 2: x @ 3 ≤ 0
Portanto encontramos os valores que tornam esta inequação verdadeira:
S = x 2 R | @ 3 ≤ x ≤ 3
R S
ou por intervalos @ 3,
B C
f
a
x^2 @ 3 x + 2 > 0
Para resolver, precisamos comparar com a equação do segundo grau: ax^2 + bx + c = 0 , assim
identificamos os valores de a =1, b = -3, c=2. Isso se repetirá sempre, é importante saber!
@ b F b
2
q @ 4 A a A c
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2 a
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Agora substituímos nessa fórmula, que é conhecida como fórmula de Báskara, daqui pra frente será
muito usado, portanto é bom você memorizar! Substituindo os valores a fórmula fica assim:
` a
F @ 3
` a 2
@ 4 A 1
` a
A 2
q^ wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww^ `wwwwwwwwwwwww^ wwwwwwwwwwwwwwa
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff `ff ffffafffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff =
3 F p 9 @ 8
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffffffffff
3 F p 1
wwwwwwwwwwwwwww
ffffffffffffffffffffffff
3 F 1
ffffffffffffffff
Resolvendo, encontramos os valores de x: S = { 1,2 }
Mas o exercícios não quer os valores de x, e sim para quais valores de x a função é maior que zero?
(símbolo >) então fazemos o gráfico para melhor visualizar:
O software Geogebra gera esse gráfico
facilmente, mas você também deve aprender a
fazer o gráfico sem a ajuda do computador, veja
que só precisamos dos valores de x e do sinal de
a , que identifica se a parábola esta para cima
(positivo) ou para baixo (negativo).
Agora podemos responder a pergunta, para que valores a função é maior que zero?
A resposta é a parte cinza do gráfico, ou
S = @1 , 1
b c
S 2 , + 1
b c
ou ainda x 26 1,
B C
g
a
1 @ x @ 2 x^2 ≥ 0
O processo de resolução é o mesmo, mas veja que o sinal de a é negativo, então a parábola esta para
baixo.
S = x 2 ℜ | @ 1 ≤ x ≤
fff
V W
ou por intervalos : @ 1 ,
F (^) fffG
i
a
x^3 + 1 > x^2 + x
Solução:
x^3 + 1 @ x^2 @ x > 0
x^2 x @ 1
` a
@ 1 x @ 1
` a
x^2 @ 1
b c
x @ 1
` a
y 1: x^2 @ 1> 0
x = F p 1
wwwwwwwwwwwwwww
= F 1
y 2 : x @ 1 > 0
x > 1
y2:
Comparando y1 com y2 temos:
Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação:
S = x 2 R| @ 1 < x < 1 e x >
R S
ou por intervalos @ 1,
b c
S 1 , + 1
b c
j
a
x^2 @ 1
b c
x + 4
` a
Inequação produto, resolvendo:
y 1: x^2 @ 1 ≤ 0
y 2 : x + 4 ≤ 0
x ≤ @ 4
Comparando y1 com y2 temos:
Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação:
S = x 2 R| x ≤ @ 4 e @ 1 ≤ x ≤ 1
R S
ou @1 , @ 4
b C
S @ 1,
B C
* As próximas resoluções foram copiadas
l
a
x^4 ≥ x^2
n
a
fffff x @ 3
4 + x
fffffffffffffffffffffff
o
a 3
x @ 5
fffffffffffffffff
q
a
x^3 @ 3 x + 2 ≤ 0
Neste caso a soma dos coeficientes resultam num valor igual a zero, conclui-se que 1 é raiz da equação,
para mais informações consulte o exercício “t”. Prosseguimos realizando a divisão de polinômios.
Portanto o intervalo que satisfaz a inequação é: S = @1 , @ 2
b C
U 1
P Q
r
a 1
x + 1
fffffffffffffffff
x @ 2
fffffffffffffffff
t
a
12x^3 @ 20 x^2 ≥ @ 11 x + 2
O procedimento já foi visto em algumas resoluções anteriores e chama-se Pesquisa de raízes (é o último
capitulo do assunto Polinômios), são poucos os alunos que tenham estudado isso no ensino médio,
portanto se você não entender deverá estudar Polinômios e equações polinomiais.
Solução:
12x^3 @ 20 x^2 + 11 x @ 2 ≥ 0
12 x^3 @ 20 x^2 + 11 x @ 2 = 0
Agora devemos fatorar o polinômio e precisamos das raízes. O procedimento é um pouco longo, mas
funciona.
Pesquisa de raízes:
(-2) é o coeficiente d , e 12 é o coeficiente a da função polinomial. As possíveis raízes são os divisores
inteiros de d , e de a , na fração d/a.
Divisores de d(-2): {±1, ±2}
Divisores de a(12): {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}
Possíveis Raízes: d
a
ffff : F 1 , F 1
fff , F 1
fff , F 1
ffff , F 1
fff , F 1
fffffff , F 2 , F 2
fff , F 2
fff , F 2
ffff , F 2
fff , F 2
fffffff
V W
Percebemos que algumas são equivalentes, e resumimos o conjunto em:
d
a
ffff : F 1 , F 1
fff , F 1
fff , F 1
ffff , F 1
fff , F 1
fffffff , F 2 , F 2
fff
V W
Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a
primeira que reduza o grau:
1 12 -8 3 1 F
-1 12 -32 43 -45 F
1/2 12 -14 4 0 V
E re-escrevemos a função polinomial como:
12 x^2 @ 14 x + 4
b c
A x @
fff
f g
Mas estamos procurando por valores tais que:
12 x^2 @ 14 x + 4
b c
A x @
fff
f g
≥ 0 (ineq. Prod.)
