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CINEMÁTICA
Velocidade
A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca.
A análise da velocidade se divide em dois principais tópicos: Velocidade Média e Velocidade Instantânea. É considerada uma grandeza vetorial, ou seja, tem um módulo (valor numérico), uma direção (Ex.: vertical, horizontal,...) e um sentido (Ex.: para frente, para cima, ...). Porém, para problemas elementares, onde há deslocamento apenas em uma direção, o chamado movimento unidimensional, convém tratá-la como um grandeza escalar (com apenar valor numérico).
As unidades de velocidade comumente adotadas são:
m/s (metro por segundo);
km/h (quilômetro por hora);
No Sistema Internacional (S.I.), a unidade padrão de velocidade é o m/s. Por isso, é importante saber efetuar a conversão entre o km/h e o m/s , que é dada pela seguinte relação:
A partir daí, é possível extrair o seguinte fator de conversão:
Velocidade Média
Indica o quão rápido um objeto se desloca em um intervalo de tempo médio e é dada pela seguinte razão:
Onde:
= Velocidade Média
= Intervalo do deslocamento [posição final – posição inicial ( )]
= Intervalo de tempo [tempo final – tempo inicial ( )]
Por exemplo: Um carro se desloca de Florianópolis – SC a Curitiba – PR. Sabendo que a distância entre as duas cidades é de 300 km e que o percurso iniciou as 7 horas e terminou ao meio dia, calcule a velocidade média do carro durante a viagem:
= (posição final) – (posição inicial)
= (300 km) – (0 km)
= 300 km E que:
= (tempo final) – (tempo inicial)
= (12 h) – (7h)
= 5 h
Então:
Mas, se você quiser saber qual a velocidade em m/s , basta dividir este resultado por 3,6 e terá:
Velocidade Instantânea
Sabendo o conceito de velocidade média, você pode se perguntar: “Mas o automóvel precisa andar todo o percurso a uma velocidade de 60km/h?”
A resposta é não, pois a velocidade média calcula a média da velocidade durante o percurso (embora não seja uma média ponderada, como por exemplo, as médias de uma prova).
Então, a velocidade que o velocímetro do carro mostra é a Velocidade Instantânea do carro, ou seja, a velocidade que o carro está no exato momento em que se olha para o velocímetro.
A velocidade instantânea de um móvel será encontrada quando se considerar um intervalo de
tempo ( ) infinitamente pequeno, ou seja, quando o intervalo de tempo tender a zero ( ).
Saiba mais: Para realizar o cálculo de velocidade instantânea, os seja, quando o intervalo de tempo for muito próximo a zero usa-se um cálculo de derivada: Derivando a equação do deslocamento em movimento uniformemente acelerado em função do tempo:
Para um maior estudo sobre cálculo de derivadas acesse: http://www.somatematica.com.br/superior.php
Movimento Uniforme
Quando um móvel se desloca com uma velocidade constante, diz-se que este móvel está em um movimento uniforme (MU). Particularmente, no caso em que ele se desloca com uma velocidade constante em trajetória reta, tem-se um movimento retilíneo uniforme.
Uma observação importante é que, ao se deslocar com uma velocidade constante, a velocidade instantânea deste corpo será igual a velocidade média, pois não haverá variação na velocidade em nenhum momento do percurso.
A equação horária do espaço pode ser demonstrada a partir da fórmula de velocidade média.
Analisando o gráfico, é possível extrair dados que deverão ajudar na resolução dos problemas:
S 50m 20m -10m T 0s 1s 2s
Sabemos então que a posição inicial será a posição = 50m quando o tempo for igual a zero. Também sabemos que a posição final s=-10m se dará quando t=2s. A partir daí, fica fácil utilizar a equação horária do espaço e encontrar a velocidade do corpo:
Saiba mais: A velocidade será numericamente igual à tangente do ângulo formado em relação à reta onde está situada, desde que a trajetória seja retilínea uniforme.
Diagrama v x t
Em um movimento uniforme, a velocidade se mantém igual no decorrer do tempo. Portanto seu gráfico é expresso por uma reta:
Dado este diagrama, uma forma de determinar o deslocamento do móvel é calcular a área sob a reta compreendida no intervalo de tempo considerado.
Velocidade Relativa
É a velocidade de um móvel relativa a outro.
Por exemplo:
Considere dois trens andando com velocidades uniformes e que. A velocidade relativa será dada se considerarmos que um dos trens (trem 1) está parado e o outro (trem 2) está se
deslocando. Ou seja, seu módulo será dado por.
Generalizando, podemos dizer que a velocidade relativa é a velocidade de um móvel em relação a um outro móvel referencial.
Movimento Uniformemente Variado
Também conhecido como movimento acelerado, consiste em um movimento onde há variação de velocidade, ou seja, o móvel sofre aceleração a medida que o tempo passa.
Mas se essa variação de velocidade for sempre igual em intervalos de tempo iguais, então dizemos que este é um Movimento Uniformemente Acelerado, ou seja, que tem aceleração constante e diferente de zero.
O conceito físico de aceleração, difere um pouco do conceito que se tem no cotidiano. Na física, acelerar significa basicamente mudar de velocidade, tanto tornando-a maior, como também menor. Já no cotidiano, quando pensamos em acelerar algo, estamos nos referindo a um aumento na velocidade.
O conceito formal de aceleração é: a taxa de variação de velocidade numa unidade de tempo, então como unidade teremos:
Aceleração
Assim como para a velocidade podemos definir uma aceleração média se considerarmos a
variação de velocidade em um intervalo de tempo , e esta média será dada pela razão:
Velocidade em função do tempo
ou
Interpretando esta função, podemos dizer que seu gráfico será uma parábola, pois é resultado de uma função do segundo grau.
Equação de Torricelli
Até agora, conhecemos duas equações do movimento uniformemente variado, que nos permitem associar velocidade ou deslocamento com o tempo gasto. Torna-se prático encontrar uma função na qual seja possível conhecer a velocidade de um móvel sem que o tempo seja conhecido.
Para isso, usaremos as duas funções horárias que já conhecemos:
Isolando-se t em (1):
Substituindo t em (2) teremos:
Reduzindo-se a um denominador comum:
Exemplo:
(UFPE) Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, é desacelerada até parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco, se a distância total percorrida em seu interior foi igual a 10cm?
Apesar de o problema pedir o tempo que a bala levou, para qualquer uma das funções horárias, precisamos ter a aceleração, para calculá-la usa-se a Equação de Torricelli.
Observe que as unidades foram passadas para o SI (10cm=0,1m)
A partir dai, é possível calcular o tempo gasto:
Movimento Vertical
Se largarmos uma pena e uma pedra de uma mesma altura, observamos que a pedra chegará antes ao chão.
Por isso, pensamos que quanto mais pesado for o corpo, mais rápido ele cairá. Mas se colocarmos a pedra e a pena em um tubo sem ar (vácuo) observaremos que ambos os objetos levam o mesmo tempo para cair.
Assim, concluímos que, se desprezarmos a resistência do ar, todos os corpos, independente de massa ou formato, cairão com uma aceleração constante: a aceleração da Gravidade.
Quando um corpo é lançado nas proximidades da Terra, fica então, sujeito à gravidade, que é orientada sempre na vertical, em direção ao centro do planeta.
O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a altitude do local, mas durante fenômenos de curta duração, é tomado como constante e seu valor médio no nível do mar é:
g=9,80665m/s²
Mas, como um bom arredondamento, podemos usar sem muita perda nos valores:
g=10m/s²
Lançamento Vertical
Um arremesso de um corpo, com velocidade inicial na direção vertical, recebe o nome de Lançamento Vertical.
Exemplo
Uma bola de futebol é chutada para cima com velocidade igual a 20m/s. (a) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para retornar ao solo. (b) Qual a altura máxima atingida pela bola? Dado g=10m/s².
(a)
Neste exemplo, o movimento é uma combinação de um lançamento vertical para cima + um lançamento vertical para baixo (que neste caso também pode ser chamado de queda livre). Então, o mais indicado é calcularmos por partes:
Movimento para cima:
Movimento para baixo:
Como não estamos considerando a resistência do ar, a velocidade final será igual à velocidade que a bola foi lançada.
Observamos então, que nesta situação, onde a resistência do ar é desprezada, o tempo de subida é igual ao de decida.
(b)
Sabendo o tempo da subida, e a velocidade de lançamento, podemos utilizar a função horária do deslocamento, ou então, utilizar a Equação de Torricelli.
Lembre-se que estamos considerando apenas a subida, então t=2s
ou
Vetores
Determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.
Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:
onde XY é um segmento qualquer do conjunto.
O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou.
um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.
As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.
O módulo de se indica por | |.
Soma de vetores
Vetor unitário
Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.
Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:
i = (1,0) j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
Observação: Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos:
Se c = 0 então u será o vetor nulo. Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v. Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v. Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.
Decomposição de vetores em Vetores Unitários
Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.
Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e como vetor unitário do plano como vetor unitário do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três
dimensões, o vetor utilizado para o plano z é o vetor unitário.
Então a projeção do vetor no eixo x do plano cartesiano será dado por , e sua projeção no eixo
y do plano será:. Este vetor pode ser escrito como:
=( , ), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a projeção em x e o segundo é a projeção no eixo y, caso apareça um terceiro componente, será o componente do eixo z.
No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.
Produto escalar
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:
u.v = a.c + b.d
Exemplos:
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -
Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:
Velocidade Vetorial
Vetor Velocidade Média: Considerando um móvel percorrendo a trajetória do gráfico acima,
ocupando posições e nos instantes e , respectivamente.
Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo:
Observação:
O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, pois é obtido
quando multiplicamos um número positivo
pelo vetor.
Vetor Velocidade Instantânea: Análogo a velocidade escalar instantânea, quando o intervalo de
tempo tender a zero ( ), a velocidade calculada será a velocidade instantânea.
então:
Aceleração Vetorial
Vetor Aceleração Média: Considerando um móvel que percorre uma trajetória qualquer com
velocidade em um instante e velocidade em um instante posterior. Sua aceleração média será dada por:
Observação:
Assim como para o vetor velocidade, o vetor aceleração terá o mesmo sentido e mesma direção
do vetor velocidade pois é resultado do produto deste vetor ( )
por um número escalar positivo,.
Vetor Aceleração Instantânea: A aceleração vetorial instantânea será dada quando o intervalo de
tempo tender a zero ( ).
Sabendo estes conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função do tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação vetorial:
Por exemplo:
Um corpo se desloca com velocidade , e aceleração constante , da forma como está descrita abaixo:
Por Torricelli:
na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.
Pela Função horária da Posição:
na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.
Movimento Oblíquo
Um movimento oblíquo é um movimento parte vertical e parte horizontal. Por exemplo, o movimento de uma pedra sendo arremessada em um certo ângulo com a horizontal, ou uma bola sendo chutada formando um ângulo com a horizontal.
Com os fundamentos do movimento vertical, sabe-se que, quando a resistência do ar é desprezada, o corpo sofre apenas a aceleração da gravidade.
Lançamento Oblíquo ou de Projétil
O móvel se deslocará para a frente em uma trajetória que vai até uma altura máxima e depois volta a descer, formando uma trajetória parabólica.
Para estudar este movimento, deve-se considerar o movimento oblíquo como sendo o resultante entre o movimento vertical ( y ) e o movimento horizontal ( x ).
Na direção vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade inicial
igual a e aceleração da gravidade ( g )
Na direção horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a.
Observações:
- Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura máxima) onde
, e desce aumentando a velocidade.
- (^) O alcance máximo é a distância entre o ponto do lançamento e o ponto da queda do corpo, ou seja, onde y=0.
- A velocidade instantânea é dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical,
ou seja,. O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada momento. Exemplo:
Um dardo é lançado com uma velocidade inicial , formando um ângulo de 45° com a horizontal. (a) Qual o alcance máximo (b) e a altura máxima atingida?
Para calcular este movimento deve-se dividir o movimento em vertical e horizontal.
Para decompor o vetor em seus componentes são necessários alguns fundamentos de trigonometria:
Genericamente podemos chamar o ângulo formado de.
Então:
logo:
