Baixe Física 1 - Cinemática e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
Cap. 3
Cap. 3
Cinem
Cinem
á
á
tica
tica
1D
1D
A A Cinem Cinemááticatica éé oo ramoramo dada Mecânica Mecânica queque estudaestuda osos
movimentos sem se preocupar com os agentes causadores
movimentos sem se preocupar com os agentes causadores
dos mesmos.dos mesmos.
Neste Neste capcapíítulotulo serãoserão estudadosestudados osos movimentosmovimentos dede
objetos puntiformes e que se movimentam apenas em uma
objetos puntiformes e que se movimentam apenas em uma
diredireçção (ao longo de uma reta).ão (ao longo de uma reta).
Velocidade M é
é dia (
dia ( v
v
m
m
)
)
Considere um objeto que se
Considere um objeto que se
move da esquerda p/ direita
move da esquerda p/ direita
como indicado na Fig.
como indicado na Fig.
No tempo t=t
No tempo t=t
1
1
sua
sua veloc
veloc .
é
é v
v
1
1
e sua posi
e sua posi ç
ç ão x
ão x
1
1
. No tempo t . No tempo t
2
2
sua velocidadesua velocidade éé vv
22
e sua posie sua posiççãoão éé xx
22
. A. A velocidade m velocidade méédiadia
do m
do m ó
ó vel no percurso de x
vel no percurso de x
1
1
x
x
2
2
é
é dada por
dada por
Acelera ç
ç ão M
ão M é
é dia (
dia ( a
a
m
m
)
)
Como indicado na Fig. No instante t
Como indicado na Fig. No instante t
1
1
sua velocidade
sua velocidade é
é
v
v
11
e em t
e em t
22
o m
o m ó
ó vel possui velocidade v
vel possui velocidade v
22
. Definimos a . Definimos a
acelera aceleraçção m ão méédiadia neste percurso porneste percurso por
Exerc
Exerc í
í cio:
cio: considere os dados t
considere os dados t
11
=2 s; x
=2 s; x
11
=5 m; v
=5 m; v
11
=4 m/s;
=4 m/s;
tt
22
=4 s; x=4 s; x
22
=7 m e v=7 m e v
22
=2 m/s. Determine=2 m/s. Determine vv
mm
ee aa
mm..
00 xx
1
1
xx
2
2
xx
t
t
1
1
, v
, v
1
1
t
t
2
2
, v
, v
2
2
( 1 )
2 1
2 1
t
x
t t
x x
v
m
∆
∆
=
−
−
=
( 2 )
2 1
2 1
t
v
t t
v v
a
m
∆
∆
=
−
−
=
Velocidade e Acelera ç
ç ão Instantâneas
ão Instantâneas
O mO móóvel (objeto) da Fig.vel (objeto) da Fig. pode terpode ter terter suasua vlelocidadevlelocidade
alterada continuamente do valor v
alterada continuamente do valor v
1
1
para v
para v
2
2
. A velocidade . A velocidade
instantânea
instantânea é
é aquela que registramos ao olhar o
aquela que registramos ao olhar o
velocvelocíímetrometro dodo nossonosso carro.carro. FazendoFazendo ∆∆tt→→ 00 nana EqEq.. (1)(1)
obtemos
obtemos
An
An á
á logamente
logamente ,
, fazendo
fazendo ∆
t
t →
0 na
0 na Eq
Eq
. (2)
obtemos
obtemos
lim ( 3 )
0
dt
dx
t
x
v
t
=
∆
∆
=
∆→
AA velocidade velocidade instantâneainstantânea éé
definidadefinida comocomo aa taxataxa dede
varia
varia ç
ç ão da posi
ão da posi ç
ç ão do m
ão do m ó
ó vel c/
vel c/
respeito ao tempo.
respeito ao tempo.
lim ( 4 )
0
dt
dv
t
v
a
t
=
∆
∆
=
∆→
A
A acelera
acelera ç
ç ão instantânea
ão instantânea é
é
definida como a taxa de
definida como a taxa de
variavariaççãoão c/c/ oo tempotempo dada
velocidade do m
velocidade do m ó
ó vel.
vel.
Movim
. Retil . Retil í
í neo Uniforme (MRU, a=
neo Uniforme (MRU, a= cte
cte )
)
Considere um carro teste em que o motorista acelera o Considere um carro teste em que o motorista acelera o
ve
ve í
í culo do repouso at
culo do repouso at é
é uma velocidade de 100Km/h. Em
uma velocidade de 100Km/h. Em
seguida pisa nos freios reduzindo a velocidade do ve
seguida pisa nos freios reduzindo a velocidade do ve í
í culo
culo
uniforme// atuniforme// atéé o repouso.o repouso. Desejamos obter as equaDesejamos obter as equaççõesões
hor
hor á
á rias do MRU deste carro.
rias do MRU deste carro.
Come
Come ç
ç amos c/ a
amos c/ a Eq
Eq
. (4)
sendo a=
sendo a= cte
cte temos
temos
∫ ∫
= ∴ = ∴ =
v t
v
a dv adt dv adt
dt
dv
0
0
v − v = at →
0
( 5 )
0
v = v + at
Eq
Eq
. hor . hor á
á ria p/
ria p/
velocidade
velocidade
instantânea.instantânea.
44
Outra equa
Outra equa ç
ç ão muito
ão muito ú
ú til no estudo da cinem
til no estudo da cinem á
á tica
tica é
é a
a
Eq
Eq
. de Torricelli: . de Torricelli:
Exerc
Exerc í
í cio: obtenha a
cio: obtenha a eq
eq
. de Torricelli. Sugestão: obtenha o . de Torricelli. Sugestão: obtenha o
tempo datempo da eqeq. (5) e substitua na. (5) e substitua na eqeq. (6).. (6).
Exemplo:Exemplo: umum BugattiBugatti parte do repouso e atinge aparte do repouso e atinge a velocveloc. de 100. de 100
Km/h em 2,5 s. Ao atingir esta
Km/h em 2,5 s. Ao atingir esta veloc
veloc
. os freios são acionados. O . os freios são acionados. O
carro para apcarro para apóós percorrer uma distância de 20 m, a contar dos percorrer uma distância de 20 m, a contar do
instante em que os freios foram acionados. Determine:instante em que os freios foram acionados. Determine:
a)a) A acelera
A acelera ç
ç ão m
ão m é
é dia do ve
dia do ve í
í culo na 1
culo na 1 ª
ª etapa do
etapa do movim
movim .
.
b)
b) Assumindo que a =
Assumindo que a = a
a
mm
qual o espa
qual o espa ç
ç o percorrido de 0 a 100
o percorrido de 0 a 100
Km/h?
Km/h?
c)
c) Escreva as
Escreva as eqs
eqs
. Hor . Hor á
á rias de x(t) e v(t).
rias de x(t) e v(t).
d)d) Encontre a aceleraEncontre a aceleraçção na 2ão na 2ªª etapa do movimentoetapa do movimento
e)e) Quanto tempo oQuanto tempo o BugattiBugatti leva para parar?leva para parar?
f)f) Escreva asEscreva as eqseqs. Hor. Horááriasrias de x(t) e v(t)de x(t) e v(t)
2 ( 7 )
2
0
2
v = v + a ∆ x
Solu
Solu ç
ç ão:
ão: (a) v1 = 0 m/s e v2 = 27,8 m/s. Usando a
(a) v1 = 0 m/s e v2 = 27,8 m/s. Usando a eq
eq .(2) temos
.(2) temos
(b) Com a =
(b) Com a = a
a
m
m
obtemos pela
obtemos pela eq
eq
. (7) . (7)
(c) Supondo x0 = 0 temos pela(c) Supondo x0 = 0 temos pela eqeq. (6). (6)
(d) Usando a
(d) Usando a eq
eq (7):
(7):
(e)
(e) Eq
Eq
. (5): . (5):
(f)
(f)
2
s
m
a
t
v
a
m m
34 , 75 m
2 11 , 12
( 27 , 8 ) 0
2
2 2 2
0
2
→ ∆ =
×
−
=
−
∆ = x
a
v v
x
2 2
5 , 56
2
11 , 12
x = t = t
2
2 2
s
m
0 = ( 27 , 8 ) + 2 a ∆ x → a =− 19 , 32
0 = 27 , 8 − 19 , 32 t → t = 1 , 44 s
x ( t ) 9 , 66 t e v ( t ) 27 , 8 19 , 32 t
2
Corpos em Queda Livre
O exemplo mais comum de
O exemplo mais comum de mov
mov
. com acelera . com acelera ç
ç ão constante
ão constante é
é o
o
de um corpo caindo prde um corpo caindo próóximo a superfximo a superfíície da Terra.cie da Terra.
Desprezando a resistência do ar todos os corpos caem com
Desprezando a resistência do ar todos os corpos caem com
mesma aceleramesma aceleraçção independentemente de suas massas e formas.ão independentemente de suas massas e formas.
AA aceleraaceleraççãoão dede umum corpocorpo emem quedaqueda livrelivre éé chamadachamada dede
acelera
acelera ç
ç ão da gravidade
ão da gravidade sendo aproximada// igual a 9,8m/s
sendo aproximada// igual a 9,8m/s
22
, 980
, 980
cm/s
cm/s
2
2
e 32 p
e 32 p é
é s/s
s/s
2
2
. Sua dire . Sua dire ç
ç ão
ão é
é a vertical e seu sentido de cima
a vertical e seu sentido de cima
para baixo. As
para baixo. As Eqs
Eqs
. da cinem . da cinem á
á tica usadas para estudar corpos que
tica usadas para estudar corpos que
são lansão lanççados p/ cima ou sofrem queda livre são:ados p/ cima ou sofrem queda livre são:
Exemplo:
Exemplo: Uma bola
Uma bola é
é arremessada vertical// p/ cima, partindo do
arremessada vertical// p/ cima, partindo do
chão com
chão com velocid
velocid
. de 25 m/s. Determine . de 25 m/s. Determine
(a) O tempo decorrido p/ que a bola atinja o
(a) O tempo decorrido p/ que a bola atinja o pto
pto
. + alto? . + alto?
Adotando orientaAdotando orientaçção p/ cima do eixoão p/ cima do eixo--y e ay e a eqeq. (9) temos: g=. (9) temos: g=--9,8m/s9,8m/s
22
(b) O valor de Y(b) O valor de Y
MAXMAX
??
Pode ser obtido pelas
Pode ser obtido pelas eqs
eqs
. (8) e (10). Usando a . (8) e (10). Usando a eq
eq
. (10) temos . (10) temos
(c) Em que instante ela estar
(c) Em que instante ela estar á
á a 30 m do chão.
a 30 m do chão.
Inserindo os dados naInserindo os dados na eqeq.(8) vêm.(8) vêm 30 = 0 + 25 t30 = 0 + 25 t - - 4,9 t4,9 t
22
.. resolvendo temosresolvendo temos
tt
11
= 1,9 s= 1,9 s ee tt
22
= 3,2 s= 3,2 s..
= + ∆
= +
= + +
v v g y
v v gt
y y v t gt
y
y y
( 10 ) 2
( 9 )
2
1
( 8 )
2
0
2
0
2
0 0
yy
0
0
g
g=g=--9,8m/s9,8m/s
22
00
y
y
g
g=+g=+9,8m/s9,8m/s
22
2 , 55 s
9 , 8
25
0
=
−
−
v = v + gt → t =
y y
0 ( 25 ) 2 9 , 8 ( 0 ) 31 , 9 m
max max
2 2
= − × × y − → y =
77
Movimento de um Proj é
é til
til
Uma partUma partíícula descreve uma trajetcula descreve uma trajetóória em um plano comoria em um plano como
indicada na Fig. ao lado.
indicada na Fig. ao lado.
x
x
yy
g
g
VV
V
V
0
0
θθ
0
0
V
V
gg
RR
Em t= 0 s parte com velo
Em t= 0 s parte com velo
cidade inicial V
cidade inicial V
0
0
segundo
segundo
uma direuma direçção inicialão inicial θθ
00
.. DesDes--
considerando
considerando a resistência
a resistência
do ar temos
do ar temos
2
0 m/s
ˆ ˆ
0
x
y
a
a i g j
a g
⇒ = −
= −
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ
0 m 0 m r
ˆ ˆ
cos sen v
x y x y
x y x i y j
v v θ v v θ v i v j
= = ⇒ = +
= = ⇒ = +
Sendo este um
Sendo este um mov
mov
. Em 2 . Em 2
D c/ acelera
D c/ acelera ç
ç ão
ão cte
cte
. a partir dos . a partir dos
dados iniciais e a acelera
dados iniciais e a acelera ç
ç ão obtemos as
ão obtemos as eqs
eqs
. hor . hor á
á rias do
rias do
movmov. da part. da partíícula a sabercula a saber
( )
( ) ( )
0
0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) cos sen (0 )
ˆ ˆ
( ) cos sen
x y
V t V t
v t v a t v i v j i g j t
v t v i v gt j
θ θ
θ θ
= + = + + −
= + −
( ) ( )
2
0 0
2
0 0 0 0
0 0 cos sen
r t r v t a t
i g j
i j v θ i v θ j t t
( ) ( )
2
0 0 0 0
( )
( )
( ) cos sen
x t
y t
g
r t v θ t i v θ t t j
MRU em xMRU em x MRUA em yMRUA em y
88
Exemplo:
Exemplo: Um bombardeiro voa
Um bombardeiro voa
horizontal// com velocidade
horizontal// com velocidade cte
cte
de 500 Km/h
de 500 Km/h à
à uma altitude de
uma altitude de
50005000 mm dodo solo.solo. EmEm certocerto
momentomomento umauma bombabomba éé
lan
lan ç
ç ada. Determine:
ada. Determine:
(a)(a) O tempo de queda?O tempo de queda?
(b)(b) OO espaespaççoo horizontalhorizontal percorridopercorrido pelapela
bomba do instante em quebomba do instante em que éé lanlanççadaada
at
at é
é o momento em que atinge o
o momento em que atinge o
solo?solo?
VV
0
0
R R
Linha de visada
Linha de visada
φ
φ
(a) Considerando a orienta
(a) Considerando a orienta ç
ç ão do sistema de coordenadas e os dados iniciais
ão do sistema de coordenadas e os dados iniciais
a saber
a saber
Obtemos as equaObtemos as equaçções horões horáárias do movimento da bomba, i.e.rias do movimento da bomba, i.e.
Usando a equaUsando a equaçção p/ y(t) temosão p/ y(t) temos
(b) Inserindo o tempo de queda na(b) Inserindo o tempo de queda na eqeq. de x(t) vêm. de x(t) vêm
Obs
Obs : o ângulo de visada pode ser calculado por
: o ângulo de visada pode ser calculado por
0 0 0 0
2 2
0 m; 0 m; 138,8 m/s; 0 m/s
0 m/s ; 9,8 m/s
x y
x y
x y v v
a a g
( )
( )
0
2 2
0 0
2 2
x y
v t v a t i j i j t i t j
v t m s e v t t
i j
r t r v t a t i j i j t t
r t t i t x t t e y t t
2
− 5000 = −4,9 t → t =31,9 s
R = x (31,9) = 138,8 31,9⋅ → R =4.427,7 m
1
.. 4.427,
tan tan 0,885 41,5º
.. 5.
c o
c a
φ φ φ
−
= = ⇒ = ⇒ =
ˆ r
ˆ r
ˆ
θ
ˆ
θ
r
θ
θ
xx
y
y
As
As eqs
eqs
. hor . hor á
á rias ficam muito
rias ficam muito simplifi
simplifi
cadas
cadas ao usarmos
ao usarmos coord
coord
. polares no . polares no
lugar delugar de coordcoord. cartesianas. Assim. cartesianas. Assim dede--
finimos
finimos os vetores unit
os vetores unit á
á rios e
rios e
de modo que indiquem os valores
de modo que indiquem os valores
crescentes de
crescentes de r
r ee θ
θ , respectivamente.
, respectivamente.
Lembrando que seus m
Lembrando que seus m ó
ó dulos são
dulos são
iguais a unidade expressamos estes
iguais a unidade expressamos estes
ˆ r
ˆ
θ
novos vetores em
novos vetores em coord
coord
. cartesianas na forma . cartesianas na forma
( ) ( )
( )
ˆ 1 cos sen
1 cos( / 2
) sen( / 2
cos sen
) sen cos
r i j
i
r i j
i j j
Usando os resultados acima nas
Usando os resultados acima nas eqs
eqs
. de . de r
r ,
v
v e
e a
a temos
temos
2
r t ( ) = r r v t ( ) = w r θ a t ( ) = − w r r
Onde a dependência dos vetores c/ o tempo encontram
Onde a dependência dos vetores c/ o tempo encontram
se
se
em e. Podemos concluir que
em e. Podemos concluir que
- – OO mmóódulo da velocidade tangencialdulo da velocidade tangencial éé:: v = w rv = w r
- – OO mmóódulo da aceleradulo da aceleraçção centrão centríípetapeta éé:: a = wa = w
22
r = vr = v
22
/r/r
ˆ r
ˆ
θ
Exemplo:
Exemplo: o tempo para a Lua completar uma volta ao redor da
o tempo para a Lua completar uma volta ao redor da
Terra
Terra é
é de 27,3 dias. Qual
de 27,3 dias. Qual é
é o valor da
o valor da aceler
aceler .
. centr
centr í
í p
p
. da . da
Lua sabendo que o raio de sua trajet
Lua sabendo que o raio de sua trajet ó
ó ria (circular)
ria (circular) é
é de
de
385.000385.000 KmKm??
2 2
2 6
3 2
2,73 10 m/s
a w r r a
T
a
π
−
= = → = ×
× × ×
= ×
Acelera ç
ç ão Tangencial no
ão Tangencial no Mov
Mov
. Circular . Circular
Um movimento circular mais geral ocorre quando o mUm movimento circular mais geral ocorre quando o móódulodulo
da velocidade tangencial
da velocidade tangencial v
v varia com o tempo.
varia com o tempo. É
É
o caso de
o caso de
um ponto na borda da roda de um autom
um ponto na borda da roda de um autom ó
ó vel, ou na parede
vel, ou na parede
de uma centrde uma centríífuga quando o equipamento parte do repousofuga quando o equipamento parte do repouso
e entra em movimento.
e entra em movimento.
A Fig. Ao lado ilustra o
A Fig. Ao lado ilustra o
aumento do m
aumento do m ó
ó dulo do vetor
dulo do vetor
velocidade em três instantesvelocidade em três instantes
diferentes
diferentes
vv
1
1
v
v
22
vv
3
3
r
3 2 1
v > v > v
Quando isso ocorre dizemos que
Quando isso ocorre dizemos que
o movimento possui acelera
o movimento possui acelera ç
ç ão tangencial
ão tangencial a
a
T
T
As equa
As equa ç
ç ões hor
ões hor á
á rias da posi
rias da posi ç
ç ão e da velocidade são:
ão e da velocidade são:
( ) cos sen
( ) sen cos
r t r i r j r r
v t r w i j r w
θ θ
θ θ θ
Observ
Observ : w
: w ≠
≠ cte
cte
pois varia com o tempopois varia com o tempo
Obtemos a acelera
Obtemos a acelera ç
ç ão derivando a
ão derivando a veloc
veloc
. em rela . em rela ç
ç ão ao
ão ao
tempo. Logo
tempo. Logo
aceler
aceler .
Tangenc
Tangenc .
a
a
TT
= r
= r α
α
aceler
aceler .
Centripe
Centripe .
a
a
c
c
= r w
= r w
22
= v
= v
22
/r
/r
2
( ) sen cos cos sen
T c
d v dw d
a t r i j r w i j
dt dt dt
a t r r w r a t a a r
θ
θ θ θ θ
α θ θ
T
a
C
a
a
Ao considerarmos
Ao considerarmos α
α
cte
cte a
a veloc
veloc
. angular . angular
varia no tempo segundo
varia no tempo segundo w(t) = w
w(t) = w
0
0
α
α t
t e a posi
e a posi ç
ç ão angular
ão angular
segundo
segundo θ
θ (t) =
(t) = θ
θ
α t
t
22
