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GRÁFICOS E FUNÇÕES
1. PROPORÇÃO DIRETA
y = a.x a = constante.
2. VARIAÇÃO LINEAR
y = a.x + b a, b = constantes.
3. VARIAÇÃO COM O QUADRADO
y = a.x 2 a = constante.
4. VARIAÇÃO COM A RAIZ
y = a. x a = constante.
5. VARIAÇÃO COM O INVERSO
A. Simples B. Do Quadrado
a = constante. a = constante
INCLINAÇÃO DO GÁFICO E CONSTANTES
DE PROPORCIONALIDADE
- y = a.x ⇒ y é PROPORCIONAL a x. (Se a = const.)
a = I = INCLINAÇÃO do gráfico ( coeficiente angular da reta )
a = I = x
y ∆
HORIZONTAL
VERTICAL
OBS.: Se o gráfico é uma RETA a INCLINAÇÃO é uma CONSTANTE ( a = constante )
EXEMPLOS
I B e I A = CONSTANTES ( a B e a A )
I B > 0 e I A > 0 ( Inclinações POSITIVAS )
a B > a A ⇒ I B > I A (Inclinação) B > (Inclinação) A
I D e I C = CONSTANTES ( a D e a C )
I D < 0 e I C < 0 ( Inclinações NEGATIVAS )
| a D | > | a C | ⇒ | I D | > | I A | (Inclinação) D > (Inclinação) C [ em módulo ]
- y = a.x + b ⇒ y NÃO É proporcional a x. ( Mesmo com a, b = constantes )
a = I = INCLINAÇÃO do gráfico = ∆y / ∆x b = valor de y para x = 0 ( Coef. Linear da reta)
y
x
x
y
y
x x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y = a. x^2
y = a. x
∆y = y 2 – y 1
∆x = x 2 – x 1
x
y
A
B
y x
C
D
∆y = y 2 – y 1
∆x = x 2 – x 1
x
y
∆y
∆x b
y
x 1 x
y 2
y 1
x 2
∆y
∆x
y
x
y
x
y
x
y
x
x 2x
Y Y/
x 2x
Y
Y/
- y = a.x^2 + b.x + c ⇒ y só é proporcional ao quadrado de x se a = const. e b = 0 ; c = 0 ) OBS:
. a (constante) não é a inclinação (I) do gráfico.
. I = INCLINAÇÃO em cada ponto do gráfico.
EXEMPLOS
VETORES
Grandezas Físicas
- Escalares: aquelas que ficam perfeitamente definidas apenas com o seu MÓDULO (valor numérico + unidade de medida).
- Vetoriais: aquelas que, para ficarem bem defini- das, precisamos fornecer o MÓDULO, DIREÇÃO e SENTIDO.
VETOR é o segmento orientado de reta que serve para representar uma grandeza vetorial (OBS.: O vetor deve representar MÓDULO, DIREÇÃO e SENTIDO da grandeza vetorial.)
Exemplo:
MÓDULO: é o valor da grandeza (valor numérico + unidade de medida). DIREÇÃO: é a mesma da reta suporte ( r ) do vetor (dada pelo ângulo θ da figura). SENTIDO: é indicado pela SETA do vetor.
: vetor (módulo/direção/sentido) = segmento AB a ou | | : módulo do vetor (valor da grandeza).
Operações com vetores
Sejam os vetores abaixo:
1) ADIÇÃO → S = a + b + c
(Regra do polígono)
Desenhar os vetores um após o outro. Ligar da origem de a até o final de c. O vetor obtido será a soma deles.
2) ADIÇÃO → S = a + b
(Regra do paralelogramo)
Obs.: Lembre-se de que as operações vetoriais não são algébricas. Elas são GEOMÉTRICAS. Assim, a soma, por exemplo, de dois vetores de valores 6 e 8 pode NÃO dar 14. Na figura anterior, se a = 6 e b = 8 a soma deles será S = 10. Você quer a diagonal de um retângulo !!!
x
y
A
a > 0 B
x
y A
B
a < 0
I B < 0 e I A < 0 | I B | < | I A | Inclinação diminui
I B > 0 e I A > 0 I B > I A Inclinação aumenta
x
y
A
B
a < 0
I B > 0 e I A > 0 I B < I A Inclinação diminui
x
y
A
B
a > 0
I B < 0 e I A < 0 | I B | > | I A | Inclinação aumenta
θ
r (^) A
B
a a a a c m n
Vetores Iguais
a = c ↔
Mesmo módulo Mesma direção Mesmo sentido
Vetores Simétricos
m = – n ↔
Mesmo módulo Mesma direção Sentidos opostos
a
b (^) c
a
b
c S
a
b
S
Desenhar os vetores na mesma origem. Traçar pa- ralelas, pelas extremidades, ao outro vetor. Ligar da origem ao cruzamento das paralelas.
2) M.R.U.A.
|V| = Varia ⇒
( V 0 = velocidade inicial e a = aceleração )
3) M.Q.L. (Movimento de queda livre) Movimento na vertical (subida ou descida), desprezando a resistência do ar, sujeito à ace- leração da gravidade.
a = g = constante ⇒ MQL = MRUA
(Usar as mesmas equações colocando g no lugar de a e H no lugar de d .)
OBS.: Na altura máxima: V = 0 e a = g.
Movimentos Retilíneos - Estudo Gráfico
Gráf. X × t (ou d × t) Gráf. V × t
Inclinação (secante) Inclinação (secante) ⇒ Vm (entre A e B) ⇒ am (entre A e B)
Inclinação (tangente) Inclinação (tangente) = V nos instantes A e B. = a nos instantes A e B. → V B < V A → a B < a A
I = const. ⇒ V = const. I = const. ⇒ a = const.
Área sob o gráfico = Área sob o gráfico = NADA! d ou ∆x
MOVIMENTOS CURVILÍNEOS
( A trajetória é uma linha curva.)
V e a T mesmo sentido → | V | = aumenta. V e a T sentidos opostos → | V | = diminui. Aceleração (total) é a soma vetorial de aT e aC.
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
T = Período = Tempo gasto em cada volta. f = Freqüência = N° de voltas na unidade de tempo.
ω = Velocidade Angular = "rapidez" com que varre
ângulos. V = Velocidade = "rapidez" com que percorre uma distância d.
OBS.:
Como o MCU possui aceleração, ele não tem tal nome para a UFMG. Lá, ele é chamado de MOVIMENTO CIRCULAR COM MÓDULO DE VELOCIDADE CONSTANTE.
a = a m = constante. Se V 0 = 0 → d α t^2. Se V = aumenta → V 0 e a de mesmo sinal. Se V = diminui → V 0 e a de sinais contrários.
d = V 0 .t + (½).a.t^2
V = V 0 + a.t V
2 = V
0 (^2) + 2.a.d
x = x 0 + V 0 .t + (½).a.t 2
x
t
x
t
A
B
V
t
A
B
A
B
V
t
A
B
t (^) t
x (^) A V B
A
B
V B < V A a B < a A
t t
V
O vetor velocidade ( V ) é tangente à trajetória em cada instante
V
a C
a T
A aceleração centrípeta ( a C ) é perpendicular à velocidade. Ela altera a DIREÇÃO da V. A aceleração tangencial ( a T ) tem a mesma direção da V. Ela altera o MÓDULO da V.
a T = 0 ⇒ | V | = const.
| a C | = const. ⇒ R = const.
a C ⊥ V ⇒ V = varia em direção e sentido (movi- mento circular) V
a C
a C
V
R
T
f = T
t
π
θ ω = T
2 R
t
d V π = =
V = ω.R (^) R .R a V^22 C = =ω
x (^) V
d ou ∆ x
ÓTICA GEOMÉTRICA
Vamos estudar a Ótica sem preocupar, aqui, com a natureza da luz e nem com a causa da formação das imagens e da visão que temos dos objetos.
Luz Branca
A luz BRANCA, emitida pelo Sol, é formada por infinitas radiações (cores do espectro), das quais existem sete cores básicas ou principais: vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta.
Cores dos Objetos Um objeto é visto por causa da luz emitida ou refletida por ele. As cores dos objetos dependem da luz incidente e refletida por eles. Um objeto ilumina- do por luz branca será visto branco se refletir todas as "cores". Se ele refletir somente o "verde" e absorver as demais, será visto na cor verde.
Cor do Radiação Cor na qual o objeto Objeto Incidente será visto Branco Branca Branco Branco Azul Azul Preto Branca Preto Azul Branca Azul Azul Azul Azul Azul Vermelha Preto
Propagação da Luz
A luz se propaga em todas as direções e em linha RETA nos meios isotrópicos e homogêneos.
Os raios luminosos são independentes entre si. Quando raios de luz se cruzam cada um segue seu caminho, como se não tivesse havido o cruzamento ( Independência dos raios de luz ).
O trajeto seguido por um raio de luz não se modifica quando o sentido da propagação for in- vertido. Isto é, a luz volta pelo mesmo caminho usado na ida ( Reversibilidade dos raios de luz ).
Tipos de imagens
Real
Virtual
FENÔMENOS ÓTICOS:
REFLEXÃO REFRAÇÃO
OBS.: A velocidade da luz é diferente nos dois meios. Se o meio 1 for o vácuo ( velocidade c = 3×10^8 m/s), a velocidade (V) no meio 2 será sempre MENOR. O índice de refração (n) de um meio (para uma dada radiação) é: n = c / V.
ESPELHOS LENTES
RAIOS NOTÁVEIS
Formada pelo encontro dos raios refletidos ( ou refratados ). Invertida em relação ao objeto (de cabeça para baixo).
Formada pelos prolongamentos dos raios refletidos ( ou refratados ). Direta em relação ao objeto (de cabeça para cima).
A luz incide numa su- perfície, "bate e volta", e continua no mesmo meio original.
A luz passa de um meio para outro, alte- rando sua velocidade de propagação.
RI, Rr e N estão no mesmo plano. α = β ( sempre )
RI, RR e N estão no mesmo plano.
RI = Raio incidente Rr = Raio Refletido RR = Raio Refratado α = Ângulo de incidência β = Ângulo de reflexão θ = Ângulo de refração N = Normal à superfície
RI
RR
α
θ
N
β
Rr
Meio 1
Meio 2
sen sen
α θ = V^1 = V 2
n 2 n 1
E. Côncavo E. Convexo
Lentes Lentes Convergentes Divergentes
V F^ C
F
F
F
F
F
Espelho Convexo e Lente Divergente:
Se o objeto se desloca do infinito ao espelho (lente), sua imagem se desloca do foco ao espelho (lente) e aumenta de tamanho.
Espelho Plano:
Espelho Côncavo e Lente Convergente:
Se o objeto se desloca do FOCO até o espelho (lente), sua imagem virtual se desloca do infinito ao espelho (lente) e diminui de tamanho.
Conclusão sobre deslocamento de objetos: Se o objeto se APROXIMA do espelho ou lente, a imagem VIRTUAL também se APROXIMA; Se o objeto se APROXIMA do espelho ou lente, a imagem REAL se AFASTA.
ESTUDO ANALÍTICO - Espelhos e Lentes
REFRAÇÃO E REFLEXÃO TOTAL
Seja n 1 > n 2 :
F
V O V I
F
V O V I
F
V O V I
F F V O
V I
Im Ob
A imagem é sempre : Virtual e Direta. Simétrica em relação ao espelho ( D O = D I ) H O = H I ( para qualquer distância ao espelho).
V I V O
Se o objeto se desloca do infinito ao espelho, sua imagem se desloca do infinito ao espelho e mantém o tamanho.
F
V O
V I
F F V O
V I
Se o objeto se des- loca do infinito até o FOCO do espelho ou lente sua imagem real se desloca do foco ao infinito e aumenta de tamanho.
θ 1
θ 2
N
Meio 1 Meio 2
θ 1
θ 2
N
Meio 1 Meio 2
Como θ 2 < θ 1 : Como θ 2 > θ 1 : n 2 > n 1 e V 2 < V 1 n 2 < n 1 e V 2 > V 1 Luz aproxima da normal Luz afasta da normal
⇒ V
n
sen θ Ν α α
À medida que o raio incidente se afasta da normal, o raio refratado também se afasta da normal. O raio 4 define o ângulo LIMITE ( L ):
MAIOR
MENOR n
n senL 1
2 n
n = =
N
n 1
n 2
F
DO
DI
f
Objeto
Im.
F F
Objeto Imagem
DO DI
f
O D O
D H
A = HI^ = I A = Ampliação linear H = Alturas do Objeto/Imagem
D I
1 D
1 1 f (^) O
= +
Sinais a serem usados na equação acima: D O > 0 → Objeto Real (sempre); f > 0 → Esp. Côncavo ou lente Convergente; f < 0 → Esp. Convexo ou lente Divergente; D I > 0 → Imagem Real e Invertida; D I < 0 → Imagem Virtual e Direta.
2
1 1
2 2
1 V
V
n
n sen
sen = = θ
θ
DISPERSÃO DA LUZ BRANCA
DISTÂNCIA FOCAL DE UMA LENTE:
Observe as duas lentes abaixo:
A lente 2, de faces mais curvas, converge MAIS e tem distância focal MENOR que a lente 1 (f 2 < f 1 ).
OLHO HUMANO E SEUS DEFEITOS
A imagem será nítida para o observador se ela se formar sobre a retina (membrana no fundo do olho). Se a distância do objeto mudar, altera a distância focal do cristalino, de modo que a imagem continua a se formar na retina ( "Poder de acomodação do cristalino" ).
1) HIPERMETROPIA
Dificuldade de acomodar para objeto próximo ao olho. A imagem se forma atrás da retina, pois o cristalino é pouco convergente.
Lente Corretiva: CONVERGENTE (Convergir mais ).
2) MIOPIA
Dificuldade de acomodar para objeto distante do olho. A imagem se forma antes da retina, pois o cristalino é muito convergente.
Lente Corretiva: DIVERGENTE (Convergir menos ).
MÁQUINA FOTOGRÁFICA
A máquina tem funcionamento semelhante ao olho humano: a lente convergente ( f = constante) seria o cristalino e o filme, no qual se forma a imagem, seria a retina. O objeto deve estar além do foco F da lente. A imagem projetada no filme é real, invertida e, de modo geral, menor que o objeto. O ajuste para diferentes posições do objeto é feito, normalmente, alterando-se a distância D I.
PROJETOR DE SLIDES
O projetor tem uma lente convergente que projeta numa tela a imagem real, invertida e maior do slide (objeto), que é iluminado pela lâmpada. O slide deve se localizar além do foco da lente.
N
n 1
n 2
L θ (^) θ
Se a luz incide, do meio mais refringente para o menos refringente, com ângulo de incidência ( θ ) MAIOR do que o limite ( L ), ela sofre RE- FLEXÃO TOTAL, ainda que o meio 1 seja transparente.
Se n 1 > n 2 e θ > L ⇒ Reflexão Total
Luz Branca N
Vidro
Ar
Viol. Verm.
No vácuo e no ar todas as cores têm a mesma velo- cidade. No vidro (meio dis- persivo), cada cor tem uma velocidade (V VIO < V VERM ). O índice de refração do vidro depende da cor para o qual foi medido ( nVIO > nVERM ). O ângulo da luz com a normal depende de n ( θ α 1/n ). Assim, a luz separa nas suas cores
θ VIOLETA < θ VERM.
Retina
Im
Retina
Im
Lente Corretiva
f 2
F 1 F 2
f 1
Objeto aproxima → D O DIMINUI → f DIMINUI (cristalino mais espesso = mais curvo = mais convergente). Objeto afasta → D O AUMENTA → f AUMENTA (cristalino mais fino = menos curvo = menos convergente);
D I = tamanho do olho (constante)
D I
1 D
1 1 f (^) O
= +
Retina
Im
Lente Corretiva
Retina
Im
D O
DI
Lente objeto
imagem
filme
Retina
Imagem
Objeto
Cristalino
D O
D I
lente lâmpada
slide Imagem
DI D^ O
Tela
