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Tópico 1 – Bases da Cinemática escalar 1
Tópico 1
Parte I – CINEMÁTICA
(^1) Um pescador encontrou um tesouro e o enterrou em um ter-
reno cercado de sua propriedade. Para que ficasse fácil localizar o te- souro a qualquer momento, ele fez um esboço do terreno, associando a ele um sistema de eixos cartesianos. Assim, ele mediu e marcou os valores indicados na figura.
30
(^20) x (m)
y (m)
0
0
Tesouro
AFASTE-SE
a) Qual a abscissa do local em que está enterrado o tesouro? b) Qual a ordenada do local em que está enterrado o tesouro?
Respostas: a) 20 m; b) 30 m
(^2) Converta 1 hora em segundos.
Resolução: 1 h = 60 min = 60 · 60 s ⇒ 1 h = 3600 s
Resposta: 1 h = 3600 s
(^3) Um quarto de hora corresponde a quantos minutos?
Resolução:
1 4
h =^1 4
· 60 min = 15 min
Resposta: 15 min
(^4) Dez minutos correspondem a que fração da hora?
Resolução:
10 min = 10 · 1 60
h =^1 6
h
Resposta: 1 6
h
(^5) Instante (t) pode ser dado por um número negativo? E intervalo de tempo (∆t)?
Resolução: Quando adotamos uma origem de tempo (t 0 = 0), atribuímos números positivos aos instantes posteriores e negativos aos anteriores. Assim, um instante pode ser dado por um número negativo. O intervalo de tempo (∆t = tfinal – tinicial) não pode ser negativo, pois tfinal nunca é menor que tinicial.
Respostas: Instante sim; intervalo não.
(^6) Calcule, em minutos, o resultado da seguinte expressão:
1,2 h + 3 4
h + 300 s.
Resolução:
1,2 h +^3 4
h + 300 s = 1,2 · 60 min +^3 4
· 60 min + 300 · 1 60
min =
= 72 min + 45 min + 5 min = 122 min
Resposta: 122 min
(^7) (Vunesp-SP) O intervalo de tempo de 2,4 minutos equivale a quanto no Sistema Internacional de Unidades?
Resolução: 2,4 min = 2,4 · 60 s = 144 s
Resposta: 144 s
(^8) Considere um automóvel em movimento em relação a um re- ferencial Oxy solidário ao solo. Seja O’x’y’ outro referencial, solidário à porta do veículo, como ilustra a figura a seguir:
x'
y'
O x
y
O'
M
Determine se a maçaneta M está em repouso ou em movimento: a) em relação a Oxy. b) em relação a O’x’y’.
Respostas: a) Em movimento. b) Em repouso
2 PARTE I – CINEMÁTICA
9 E.R. (^) Enquanto o professor escreve na lousa: a) o giz está em repouso ou em movimento em relação à lousa? b) a lousa está em repouso ou em movimento em relação ao chão? c) a lousa está em repouso ou em movimento em relação ao giz?
Resolução: a) Enquanto o professor está escrevendo, o giz muda de posição em relação à lousa, estando, portanto, em movimento em relação a ela. b) A lousa não muda de posição em relação ao chão, estando, por- tanto, em repouso em relação a ele. c) Os conceitos de movimento e de repouso são simétricos, isto é, se um corpo está em movimento (ou repouso) em relação a outro, este também está em movimento (ou repouso) em relação ao pri- meiro. Assim, a lousa está em movimento em relação ao giz. De fato, se houver um inseto pousado no giz, por exemplo, o inseto verá a lousa passando por ele.
(^10) Um automóvel aproxima-se de um paredão, como ilustra a
figura:
É incorreto afirmar que: a) o automóvel está em movimento em relação ao paredão. b) o paredão está em movimento em relação ao automóvel. c) o paredão está em repouso em relação ao solo. d) o motorista está em repouso em relação ao automóvel, mas em movimento em relação à superfície da Terra. e) o paredão está em repouso em relação ao automóvel.
Resposta: e
(^11) Um barco em movimento retilíneo está sendo seguido por um
helicóptero que voa em altitude constante, sempre na mesma vertical que passa pelo barco:
Considere o barco e o helicóptero pontos materiais. a) Como estão o barco e o helicóptero em relação à superfície da Ter- ra, em repouso ou em movimento? b) O helicóptero está em repouso ou em movimento em relação ao barco?
Respostas: a) Em movimento. b) Em repouso.
(^12) Uma comemoração iniciou-se às 22 h 45 min do dia 31 de de- zembro, terminando às 2 h 20 min do dia 1o^ de janeiro do ano seguinte. Quanto tempo durou essa comemoração?
Resolução: 0 h
24 h
22 h 45 min 2 h 20 min
t
∆t = 24 h – 22 h 45 min) + (2 h 20 min – 0 h) = = (23 h 60 min – 22 h 45 min) + 2 h 20 min = = 1 h 15 min + 2 h 20 min ⇒ (^) ∆t = 3 h 35 min
Resposta: 3 h 35 min
(^13) Uma partida de basquetebol iniciou-se às 23 h 2 min 30 s, termi- nando à 0 h 51 min 16 s. Calcule a duração total dessa partida.
Resolução: 0 h
24 h
23 h 2 min 30 s 0 h 51 min 16 s t
∆t = (24 h – 23 h 2 min 30 s) + (0 h 51 min 16 s – 0 h) = = (23 h 59 min 60 s – 23 h 2 min 30 s) + (0 h 51 min 16 s) = = 57 min 30 s + 51 min 16 s = 108 min 46 s ⇒ ∆t = 1 h 48 min 46 s
Resposta: 1 h 48 min 46 s
(^14) No sistema esquematizado na figura, o recipiente A é mantido sempre cheio de água. Isso garante que a quantidade de água que en- tra no recipiente cilíndrico B, através do cano C, em cada segundo, seja sempre a mesma.
A
C
B Régua
No recipiente B, inicialmente vazio, o nível da água vai subindo e sua altura pode ser lida em uma régua cujo zero coincide com o fundo. Sabe-se que a altura de B é 30 cm e que ele fica completamente cheio em 60 min. a) O sistema descrito pode funcionar como cronômetro (aliás, o “re- lógio” que Galileu usava em seus experimentos era desse tipo). Suponha que um juiz de futebol resolva usá-lo para cronometrar uma partida. Em t 0 = 0 (início do jogo), começa a entrar água em B. O primeiro tempo deverá ser encerrado (t = 45 min) quando o nível da água estiver a que altura?
4 PARTE I – CINEMÁTICA
Resolução: Observando que o espaço informa a posição da partícula em relação à origem dos espaços e não necessariamente quanto ela percorreu, temos:
Em t 0 : s 0 = 20 m Em t 4 : s 4 = 20 m
Em t 1 : s 1 = 40 m Em t 5 : s 5 = 0
Em t 2 : s 2 = 60 m Em t 6 : s 6 = –20 m
Em t 3 : s 3 = 30 m
Nota:
- Não importa quanto a partícula percorreu, nem o sentido em que ela se move: o espaço informa onde ela está.
(^21) Em certo instante, um automóvel encontra-se no km 120 de
uma rodovia. Em outras palavras, o espaço do automóvel nesse instan- te é igual a 120 km. Isso significa que: a) o automóvel já percorreu 120 km certamente. b) o automóvel está em movimento no referido instante, no sentido da trajetória. c) o automóvel, nesse instante, está em repouso. d) o automóvel encontra-se a 120 km do km 0, medidos ao longo da trajetória. e) a distância do local em que o automóvel está até o km 0, medida em linha reta, é 120 km necessariamente.
Resposta: d
22 E.R. (^) Um automóvel parte do km 12 de uma rodovia e desloca- se sempre no mesmo sentido até o km 90. Aí chegando, retorna pela mesma rodovia até o km 20. km 20
km 12
km 90
Calcule, para esse automóvel, a variação de espaço (∆s) e a distância percorrida (d): a) na ida; b) na volta; c) na ida e na volta juntas.
Resolução: a) Na ida, do km 12 ao km 90, temos: ∆s = sfinal – sinicial = 90 – 12 ⇒ ∆s = 78 km
d = |∆s| ⇒ d = 78 km
b) Na volta, do km 90 ao km 20, temos: ∆s = sfinal – sinicial = 20 – 90 ∆s = –70 km
d = |∆s| ⇒ d = 70 km
c) No movimento de ida e volta, temos: ∆s = sfinal – sinicial = 20 – 12 ⇒ ∆s = 8 km
d = dida + dvolta = 78 + 70 ⇒ d = 148 km
(^23) Um automóvel deslocou-se do km 20 até o km 65 de uma ro- dovia, sempre no mesmo sentido. Determine a variação de espaço e a distância percorrida por ele.
Resolução:
- ∆s = 65 km – 20 km = 45 km
- d = |∆s| = 45 km
Resposta: Variação de espaço: 45 km; distância percorrida: 45 km.
(^24) Um caminhão fez uma viagem a partir do km 120 de uma ro- dovia, indo sempre no mesmo sentido até o km 0. Qual a variação de espaço e qual a distância percorrida por ele? Resolução:
- ∆s = 0 km – 120 km = – 120 km
- d = |∆s| = 120 km
Resposta: Variação de espaço: –120 km; distância percorrida: 120 km.
(^25) Um caminhão parte do km 30 de uma rodovia, leva uma carga até o km 145 dessa mesma estrada e volta, em seguida, para o km 65. Determine: a) a variação de espaço do caminhão entre o início e o final do percurso; b) a distância percorrida pelo caminhão nesse percurso.
Resolução: a) ∆s = 65 km – 30 km ⇒ (^) ∆s = 35 km b) d = dida + dvolta = |∆sida| + |∆svolta| d = |145 km – 30 km| + |65 km – 145 km| ⇒ (^) d = 195 km
Respostas: a) 35km; b) 195 km.
(^26) Com relação ao movimento de um ponto material numa traje- tória orientada, são feitas três afirmações: I. Se o movimento se dá no sentido da trajetória, a variação de espaço é positiva. II. Se o movimento se dá em sentido oposto ao da trajetória, a varia- ção de espaço é negativa. III. No Sistema Internacional (SI), o espaço é medido em quilômetros. Indique: a) Se apenas as afirmações I e II forem corretas. b) Se apenas as afirmações I e III forem corretas. c) Se apenas as afirmações II e III forem corretas. d) Se as três afirmações forem corretas. e) Se as três afirmações forem incorretas.
Resposta: a
(^27) A velocidade escalar média de um ônibus que se moveu sempre no mesmo sentido foi de 10 m/s, em certo intervalo de tempo. Isso significa que: a) o ônibus percorreu necessariamente 10 metros em cada segundo. b) o ônibus iniciou o movimento no espaço 10 m. c) é possível que o ônibus tenha percorrido 10 metros em cada segundo. d) certamente, o ônibus nunca parou durante o intervalo de tempo considerado. e) o ônibus não pode ter percorrido 15 metros em algum segundo.
Resposta: c
Tópico 1 – Bases da Cinemática escalar 5
(^28) Dois automóveis, A e B, partem num mesmo instante de uma
cidade X com destino a outra cidade Y, distante 420 km de X. O au- tomóvel A faz o percurso em 5 horas e o B, em 6 horas. Pode-se afirmar que: a) o automóvel B percorreu uma distância maior que a percorrida por A. b) a velocidade escalar média de B é maior que a de A. c) é possível que, em algum momento, B tenha sido mais veloz que A. d) A esteve sempre na frente de B. e) A e B não pararam nenhuma vez durante a viagem.
Resposta: c
(^29) Um automóvel inicia uma viagem no km 100 de uma rodovia às
10 horas da manhã (t 1 ), chegando ao km 340 às 14 horas (t 2 ).
t 1 t 2
km 0
km
km 200 (^) km 300 km 400 Calcule a velocidade escalar média do automóvel.
Resolução:
vm = ∆s ∆t
= 340 km – 100 km 14 h – 10 h
⇒ vm = 60 km/h
Resposta: 60 km/h
30 E.R. (^) Um motociclista partiu do km 10 de uma rodovia às 8 horas da manhã (t 1 ) e chegou ao km 250 às 12 horas (t 2 ). Imedia- tamente, ele iniciou a viagem de volta, retornando ao km 10 às 14 horas (t 3 ). Calcule a velocidade escalar média do motociclista entre os instantes: a) t 1 e t 2 ; b) t 2 e t 3 ; c) t 1 e t 3.
Resolução: a) Entre t 1 e t 2 , temos: ∆s = s 2 – s 1 = 250 – 10 ⇒ ∆s = 240 km ∆t = t 2 – t 1 = 12 – 8 ⇒ ∆t = 4 h Então:
vm = ∆s ∆t
=^240
⇒ vm = 60 km/h
Note que essa velocidade resultou positiva, pois o movimento ocorreu no sentido da trajetória. b) Entre t 2 e t 3 , temos: ∆s = s 3 – s 2 = 10 – 250 ⇒ ∆s = –240 km ∆t = t 3 – t 2 = 14 – 12 ⇒ ∆t = 2 h Então:
vm = ∆s ∆t
⇒ vm = –120 km/h
Observe que essa velocidade resultou negativa, pois o movi- mento ocorreu em sentido contrário ao da trajetória. c) Entre t 1 e t 3 , temos: ∆s = s 3 – s 1 = 10 – 10 ⇒ ∆s = 0 ∆t = t 3 – t 1 = 14 – 8 ⇒ ∆t = 6 h Assim:
vm = ∆s ∆t
=^0
⇒ (^) vm = 0
Nota:
- Esse resultado costuma decepcionar as pessoas que esperam da Física uma utilidade prática. De fato, não é esse cálculo que interes- sa fazer na prática, mas sim outro, que é o quociente da distância percorrida realmente pelo motociclista (480 km: 240 km na ida mais 240 km na volta) pelo intervalo de tempo (6 h). Entretanto, o tratamento matemático que estamos destinando ao es- tudo do movimento é útil e facilita a resolução de muitos problemas reais. Convém dizer, ainda, que esse resultado, estranho do ponto de vista prático, é normal do ponto de vista matemático: uma grandeza que é positiva durante um intervalo de tempo e negativa num outro intervalo pode ter valor médio nulo no intervalo de tempo total.
(^31) Um automóvel parte do km 73 da Via Anhanguera às 6 h 45 min e chega ao km 59 às 6 h 55 min. Calcule a velocidade escalar média do automóvel nesse percurso, em km/h.
Resolução: ∆s = 59 km – 73 km = – 14 km ∆t = 6 h 55 min – 6 h 45 min = 10 min = 1 6
h
vm = ∆s ∆t
= – 14 km 1 6 h
⇒ vm = – 84 km/h
Resposta: – 84 km/h
(^32) O motorista de uma transportadora recebe seu caminhão e sua respectiva carga com a incumbência de levá-la a um local distante 340 km por rodovia, tendo 6 h de prazo. Após ter percorrido 130 km em 2 h 15 min, teve um pneu estourado, que levou 45 min para ser troca- do. Qual deve ser a velocidade média a ser desenvolvida no restante do percurso para a carga chegar no horário? Resolução: Restam 210 km para serem percorridos em 3 h:
vm = ∆s ∆t
= 210 km 3 h
⇒ vm = 70 km/h
Nota:
- Quando não temos informação do sentido do movimento em relação à orientação da trajetória, deixamos o resultado em módulo. Fazemos o mesmo quando a trajetória não está orientada.
Resposta: 70 km/h
(^33) Caminhando por uma avenida da cidade, um rapaz percorreu 6 quarteirões em 40 minutos. Sabendo que o comprimento de cada quarteirão, medido do centro de uma rua transversal ao centro da rua seguinte, é de 200 m, calcule a velocidade escalar média do rapaz em m/s.
Resolução: vm = ∆s ∆t
= 6 · 200 m 40 · 60 s
⇒ vm = 0,5 m/s
Resposta: 0,5 m/s
(^34) (UEL-PR) Um homem caminha com velocidade V H = 3,6 km/h, uma ave, com velocidade VA = 30 m/min e um inseto, com velocidade VI = 60 cm/s. Essas velocidades satisfazem a relação: a) VI > VH > VA. c) VH > VA > VI. e) VH > VI > VA. b) VA > VI > VH. d) VA > VH > VI.
Tópico 1 – Bases da Cinemática escalar 7
velocidade escalar média de ocupação do continente americano pelo ser humano, ao longo da rota desenhada, foi de aproximadamente: a) 0,5 km/ano. c) 24 km/ano. b) 8 km/ano. d) 2 km/ano.
Resolução: O segmento AB cabe aproximadamente quatro vezes na rota desenhada. Então: ∆s 20000 km ∆t = 10000 anos
vm = ∆s ∆t
⇒ vm 2 km/ano
Resposta: d
(^42) Em certo instante, o velocímetro de um automóvel indica
80 km/h. Determine sua velocidade escalar instantânea nesse instante, supondo que: a) o automóvel se movimenta no sentido em que as indicações dos marcos quilométricos da estrada são crescentes (movimento pro- gressivo); b) o movimento se dá no sentido em que as citadas indicações são decrescentes (movimento retrógrado).
Respostas: a) 80 km/h; b) – 80 km/h.
(^43) (UFC-CE) A figura abaixo mostra o mapa de uma cidade em que as
ruas retilíneas se cruzam perpendicularmente e cada quarteirão mede 100 m. Você caminha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, até a casa de sua avó, na esquina B. Dali segue até sua escola, situada na esquina C. A menor distância que você caminha e a distância em linha reta entre sua casa e a escola são, respectivamente: a) 1800 m e 1400 m. b) 1600 m e 1200 m. c) 1400 m e 1000 m. d) 1200 m e 800 m. e) 1000 m e 600 m.
Resolução:
- Distância mínima percorrida (dmín):
- Distância em linha reta (dr):
A D
B
C
100 m
A 300 m
500 m
D
B
400 m
C 200 m
dmím = 300 m + 400 m + 500 m +
A D
B
C
100 m AC^2 = AD^2 + DC^2 AC^2 = 800^2 + 600^2
AC = 1 000 m
(^44) (UFPI) A figura abaixo representa quatro percursos ligando as cidades A e B.
I II III IV
A B
Analise a figura e indique a alternativa correta. a) O caminho I é menor que o II. b) O caminho II é menor que o III. c) O caminho III é menor que o IV. d) O caminho II é menor que o IV. e) Os caminhos I, II, III e IV são de igual tamanho.
Resolução: Todos os caminhos têm comprimentos iguais à soma (a + b) dos cate- tos do triângulo retângulo a seguir:
A B
a b
Resposta: e
(^45) Um avião percorre 1 920 km em 1 hora e 20 minutos. Considere a velocidade do som no ar igual a 340 m/s. Calcule a velocidade escalar média do avião nesse percurso, em m/s, e verifique se ele é ou não supersônico.
Resolução: ∆s = 1920 km = 1920000 m ∆t = 1 h + 20 min = 4800 s
vm = ∆s ∆t
=^1920000
⇒ vm = 400 m/s^ (é supersônico)
Resposta: 400 m/s; é supersônico
(^46) (Uerj) Uma estrada recém-asfaltada entre duas cidades é percor- rida de carro, durante uma hora e meia, sem parada. A extensão do percurso entre as cidades é de, aproximadamente: a) 103 m. b) 10^4 m. c) 105 m. d) 10^6 m.
Resolução: Tratando-se de uma estrada em boas condições, podemos estimar a velocidade do caro em cerca de 100 km/h: ∆s = vm · ∆t = 100 · 1, ∆s = 150 km = 1,5 · 10^5 m A potênica de dez que melhor se aproxima do resultado é 10^5 m.
Resposta: c
(^47) Numa pista de corrida de 6 km de extensão, um carro desenvol- ve velocidades de até 250 km/h nas retas e de cerca de 180 km/h nas curvas. Sabendo que ele gasta 3,6 minutos para dar duas voltas com- pletas, responda: qual a velocidade escalar média nessas duas voltas em km/h?
Resposta: c
8 PARTE I – CINEMÁTICA
Resolução:
vm = ∆s ∆t
= 2 · 6 km 3, 60
h
⇒ vm = 200 km/h
Resposta: 200 km/h
(^48) (UFC-CE) Um motorista lançou, no gráfico mostrado abaixo, a
distância por ele percorrida (medida em km), em função do consumo de combustível (medido em litros) de seu veículo. Sobre o desempe- nho médio do veículo (definido pela razão distância percorrida/litro consumido) podemos afirmar:
- foi melhor nos primeiros 600 km percorridos;
- entre 600 km e 1 090 km percorridos, foi de 7 km/litro;
- foi superior a 9 km/litro no percurso representado pelos 1 090 km mostrados no gráfico;
- no percurso total, é a média aritmética dos desempenhos médios mencionados acima, nos itens 1 e 2. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas.
(^050 )
1 090
Distância (km)
Consumo (litros)
600
Resolução:
- Nos primeiros 600 km: 600 km 50 L
= 12 km/L
- Entre 600 km e 1 090 km: 490 km 70 L
= 7 km/L
- No percurso total: 1 090 km 120 L
9,1 km/L
Resposta: 07
(^49) (UFJF-MG) Um ônibus, partindo da cidade de Juiz de Fora, per-
corre uma distância de 550 km numa viagem até a cidade de São Pau- lo. Durante essa viagem, o ônibus faz uma parada de 45 minutos na cidade de Rezende, que dista 217 km da cidade de Juiz de Fora. No primeiro trecho, antes da parada, a viagem durou 3 horas e 30 minutos. No segundo trecho, depois da parada, a viagem durou 3 horas. Os valores aproximados das velocidades escalares médias do ônibus no primeiro trecho, no segundo trecho e na viagem completa são, respectivamente: a) 111 km/h, 62 km/h, 76 km/h. d) 111 km/h, 62 km/h, 85 km/h. b) 62 km/h, 111 km/h, 85 km/h. e) 111 km/h, 62 km/h, 90 km/h. c) 62 km/h, 111 km/h, 76 km/h.
Resolução:
R
Parada de 45 min (0,75 h)
Vm 1 ∆t 1 = 3,5 h ∆s 1 = 217 km
Vm 2 ∆t 2 = 3 h ∆s 2 = 333 km
JF SP
∆s 1 ∆t 1
= 217 km 3,5 h
⇒ vm 1 = 62 km/h
∆s 2 ∆t 2
= 333 km 3 h
⇒ vm 2 = 111 km/h
= 550 km 7,25 h
⇒ vm ^ 76 km/h
Resposta: c
(^50) (UFF-RJ) Inaugurada em 1974, a Ponte Presidente Costa e Silva, mais conhecida como Ponte Rio–Niterói, foi projetada para receber pouco mais de 50 mil veículos por dia. Hoje, recebe cerca de 120 mil, de modo que na hora de maior movimento sempre ocorre grande congestionamento. Considere que um estudante do Rio, vindo para a UFF, percorra os primeiros 7 km da ponte com uma velocidade escalar constante de 70 km/h e gaste 20 minutos para atravessar os 6 km restantes.
Thor Unamar
Supondo-se que na volta ele gaste 10 minutos para atravessar toda a ponte, é correto afirmar que a velocidade escalar média na vinda e a velocidade escalar média na volta têm módulos, em km/h, respectiva- mente, iguais a: a) 30 e 78. c) 30 e 130. e) 88 e 78. b) 44 e 78. d) 44 e 130.
Resolução:
- Na vinda: V 1 = 70 km/h ∆s 1 = 7 km ∆t 1 = h
Rio UFF
1 10
∆s 2 = 6 km ∆t 2 = 20 min = 1 h 3
vm = 7 km + 6 km 1 10
h +^1 3
h
= 13 km 13 10
h
⇒ vm = 30 km/h (em módulo)
vm = 13 km 1 6
h
⇒ vm = 78 km/h^ (em módulo)
Resposta: a
51 E.R. (^) Sobre uma reta orientada, são dados ordenadamente os pontos A, B e C, tais que AB = BC = d.
d d
A B C
Um ponto material move-se nessa reta com velocidade escalar média v 1 de A a B e com velocidade escalar média v 2 de B a C. Determine a velocidade escalar média desse ponto material de A a C.
Resolução: De A a B, temos:
10 PARTE I – CINEMÁTICA
Enunciado para as questões 58 e 59. Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típico de um corredor- padrão é representado pelo seguinte gráfico:
Tempo (s)
Velocidade
(m/s
)
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16
(^58) (Enem) Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velo-
cidade do corredor é aproximadamente constante? a) Entre 0 e 1 segundo. d) Entre 8 e 11 segundos. b) Entre 1 e 5 segundos. e) Entre 12 e 15 segundos. c) Entre 5 e 8 segundos.
Resposta: c
(^59) (Enem) Em que intervalo de tempo o corredor apresenta acele-
ração máxima? a) Entre 0 e 1 segundo. d) Entre 8 e 11 segundos. b) Entre 1 e 5 segundos. e) Entre 9 e 15 segundos. c) Entre 5 e 8 segundos.
Resolução: Considerando intervalos de tempo de 1 s, a máxima variação da veloci- dade escalar ocorre entre 0 e 1 s.
Resposta: a
(^60) Responda se os movimentos das bolinhas são acelerados, re-
tardados ou uniformes, sabendo que o intervalo de tempo entre duas posições consecutivas é sempre o mesmo e que, nos itens a, b e c, as bolinhas se movem para a direita.
a)
b)
c)
d) e)
- Em t 2 = 7 s ⇒ v 2 = 3(7)^2 + 7 ⇒ v 2 = 154 m/s. A aceleração escalar média é dada por:
αm =
v 2 – v 1
Assim:^ t^2 – t^1
αm = 154 – 10 7 – 1
⇒ αm = 24 m/s^2
(^62) Um móvel tem sua velocidade escalar instantânea (v) variando com o tempo (t), conforme a função: v = t^2 – 4t (SI) Calcule sua aceleração escalar média entre os instantes: a) 0 e 4 s; b) 1 s e 5 s.
Resolução: a) v 0 = 0
v 4 = 4^2 – 4 · 4 ⇒ v 4 = 0
αm = ∆v ∆t
⇒ αm = 0
b) v 1 = 1^2 – 4 · 1 ⇒ v 1 = – 3 m/s
v 5 = 5^2 – 4 · 5 ⇒ v 5 = 5 m/s
αm = ∆v ∆t
⇒ αm = 2 m/s^2
Respostas: a) Zero; b) 2 m/s^2
(^63) Com relação ao movimento variado, são feitas as seguintes afirmações:
- No movimento acelerado, a velocidade escalar instantânea é sempre crescente com o tempo.
- No movimento acelerado, o módulo da velocidade escalar instan- tânea é sempre crescente com o tempo.
- No movimento retardado, a velocidade escalar instantânea é sempre decrescente com o tempo.
- No movimento retardado, o módulo da velocidade escalar instan- tânea é sempre decrescente com o tempo.
- Um movimento uniforme pode ter aceleração escalar diferente de zero. Dê como resposta a soma dos números associados às afirmações corretas.
Resolução: Por ser uma grandeza dotada de sinal, a velocidade escalar pode ser decrescente e seu módulo, crescente. Do mesmo modo, ela pode ser crescente e seu módulo, decrescente. Soma 10.
Resposta: 10
(^64) Um corpo desloca-se numa trajetória orientada, sempre num mesmo sentido. Durante certo intervalo de tempo, o corpo vai de um ponto M até um ponto N com velocidade escalar média v 1. Durante um novo intervalo de tempo, igual ao anterior, ele vai do ponto N até um ponto Q com velocidade escalar média v 2. a) Determine, em função de v 1 e v 2 , a velocidade escalar média do cor- po no percurso de M a Q. b) Sendo MQ o deslocamento escalar no percurso total, determine, em função de v 1 , v 2 e MQ, o deslocamento escalar MN, de M a N.
Respostas: a) Uniforme; b) Acelerado; c) Retardado; d) Retardado na subida e acelerado na descida; e) Uniforme.
61 E.R. (^) A velocidade escalar instantânea (v) de um ponto mate- rial varia com o tempo (t), conforme a função v = 3t^2 + 7, válida no SI. Calcule a aceleração escalar média desse ponto entre os instantes 1 s e 7 s.
Resolução: Calculemos as velocidades escalares nos instantes 1 s e 7 s:
- Em t 1 = 1 s ⇒ v 1 = 3(1)^2 + 7 ⇒ v 1 = 10 m/s;
Tópico 1 – Bases da Cinemática escalar 11
vm AB
3 v 1 v 2 v 3 (v 1 v 2 + v 1 v 3 + v 2 v 3 )
Resposta:
3 v 1 v 2 v 3 (v 1 v 2 + v 1 v 3 + v 2 v 3 )
(^67) Para multar motoristas com velocidade superior a 90 km/h, um guarda rodoviário aciona seu cronômetro quando avista o automó- vel passando pelo marco A e faz a leitura no cronômetro quando vê o veículo passar pelo marco B, situado a 1 500 m de A. Um motorista passa por A a 144 km/h e mantém essa velocidade durante 10 segun- dos, quando percebe a presença do guarda. Que velocidade média ele deverá manter em seguida para não ser multado?
Resolução:
400 m 1 100 m 1 500 m
A^ 144 km/h = 40m/s B
90 km/h = 25 m/s Para não ser multado: vm 25 m/s
vm = ∆s ∆t
∆t
25 ⇒ ∆t 60 s
Gastando 10 s em um percurso de 400 m, restam 1 100 m para serem percorridos em 50 s ou mais. vmmáx = ∆s ∆t
= 1100 m 50 s
= 22 m/s = 79,2 km/h
vm 79,2 km/h
Resposta: 79,2 km/h
(^68) (Fuvest-SP) Diante de uma agência do INPS, há uma fila de apro- ximadamente 100 m de comprimento, ao longo da qual se distribuem de maneira uniforme 200 pessoas. Aberta a porta, as pessoas entram, durante 30 s, com uma velocidade média de 1 m/s. Avalie: a) o número de pessoas que entraram na agência; b) o comprimento da fila que restou do lado de fora.
Resolução: a) Vamos calcular, inicialmente, o número n de pessoas por metro de fila: n =
200 pessoas 100 metros
⇒ n = 2
pessoas metro Sendo ∆L o comprimento de fila que adentra a agência do INPS, tem-se que: v = ∆L ∆t
⇒ ∆L = v ∆t = 1 · 30
∆L = 30 m O número N de pessoas correspondente a ∆L é dado por:
N = n ∆L ⇒ N = 2 · 30 ⇒ N = 60 pessoas
b) O comprimento ∆L’ da fila que restou do lado de fora é dado pela diferença: ∆L’ = 100 – ∆L ⇒ ∆L’ = 100 – 30 ⇒ ∆L’ = 70 m
Respostas: a) 60 pessoas; b) 70 m
Resolução: a) M v 1 ∆t
N v 2 Q ∆t Temos: ∆sMN = v 1 ∆t e ∆sNQ = v 2 ∆t Assim: ∆sMQ = (v 1 + v 2 ) ∆t e ∆tMQ = 2 ∆t Então:
vmMQ =
∆sMQ ∆tMQ
(v 1 + v 2 ) ∆t 2 ∆t
⇒ vmMQ =
v 1 + v 2 2
b) Sendo 2T o tempo total de percurso, temos: MN = v 1 T (I)
vmMQ = MQ 2T
v 1 + v 2 2
⇒ T = MQ
v 1 + v 2
(II)
Substituindo (II) em (I):
MN =
v 1 v 1 + v 2
· MQ
Respostas: a)
v 1 + v 2 2
; b)
v 1 v 1 + v 2
· MQ
(^65) (ITA-SP) Um motorista deseja perfazer a distância de 20 km com
velocidade escalar média de 80 km/h. Se viajar durante os primeiros 15 minutos com velocidade de 40 km/h, é possível concluir o percurso como se pretendia?
Resolução: Se o motorista deseja que a velocidade escalar média seja de 80 km/h em um percurso de 20 km, deverá fazê-lo em um intervalo de tempo ∆t dado por:
vm = ∆s ∆t
⇒ ∆t = ∆s vm
=^20
⇒ ∆t =^1 4
h = 15 min
Se gastar esses 15 minutos a 40 km/h, percorrerá apenas 10 km. Assim, terá de percorrer os outros 10 km sem gastar tempo al- gum, o que é um absurdo.
Resposta: Não.
(^66) Uma partícula desloca-se do ponto A até o ponto B. A B
Na primeira terça parte do percurso, sua velocidade escalar média vale v 1 ; na segunda terça parte, vale v 2 , e na terceira, v 3. Determine a veloci- dade escalar média no percurso total de A até B.
Resolução: A (^) d C D B v 1 v 2 v 3
d d
∆tAC = d v 1
∆tCD = (^) vd 2
∆tDB = (^) vd 3 De A a B, temos: ∆sAB = 3d
∆tAB = d v 1
d (v 1 v 2 + v 1 v 3 + v 2 v 3 ) v 1 v 2 v 3
vmAB =
∆sAB ∆tAB
= 3 d d (v 1 v 2 + v 1 v 3 + v 2 v 3 ) v 1 v 2 v 3
Tópico 1 – Bases da Cinemática escalar 13
(^73) Os espaços s de uma partícula variam com o tempo t, de acordo
com a função:
s = 4t^2 – 2t (SI)
Determine: a) a função horária da velocidade escalar instantânea; b) a velocidade escalar no instante 5 s.
Resolução: a) • s = 4t^2 – 2t
- s’ = 4t’^2 – 2t’
- vm = s’ – s t’ – t
= 4(t’
(^2) – t (^2) ) – 2 (t’ – t) t’ – t
vm = 4 (t’ + t) (t’ – t) – 2 (t’ – t) (t’ – t)
⇒ vm = 4 (t’ + t) – 2
Fazendo t’ tender a t, vem:
v = 4 (t + t)– 2 ⇒ v = 8 t – 2 (SI)
b) v = 8 · 5 – 2 ⇒ v = 38 m/s
Resposta: a) v = 8t – 2 (SI); b) 38 m/s
74 E.R. (^) A função horária do espaço referente ao movimento de uma partícula é s = 5t^3 – 6t, válida no SI. Determine: a) a função horária da velocidade escalar instantânea; b) a velocidade escalar no instante 2 s; c) a função horária da aceleração escalar instantânea; d) a aceleração escalar no instante 2 s.
Resolução: a) Nos instantes genéricos t e t’, com t’ maior que t, temos os espa- ços s e s’, respectivamente:
s = 5t^3 – 6t e s’ = 5t’^3 – 6t’ Então:
vm = s’ – s t’ – t
= (5t’
(^3) – 6t’) – (5t (^3) – 6t) t’ – t
vm = 5(t’
(^3) – t (^3) ) – 6(t’– t) t’ – t
= 5(t’– t)(t’
(^2) + t’t + t (^2) ) – 6(t’ – t) t’ – t
vm = 5(t’^2 + t’ t + t^2 ) – 6
Fazendo t’ tender a t, obtemos:
v = 5(t^2 + t t + t^2 ) – 6 ⇒ v = 15t^2 – 6 (SI)
b) Para t = 2 s: v = 15 · 2^2 – 6 ⇒ v = 54 m/s
c) Nos instantes genéricos t e t’, com t’ maior que t, temos as velo- cidades escalares v e v’, respectivamente:
v = 15t^2 – 6 e v’ = 15t’^2 – 6 Então:
αm = v’ – v t’ – t
= (15t’
(^2) – 6) – (15t (^2) – 6) t’ – t
αm = 15(t’
(^2) – t (^2) ) t’ – t
= 15(t’ + t) (t’ – t) t’ – t
= 15(t’ + t)
Fazendo t’ tender a t, obtemos:
α = 15(t + t) ⇒ α = 30t (SI)
d) Para t = 2 s:
α = 30 · 2 ⇒ α = 60 m/s^2
Nota:
- A obtenção das funções horárias da velocidade e da aceleração escala- res instantâneas, a partir da função horária do espaço, seria muito mais simples se fosse conhecida uma operação matemática denominada derivada. Por isso, para esse caso particular, vamos apresentá-la sem, entretanto, demonstrar o resultado. Seja f uma função do tempo t. O limite de ∆f ∆t
, quando ∆t tende a zero,
chama-se derivada de f em relação ao tempo e é simbolizado por df dt
Assim, temos:
lim ∆f ∆t
= df ∆t → 0 dt Se f for função do tipo f(t) = a tn, com a e n constantes, a derivada de f em relação a t será: df dt
= a n tn – 1
Lembrando as definições da velocidade escalar instantânea e da acele- ração escalar instantânea, podemos escrever:
v = ds dt
e α = dv dt Vamos resolver novamente os itens a e c do exercício 75 de modo mui- to mais prático, por meio da derivada:
s = 5t^3 – 6t^1 (SI)
a) v = ds dt
= 5 · 3 · t3 – 1^ – 6 · 1 · t1 – 1^ ⇒ v = 15t^2 – 6t^0 = 15t^2 – 6 (SI)
c) α = dv dt
= 15 · 2 · t2 – 1^ – 6 · 0 · t0 – 1^ ⇒ α = 30t (SI)
Você pode fazer o mesmo com relação aos exercícios 72, 73 e 75.
(^75) A velocidade escalar instantânea de um móvel varia com o tem- po, conforme a função v = 5t^2 + 4, válida no SI. Determine: a) a função horária da aceleração escalar instantânea; b) a aceleração escalar no instante 4 s.
Resolução: a) No instante t : v = 5t^2 + 4 No instante t’: v’ = 5t’^2 + 4
αm = v’ – vt’ – t = 5t’
(^2) + 4 – 5t (^2) – 4 t’ – t =^
5 (t’ + t) (t’ – t) t’ – t αm = 5 (t’ + t) α = limt’ → t αm = 5 (t + t) ⇒ α = 10 t (SI)
b) Em t = 4 s, temos: α = 10 · 4
α = 40 m/s^2
Respostas: a) α = 10 t; b) 40 m/s^2
14 PARTE I – CINEMÁTICA
Tópico 2
1 E.R. (^) Dada a função horária s = 10 + 3t, válida no SI, isto é, com s em metros e t em segundos, determine: a) se o movimento é uniforme ou variado; b) o espaço inicial, a velocidade escalar e o sentido do movimento em relação à trajetória; c) o espaço em t = 5 s e o instante em que s = 31 m.
Resolução: a) O movimento é uniforme, porque a função horária s = 10 + 3t é do primeiro grau em t. b) Temos: s = 10 + 3t (SI) e s = s 0 + v t Confrontando essas duas expressões termo a termo, vem: s 0 = 10 m (^) (Espaço inicial)
v = 3 m/s (Velocidade escalar) O sentido do movimento é o mesmo da trajetória, pois a velocida- de escalar é positiva (movimento progressivo). c) Para t = 5 s, obtemos: s = 10 + 3(5) ⇒ s = 25 m Para s = 31 m, vem: 31 = 10 + 3t ⇒ 3t = 21 ⇒ t = 7 s
(^2) Nas seguintes funções horárias do espaço, identifique o espaço
inicial s 0 e a velocidade escalar v:
a) s = 20 + 4t (SI);
b) s = 15 – 3t (cm; s);
c) s = 12t (km; h).
Resolução: s = s 0 + vt
a) s = 20 + 4 t ⇒ s 0 = 20 m e v = 4 m/s
b) s = 15 + (– 3t) ⇒ s 0 = 15 cm e v = – 3 cm/s
c) s = 0 + 12t ⇒ s 0 = 0 e v = 12 km/h
Respostas: a) s 0 = 20m; v = 4 m/s; b) s 0 = 15 cm; v = –3 cm/s; c) s 0 = 0; v = 12 km/h
(^3) As tabelas a seguir fornecem informações referentes a movi-
mentos uniformes. Determine, em cada caso, a velocidade escalar e os valores de x e y.
a) (^) s (m) 4 12 20 x 84
t (s) 0 1 2 7 y
b) (^) v (m/s) 15 15 x 15 y
t (s) 0 2 4 6 8
c) (^) s (m) 20 16 x 8 0
t (s) 0 2 4 6 y
Resolução:
a)
s 0 = 4 m
v = 8 m/s
⇒ s = 4 + 8t ⇒
t = 7s : x = 4 + 8 · 7 ⇒ x = 60 m
s = 84 m ⇒ 84 = 4 + 8y ⇒ y = 10 s
b) v = 15 m/s x = 15 m/s y = 15 m/s
c)
s 0 = 20 m
v = 16 – 202 – 0 ⇒ (^) v = – 2 m/s
⇒ s = 20 – 2t ⇒
t = 4s : x = 20 – 2 · 4 ⇒ x = 12 m
s = 0 : 0 = 20 – 2y ⇒ y = 10 s
Respostas: a) 8 m/s; x = 60 m, y = 10 s; b) 15 m/s, x = 15 m/s; y = 15 m/s; c) –2 m/s; x = 12 m, y = 10 s
(^4) (UFPE) Um caminhão se desloca com velocidade constante de 144 km/h. Suponha que o motorista cochile durante 1,0 s. Qual o espa- ço, em metros, percorrido pelo caminhão nesse intervalo de tempo se ele não colidir com algum obstáculo?
Resolução:
- 144 km/h = 40 m/s
- ∆s = v t = 40 · 1,0 ⇒ ∆s = 40 m
Resposta: 40 m
(^5) (UFRGS-RS) A tabela registra dados da posição x em função do tempo t, referentes ao movimento retilíneo uniforme de um móvel. Qual é a velocidade desse móvel? t (s) x (m) 0 0 2 6 5 15 9 27
Resolução: De 0 a 2 s, por exemplo, temos:
v = ∆x ∆t
⇒ v = 3 m/s
Resposta: 3 m/s
6 E.R. (^) Um sinal luminoso é emitido da Terra, no instante t 0 = 0, di- rigindo-se para a Lua, onde sofre reflexão num espelho, lá colocado por uma das missões Apolo, e retorna à Terra no instante t. Considerando igual a 3,84 · 10^5 km a distância da Terra à Lua e sendo de 3,00 · 10^5 km/s a velocidade de propagação da luz nessa viagem, calcule t.
Resolução: Na ida da luz da Terra até a Lua, temos:
16 PARTE I – CINEMÁTICA
(^12) (Ufac) Um automóvel se desloca em uma estrada retilínea com
velocidade constante. A figura mostra as suas posições, anotadas com intervalos de 1 h, contados a partir do quilômetro 20, onde se ado- tou o instante t = 0:
km 50 km 110
t = 0 t = 1 h
km 20 km 80
t = 2 h (^) t = 3 h
Com o espaço s em quilômetros e o tempo t em horas, escreva a fun- ção horária do espaço para esse movimento.
Resolução:
- s 0 = 20 km
- v = 30 km/h
- s = s 0 + vt
s = 20 + 30t
Resposta: s = 20 + 30t
13 E.R. (^) As funções horárias do espaço de duas partículas, A e B, que se movem numa mesma reta orientada, são dadas, no SI, por: sA = 4t e sB = 120 – 2t A origem dos espaços é a mesma para o estudo dos dois movimen- tos, o mesmo ocorrendo com a origem dos tempos. Determine: a) a distância que separa as partículas no instante t = 10 s; b) o instante em que essas partículas se encontram; c) a posição em que se dá o encontro.
Resolução: a) Em t = 10 s, temos: sA = 4(10) ⇒ sA = 40 m sB = 120 – 2(10) ⇒ sB = 100 m
s (m)
d
0 40 100
A B
Assim, a distância entre as partículas é: d = 100 – 40 ⇒ d = 60 m
b) No instante em que essas partículas se encontram, (te), seus espa- ços são iguais. Então, podemos escrever: 4te = 120 – 2te ⇒ te = 20 s
c) A posição em que se dá o encontro é dada pelo espaço corres- pondente: sA = 4te = 4(20) ⇒ sA = 80 m
sA = sB = 80 m Nota:
- Considere duas partículas, A e B, movendo-se numa mesma trajetória, com velocidades escalares constantes vA e vB, medidas em relação ao solo. Seja d a “distância” que as separa no instante t 0 = 0. A determina- ção do instante de encontro (te) entre elas pode ser feita de um modo bem mais simples, adotando-se como referencial uma das partículas. Com isso, a velocidade dessa partícula torna-se igual a zero (ela “para”) e a velocidade da outra terá módulo igual à diferença entre os módulos de vA e vB, quando elas se moverem no mesmo sentido, e módulo igual à soma dos módulos de vA e vB, quando se moverem em sentidos opos- tos. Veja os seguintes esquemas:
A e B movem-se no mesmo sentido
v’A
B
vA vB
A
A
d^ B
d
(Referencial em B)
Lembrando que v = ∆s ∆t
, calculamos te fazendo:
| v’A | = d te
, em que | v’A | = | vA | – | vB |
A e B movem-se em sentidos opostos
d
v’A
d
vA vB
A
A
B
B
(Referencial em B) Como v = ∆s ∆t
, calculamos te fazendo:
| v’A | = d te
, em que | v’A | = | vA | + | vB |
Agora, usando esse recurso, calcule te no exercício 13.
(^14) A figura a seguir mostra dois móveis pontuais A e B em mo- vimento uniforme, com velocidades escalares de módulos respecti- vamente iguais a 11 m/s e 4 m/s. A situação representada na figura corresponde ao instante t 0 = 0.
B 0 20 90
Movimento
A
Movimento
s (m)
Determine: a) as funções horárias do espaço para os movimentos de A e de B; b) o instante em que A e B se encontram; c) os espaços de A e de B no instante do encontro.
Resolução:
a) s = s 0 + v t
sA = 20 + 11 t (SI)
sB = 90 + 4 t (SI)
b) sA = sB ⇒ 20 + 11te = 90 + 4te ⇒ te = 10 s
c) sA = 20 + 11 · 10 ⇒ sA = sB = 130 m
Respostas: a) sA = 20 + 11t (SI), sB = 90 + 4 t (SI); b) 10 s; c) sA = sB = 130 m
(^15) A figura a seguir mostra as posições de dois automóveis (I e II) na data t 0 = 0:
Tópico 2 – Movimento uniforme 17
km 0 km 50^ km 100
km 150 km 200
(I)
(II)
Nesse instante (t 0 = 0), as velocidades escalares de I e de II têm módulos respectivamente iguais a 60 km/h e 90 km/h. Supondo que os dois veí- culos mantenham suas velocidades escalares constantes, determine: a) o instante em que se cruzarão;
b) a posição em que ocorrerá o cruzamento.
Resolução:
a) s = s 0 + v t
sI = 50 + 60 t
sII = 200 – 90 t
sI = sII ⇒ 50 + 60te = 200 – 90te ⇒ te = 1 h
b) sI = 50 + 60 · 1 ⇒ sI = sII = 110 km
Respostas: a) 1 h; b) km 110
(^16) Às oito horas da manhã, uma motocicleta está passando pelo
km 10 de uma rodovia, a 120 km/h, e um automóvel está passando pelo km 60 da mesma rodovia a 80 km/h. Sabendo-se que os dois veículos viajam no mesmo sentido e supondo que suas velocidades escalares sejam constantes, determine o horário em que a moto irá al- cançar o automóvel.
Resolução:
10 60
t = 8 h vM = 120 km/h vA = 80 km/h
t = 8 h
s (km)
- Em relação a um referencial no automóvel, v’M = 40 km/h:
v’M = ∆s ∆t
⇒ ∆t = ∆s v’M
=^5040 ⇒ ∆t = 54 h = 1 h 15 min
Portanto:
te = 8 h + 1 h 15 min ⇒ te = 9 h 15 min
Resposta: 9 h 15 min
(^17) Uma raposa encontra-se a 100 m de um coelho, perseguindo-o.
Sabendo que as velocidades da raposa e do coelho valem, respectiva- mente, 72 km/h e 54 km/h, responda: quanto tempo dura essa bem- sucedida perseguição?
Resolução:
- 72 km/h = 20 m/s e 54 km/h = 15 m/s
- Em relação a um referencial no coelho, v’r = 5 m/s:
∆s = v’r t ⇒ 100 = 5te ⇒ te = 20 s
Resposta: 20 s
18 E.R. (^) Calcule o tempo que um trem de 250 m de comprimen- to, viajando a 72 km/h, demora para atravessar completamente uma ponte de 150 metros de extensão.
Resolução: As figuras a seguir mostram o trem no início e no final da travessia: Movimento
Movimento
(Início)
(Final)
150 m 250 m
Então, durante a travessia, o trem percorre 400 m com velocidade escalar igual a 72 km/h, que equivale a 20 m/s. Assim: ∆s = v t
400 = 20t ⇒ t = 20 s
(^19) Um trem de 200 m de comprimento move-se com velocidade escalar constante de 72 km/h. Calcule o tempo decorrido para esse trem passar completamente: a) por uma pessoa parada à beira da ferrovia; b) por um túnel de 100 m de extensão.
Resolução: a) ∆s = v t ⇒ 200 = 20t ⇒ t = 10 s
b) ∆s = v t ⇒ 300 = 20 t ⇒ t = 15 s
Respostas: a) 10 s; b) 15 s
(^20) O maquinista de um trem de 400 m de comprimento mede o tempo para o trem atravessar completamente um túnel, obtendo 15 segundos. O maquinista sabe também que o trem se manteve em movimento uniforme, a 40 m/s. Qual o comprimento do túnel?
Resolução: ∆s = v t ⇒ 400 + x = 40 · 15 ⇒ x = 200 m
Resposta: 200 m
(^21) (Uespi) Um passageiro perdeu um ônibus que saiu da rodoviária há 5,0 min e pegou um táxi para alcançá-lo. O ônibus e o táxi descrevem a mesma trajetória e seus movimentos são uniformes. A velocidade escalar do ônibus é de 60 km/h e a do táxi é de 90 km/h. O intervalo de tempo necessário ao táxi para alcançar o ônibus é de: a) 5,0 min. d) 20 min. b) 10 min. e) 25 min. c) 15 min.
Resolução:
Nos 5,0 min ( 1 12
h), o ônibus já havia percorrido 60 km h
h = 5,0 km.
Tópico 2 – Movimento uniforme 19
Resolução: Iser Bem
Iser Bem
Tergat
Chegada
Tergat
25 m
75 m
x
Enquanto Tergat percorreu x, Iser Bem percorreu x + 100:
v = ∆s ∆t
Para Tergat:
5,2 = (^) ∆xt
Para Iser Bem:
7,7 = x + 100 ∆t
⇒ (^) ∆t = 40 s
Resposta: 40 s
(^28) (Uerj) A velocidade com que os nervos do braço transmitem impulsos elétricos pode ser medida, empregando-se eletrodos ade- quados, por meio da estimulação de diferentes pontos do braço e do registro das respostas a esses estímulos. O esquema I, abaixo, ilustra uma forma de medir a velocidade de um impulso elétrico em um nervo motor, na qual o intervalo de tempo entre as respostas aos estímulos 1 e 2, aplicados simultaneamente, é igual a 4,0 · 10-3s. Esquema I
Eletrodo de registro
Estímulo 2
Estímulo 1
0,25 m
( Adaptado de: CAMERON, J. R. et alii. Physics of the Body. Madison: Medical Physics Publishing, 1999.) O esquema II, a seguir, ilustra uma forma de medir a velocidade de um impulso elétrico em um nervo sensorial. Esquema II
Estímulo
Tempo
Eletrodos de registro
0,15 m 0,25 m 0,20 m
Eletrodos
1
1 2 3
2
3
2,7 · 10–3^ s
7,0 · 10–3^ s
11,0 · 10–3^ s
( Adaptado de: CAMERON, J. R. et alii. Physics of the Body. Madison: Medical Physics Publishing, 1999.)
Nessas condições, a sombra desloca-se sobre o plano inclinado em: a) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo igual ao da velocidade da bola. b) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo menor que o da velocidade da bola. c) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo maior que o da velocidade da bola. d) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidade de módulo crescente. e) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidade de módulo decrescente.
Resolução: Em iguais intervalos de tempo, os deslocamentos da bola (d) são iguais, e os da sombra (d’) também. Entretanto, d’ é maior que d:
Sombra
d d
d‘
d‘
Portanto, o movimento da sombra é retilíneo e uniforme, porém mais rápido que o da bola.
Resposta: c
(^26) O movimento de um carro que viaja a 100 km/h ao longo de
uma estrada retilínea é observado por meio de um radar. Na tela do aparelho, o carro é caracterizado por um ponto que se desloca 36 cm enquanto o carro percorre 5,0 km. Qual a velocidade do ponto na tela do radar?
Resolução: Num mesmo intervalo de tempo ∆t, o carro percorre ∆sc = 5,0 km com velocidade vc = 100 km/h e o ponto na tela do radar percorre ∆sp = 36 cm com velocidade vp.
v = ∆ ∆st ⇒ ∆t = ∆vs ⇒
∆sc vc^ =^
∆sp vp 5,0 km 100 km/h =^
36 · 10–5^ km vp
vp = 7,2 · 10–3^ km/h = 2,0 · 10–3^ m/s
vp = 2,0 mm/s
Resposta: 2,0 mm/s
(^27) Em determinado instante da empolgante final da Corrida de
São Silvestre, realizada em 31 de dezembro de 1997, o paranaen- se Emerson Iser Bem estava 25 m atrás do favorito, o queniano Paul Tergat, quando, numa reação espetacular, imprimiu uma velocidade escalar constante de 7,7 m/s, ultrapassando Tergat e vencendo a prova com uma vantagem de 75 m. Admitindo que a velocidade escalar de Tergat se manteve constante e igual a 5,2 m/s, calcule o intervalo de tempo decorrido desde o instante em que Iser Bem reagiu, im- primindo a velocidade escalar de 7,7 m/s, até o instante em que cruzou a linha de chegada.
20 PARTE I – CINEMÁTICA
Determine o módulo da velocidade de propagação do impulso elétrico: a) no nervo motor, em km/h; b) no nervo sensorial, em m/s, entre os eletrodos 2 e 3.
Resolução: a) ∆s = v t 0,25 = v · 4,0 · 10–3^ ⇒ v = 62,5 m/s v = 225 km/h
b) Entre os eletrodos de registro 2 e 3, temos: ∆s = 0,20 m ∆t = 11,0 · 10–3^ – 7,0 · 10–3s = 4,0 · 10–3s ∆s = v t ⇒ 0,20 = v · 4,0 · 10– v = 50 m/s
Respostas: a) 225 km/h; b) 50 m/s
(^29) (UFPR) Em uma partida de futebol, durante um lance normal,
um jogador localizado no ponto A chuta uma bola rasteira com velocidade de 90 km/h em direção a um canto inferior da trave, conforme ilustrado na figura abaixo, que não está representada em escala. Suponha que a bola se desloque em linha reta e com veloci- dade constante. a) Calcule o tempo necessário, em segundos, para a bola atingir o ponto B. b) Supondo que o goleiro esteja com as mãos próximas ao corpo e que, no instante do chute, ele esteja parado no centro da linha de gol (ponto C), calcule a velocidade média que suas mãos devem atingir, ao saltar em direção ao ponto B, de modo a desviar a bola para que não seja marcado o gol. Expresse a velocidade em km/h. 6,18 m 7,32 m
40,0 m
16,5 m
C
A
B
Resolução: a)
B
A
E
- AE = 40,0 m EB = 6,18 m + 16,5 m + 7,32 m = 30,0 m AB = 50,0 m
- ∆s = v t 90 km/h = 25 m/s 50,0 = 25 t t = 2,0 s
b) vM = CB ∆t
= 3,662,0 ⇒ vM 6,6 km/h
Respostas: a) 2,0 s; b) 6,6 km/h
(^30) É dada a seguinte função horária do movimento uniforme de uma partícula: s = 12 – 3t com s em metros e t em segundos. a) Represente graficamente o espaço e a velocidade escalar em fun- ção do tempo no intervalo de tempo de 0 a 5 s. b) Suponha que a trajetória da partícula seja a seguinte:
–4 –^
0
2 4
(^6 ) 10 12 s (m) Copie essa trajetória, indicando a posição da partícula nos instantes 0, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s e 5 s.
Respostas: a) (^) s (m)
t (s)
12
0
5 4
v (m/s)
(^0) t (s)
5
b)
s^ (m)
–2 0
(^2 34 6 8 ) 12
t = 5 st = 4 s
t = 3 st = 2 st = 1 s t = 0
31 E.R. (^) Para cada um dos gráficos seguintes, do espaço s em fun- ção do tempo t, verifique se o movimento é uniforme, acelerado ou retardado:
s
(^0) t
s
(^0) t
s
(^0) t
a)
b)
c)
Resolução: a) O movimento é retardado, porque, em iguais intervalos de tem- po ∆t, os deslocamentos ∆s são cada vez menores: o módulo da velocidade escalar diminui com o passar do tempo.
t
t s 1
s 2
s 2 < s 1
