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Tópico 1 – Bases da Cinemática escalar 1
Tópico 1
Parte I – CINEMÁTICA
(^1) Um pescador encontrou um tesouro e o enterrou em um ter-
reno cercado de sua propriedade. Para que f icasse fácil localizar o te- souro a qualquer momento, ele fez um esboço do terreno, associando a ele um sistema de eixos cartesianos. Assim, ele mediu e marcou os valores indicados na f igura.
30
(^20) x (m)
y (m)
0
0
Tesouro
AFASTE-SE
a) Qual a abscissa do local em que está enterrado o tesouro? b) Qual a ordenada do local em que está enterrado o tesouro?
Respostas: a) 20 m; b) 30 m
(^2) Converta 1 hora em segundos.
Resolução: 1 h = 60 min = 60 · 60 s ⇒ 1 h = 3 600 s
Resposta: 1 h = 3 600 s
(^3) Um quarto de hora corresponde a quantos minutos?
Resolução:
1 4
h =^1 4
· 60 min = 15 min
Resposta: 15 min
(^4) Dez minutos correspondem a que fração da hora?
Resolução:
10 min = 10 · 1 60
h =^1 6
h
Resposta: 1 6
h
(^5) Instante (t) pode ser dado por um número negativo? E intervalo de tempo (Δt)?
Resolução: Quando adotamos uma origem de tempo (t 0 = 0), atribuímos números positivos aos instantes posteriores e negativos aos anteriores. Assim, um instante pode ser dado por um número negativo. O intervalo de tempo (Δt = t (^) f inal – t (^) inicial) não pode ser negativo, pois t (^) f inal nunca é menor que tinicial.
Respostas: Instante sim; intervalo não.
(^6) Calcule, em minutos, o resultado da seguinte expressão:
1,2 h +^34 h + 300 s.
Resolução:
1,2 h +^3 4
h + 300 s = 1,2 · 60 min +^3 4
· 60 min + 300 · 1 60
min =
= 72 min + 45 min + 5 min = 122 min
Resposta: 122 min
(^7) (Vunesp-SP) O intervalo de tempo de 2,4 minutos equivale a quanto no Sistema Internacional de Unidades?
Resolução: 2,4 min = 2,4 · 60 s = 144 s
Resposta: 144 s
(^8) Considere um automóvel em movimento em relação a um re- ferencial Oxy solidário ao solo. Seja O’x’y’ outro referencial, solidário à porta do veículo, como ilustra a f igura a seguir:
x'
y'
O x
y
O'
M
Determine se a maçaneta M está em repouso ou em movimento: a) em relação a Oxy. b) em relação a O’x’y’.
Respostas: a) Em movimento. b) Em repouso
2 PARTE I – CINEMÁTICA
9 E.R. (^) Enquanto o professor escreve na lousa: a) o giz está em repouso ou em movimento em relação à lousa? b) a lousa está em repouso ou em movimento em relação ao chão? c) a lousa está em repouso ou em movimento em relação ao giz?
Resolução: a) Enquanto o professor está escrevendo, o giz muda de posição em relação à lousa, estando, portanto, em movimento em relação a ela. b) A lousa não muda de posição em relação ao chão, estando, por- tanto, em repouso em relação a ele. c) Os conceitos de movimento e de repouso são simétricos, isto é, se um corpo está em movimento (ou repouso) em relação a outro, este também está em movimento (ou repouso) em relação ao pri- meiro. Assim, a lousa está em movimento em relação ao giz. De fato, se houver um inseto pousado no giz, por exemplo, o inseto verá a lousa passando por ele.
(^10) Um automóvel aproxima-se de um paredão, como ilustra a
f igura:
É incorreto af irmar que: a) o automóvel está em movimento em relação ao paredão. b) o paredão está em movimento em relação ao automóvel. c) o paredão está em repouso em relação ao solo. d) o motorista está em repouso em relação ao automóvel, mas em movimento em relação à super fície da Terra. e) o paredão está em repouso em relação ao automóvel.
Resposta: e
(^11) Um barco em movimento retilíneo está sendo seguido por um
helicóptero que voa em altitude constante, sempre na mesma vertical que passa pelo barco:
Considere o barco e o helicóptero pontos materiais. a) Como estão o barco e o helicóptero em relação à super fície da Ter- ra, em repouso ou em movimento? b) O helicóptero está em repouso ou em movimento em relação ao barco?
Respostas: a) Em movimento. b) Em repouso.
(^12) Uma comemoração iniciou-se às 22 h 45 min do dia 31 de de- zembro, terminando às 2 h 20 min do dia 1 o^ de janeiro do ano seguinte. Quanto tempo durou essa comemoração?
Resolução: 0 h
24 h
22 h 45 min 2 h 20 min
t
Δt = 24 h – 22 h 45 min) + (2 h 20 min – 0 h) = = (23 h 60 min – 22 h 45 min) + 2 h 20 min = = 1 h 15 min + 2 h 20 min ⇒ (^) Δt = 3 h 35 min
Resposta: 3 h 35 min
(^13) Uma partida de basquetebol iniciou-se às 23 h 2 min 30 s, termi- nando à 0 h 51 min 16 s. Calcule a duração total dessa partida.
Resolução: 0 h
24 h
23 h 2 min 30 s 0 h 51 min 16 s t
Δt = (24 h – 23 h 2 min 30 s) + (0 h 51 min 16 s – 0 h) = = (23 h 59 min 60 s – 23 h 2 min 30 s) + (0 h 51 min 16 s) = = 57 min 30 s + 51 min 16 s = 108 min 46 s ⇒ Δt = 1 h 48 min 46 s
Resposta: 1 h 48 min 46 s
(^14) No sistema esquematizado na f igura, o recipiente A é mantido sempre cheio de água. Isso garante que a quantidade de água que en- tra no recipiente cilíndrico B, através do cano C, em cada segundo, seja sempre a mesma.
A
C
B Régua
No recipiente B, inicialmente vazio, o nível da água vai subindo e sua altura pode ser lida em uma régua cujo zero coincide com o fundo. Sabe-se que a altura de B é 30 cm e que ele f ica completamente cheio em 60 min. a) O sistema descrito pode funcionar como cronômetro (aliás, o “re- lógio” que Galileu usava em seus experimentos era desse tipo). Suponha que um juiz de futebol resolva usá-lo para cronometrar uma partida. Em t 0 = 0 (início do jogo), começa a entrar água em B. O primeiro tempo deverá ser encerrado (t = 45 min) quando o nível da água estiver a que altura?
4 PARTE I – CINEMÁTICA
Resolução: Observando que o espaço informa a posição da partícula em relação à origem dos espaços e não necessariamente quanto ela percorreu, temos:
Em t 0 : s 0 = 20 m Em t 4 : s 4 = 20 m
Em t 1 : s 1 = 40 m Em t 5 : s 5 = 0
Em t 2 : s 2 = 60 m Em t 6 : s 6 = –20 m
Em t 3 : s 3 = 30 m
Nota:
- Não importa quanto a partícula percorreu, nem o sentido em que ela se move: o espaço informa onde ela está.
(^21) Em certo instante, um automóvel encontra-se no km 120 de
uma rodovia. Em outras palavras, o espaço do automóvel nesse instan- te é igual a 120 km. Isso signif ica que: a) o automóvel já percorreu 120 km certamente. b) o automóvel está em movimento no referido instante, no sentido da trajetória. c) o automóvel, nesse instante, está em repouso. d) o automóvel encontra-se a 120 km do km 0, medidos ao longo da trajetória. e) a distância do local em que o automóvel está até o km 0, medida em linha reta, é 120 km necessariamente.
Resposta: d
22 E.R. (^) Um automóvel parte do km 12 de uma rodovia e desloca- se sempre no mesmo sentido até o km 90. Aí chegando, retorna pela mesma rodovia até o km 20. km 20
km 12
km 90
Calcule, para esse automóvel, a variação de espaço (Δs) e a distância percorrida (d): a) na ida; b) na volta; c) na ida e na volta juntas.
Resolução: a) Na ida, do km 12 ao km 90, temos: Δs = s (^) f inal – s (^) inicial = 90 – 12 ⇒ Δs = 78 km
d = |Δs| ⇒ d = 78 km
b) Na volta, do km 90 ao km 20, temos: Δs = s (^) f inal – s (^) inicial = 20 – 90 Δs = –70 km
d = |Δs| ⇒ d = 70 km
c) No movimento de ida e volta, temos: Δs = s (^) f inal – s (^) inicial = 20 – 12 ⇒ Δs = 8 km
d = dida + dvolta = 78 + 70 ⇒ d = 148 km
(^23) Um automóvel deslocou-se do km 20 até o km 65 de uma ro- dovia, sempre no mesmo sentido. Determine a variação de espaço e a distância percorrida por ele.
Resolução:
- Δs = 65 km – 20 km = 45 km
- d = |Δs| = 45 km
Resposta: Variação de espaço: 45 km; distância percorrida: 45 km.
(^24) Um caminhão fez uma viagem a partir do km 120 de uma ro- dovia, indo sempre no mesmo sentido até o km 0. Qual a variação de espaço e qual a distância percorrida por ele?
Resolução:
- Δs = 0 km – 120 km = – 120 km
- d = |Δs| = 120 km
Resposta: Variação de espaço: –120 km; distância percorrida: 120 km.
(^25) Um caminhão parte do km 30 de uma rodovia, leva uma carga até o km 145 dessa mesma estrada e volta, em seguida, para o km 65. Determine: a) a variação de espaço do caminhão entre o início e o f inal do percurso; b) a distância percorrida pelo caminhão nesse percurso.
Resolução: a) Δs = 65 km – 30 km ⇒ (^) Δs = 35 km b) d = dida + dvolta = |Δs (^) ida | + |Δs (^) volta | d = |145 km – 30 km| + |65 km – 145 km| ⇒ (^) d = 195 km
Respostas: a) 35km; b) 195 km.
(^26) Com relação ao movimento de um ponto material numa traje- tória orientada, são feitas três af irmações: I. Se o movimento se dá no sentido da trajetória, a variação de espaço é positiva. II. Se o movimento se dá em sentido oposto ao da trajetória, a varia- ção de espaço é negativa. III. No Sistema Internacional (SI), o espaço é medido em quilômetros. Indique: a) Se apenas as af irmações I e II forem corretas. b) Se apenas as af irmações I e III forem corretas. c) Se apenas as af irmações II e III forem corretas. d) Se as três af irmações forem corretas. e) Se as três af irmações forem incorretas.
Resposta: a
(^27) A velocidade escalar média de um ônibus que se moveu sempre no mesmo sentido foi de 10 m/s, em certo intervalo de tempo. Isso signif ica que: a) o ônibus percorreu necessariamente 10 metros em cada segundo. b) o ônibus iniciou o movimento no espaço 10 m. c) é possível que o ônibus tenha percorrido 10 metros em cada segundo. d) certamente, o ônibus nunca parou durante o intervalo de tempo considerado. e) o ônibus não pode ter percorrido 15 metros em algum segundo.
Resposta: c
Tópico 1 – Bases da Cinemática escalar 5
(^28) Dois automóveis, A e B, partem num mesmo instante de uma
cidade X com destino a outra cidade Y, distante 420 km de X. O au- tomóvel A faz o percurso em 5 horas e o B, em 6 horas. Pode-se af irmar que: a) o automóvel B percorreu uma distância maior que a percorrida por A. b) a velocidade escalar média de B é maior que a de A. c) é possível que, em algum momento, B tenha sido mais veloz que A. d) A esteve sempre na frente de B. e) A e B não pararam nenhuma vez durante a viagem.
Resposta: c
(^29) Um automóvel inicia uma viagem no km 100 de uma rodovia às
10 horas da manhã (t 1 ), chegando ao km 340 às 14 horas (t 2 ).
t 1 t 2
km 0
km
km 200 (^) km 300 km 400 Calcule a velocidade escalar média do automóvel.
Resolução:
v (^) m = Δs Δt
= 340 km – 100 km 14 h – 10 h
⇒ v^ m = 60 km/h
Resposta: 60 km/h
30 E.R. (^) Um motociclista partiu do km 10 de uma rodovia às 8 horas da manhã (t 1 ) e chegou ao km 250 às 12 horas (t 2 ). Imedia- tamente, ele iniciou a viagem de volta, retornando ao km 10 às 14 horas (t 3 ). Calcule a velocidade escalar média do motociclista entre os instantes: a) t 1 e t 2 ; b) t 2 e t 3 ; c) t 1 e t 3.
Resolução: a) Entre t 1 e t 2 , temos: Δs = s 2 – s 1 = 250 – 10 ⇒ Δs = 240 km Δt = t 2 – t 1 = 12 – 8 ⇒ Δt = 4 h Então:
v (^) m = Δs Δt
=^240
⇒ v^ m = 60 km/h
Note que essa velocidade resultou positiva, pois o movimento ocorreu no sentido da trajetória. b) Entre t 2 e t 3 , temos: Δs = s 3 – s 2 = 10 – 250 ⇒ Δs = –240 km Δt = t 3 – t 2 = 14 – 12 ⇒ Δt = 2 h Então:
v (^) m = Δs Δt
⇒ v^ m = –120 km/h
Observe que essa velocidade resultou negativa, pois o movi- mento ocorreu em sentido contrário ao da trajetória. c) Entre t 1 e t 3 , temos: Δs = s 3 – s 1 = 10 – 10 ⇒ Δs = 0 Δt = t 3 – t 1 = 14 – 8 ⇒ Δt = 6 h Assim:
v (^) m = Δs Δt
=^0
⇒ (^) v (^) m = 0
Nota:
- Esse resultado costuma decepcionar as pessoas que esperam da Física uma utilidade prática. De fato, não é esse cálculo que interes- sa fazer na prática, mas sim outro, que é o quociente da distância percorrida realmente pelo motociclista (480 km: 240 km na ida mais 240 km na volta) pelo intervalo de tempo (6 h). Entretanto, o tratamento matemático que estamos destinando ao es- tudo do movimento é útil e facilita a resolução de muitos problemas reais. Convém dizer, ainda, que esse resultado, estranho do ponto de vista prático, é normal do ponto de vista matemático: uma grandeza que é positiva durante um intervalo de tempo e negativa num outro intervalo pode ter valor médio nulo no intervalo de tempo total.
(^31) Um automóvel parte do km 73 da Via Anhanguera às 6 h 45 min e chega ao km 59 às 6 h 55 min. Calcule a velocidade escalar média do automóvel nesse percurso, em km/h.
Resolução: Δs = 59 km – 73 km = – 14 km Δt = 6 h 55 min – 6 h 45 min = 10 min =^1 6
h
v (^) m = Δs Δt
= – 14 km 1 6
h
⇒ v^ m = – 84 km/h
Resposta: – 84 km/h
(^32) O motorista de uma transportadora recebe seu caminhão e sua respectiva carga com a incumbência de levá-la a um local distante 340 km por rodovia, tendo 6 h de prazo. Após ter percorrido 130 km em 2 h 15 min, teve um pneu estourado, que levou 45 min para ser troca- do. Qual deve ser a velocidade média a ser desenvolvida no restante do percurso para a carga chegar no horário?
Resolução: Restam 210 km para serem percorridos em 3 h: v (^) m = Δs Δt
= 210 km 3 h
⇒ v^ m = 70 km/h
Nota:
- Quando não temos informação do sentido do movimento em relação à orientação da trajetória, deixamos o resultado em módulo. Fazemos o mesmo quando a trajetória não está orientada.
Resposta: 70 km/h
(^33) Caminhando por uma avenida da cidade, um rapaz percorreu 6 quarteirões em 40 minutos. Sabendo que o comprimento de cada quarteirão, medido do centro de uma rua transversal ao centro da rua seguinte, é de 200 m, calcule a velocidade escalar média do rapaz em m/s.
Resolução:
v (^) m = Δs Δt
= 6 · 200 m 40 · 60 s
⇒ v^ m = 0,5 m/s
Resposta: 0,5 m/s
(^34) (UEL-PR) Um homem caminha com velocidade V H = 3,6 km/h, uma ave, com velocidade VA = 30 m/min e um inseto, com velocidade VI = 60 cm/s. Essas velocidades satisfazem a relação: a) VI > VH > VA. c) VH > VA > VI. e) VH > VI > VA. b) VA > VI > VH. d) VA > VH > VI.
Tópico 1 – Bases da Cinemática escalar 7
velocidade escalar média de ocupação do continente americano pelo ser humano, ao longo da rota desenhada, foi de aproximadamente: a) 0,5 km/ano. c) 24 km/ano. b) 8 km/ano. d) 2 km/ano.
Resolução: O segmento AB cabe aproximadamente quatro vezes na rota desenhada. Então: Δs 20 000 km Δt = 10 000 anos
v (^) m = Δ Δst 2010 000000 ⇒ v^ m ^ 2 km/ano
Resposta: d
(^42) Em certo instante, o velocímetro de um automóvel indica
80 km/h. Determine sua velocidade escalar instantânea nesse instante, supondo que: a) o automóvel se movimenta no sentido em que as indicações dos marcos quilométricos da estrada são crescentes (movimento pro- gressivo); b) o movimento se dá no sentido em que as citadas indicações são decrescentes (movimento retrógrado).
Respostas: a) 80 km/h; b) – 80 km/h.
(^43) (UFC-CE) A f igura abaixo mostra o mapa de uma cidade em que as
ruas retilíneas se cruzam perpendicularmente e cada quarteirão mede 100 m. Você caminha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, até a casa de sua avó, na esquina B. Dali segue até sua escola, situada na esquina C. A menor distância que você caminha e a distância em linha reta entre sua casa e a escola são, respectivamente: a) 1 800 m e 1 400 m. b) 1 600 m e 1 200 m. c) 1 400 m e 1 000 m. d) 1 200 m e 800 m. e) 1 000 m e 600 m.
Resolução:
- Distância mínima percorrida (d (^) mín):
- Distância em linha reta (dr ):
A D
B
C
100 m
A 300 m
500 m
D
B
400 m
C 200 m
dmím = 300 m + 400 m + 500 m +
A D
B
C
100 m AC^2 = AD^2 + DC^2 AC^2 = 800^2 + 600^2
AC = 1 000 m
(^44) (UFPI) A f igura abaixo representa quatro percursos ligando as cidades A e B.
I II III IV
A B
Analise a f igura e indique a alternativa correta. a) O caminho I é menor que o II. b) O caminho II é menor que o III. c) O caminho III é menor que o IV. d) O caminho II é menor que o IV. e) Os caminhos I, II, III e IV são de igual tamanho.
Resolução: Todos os caminhos têm comprimentos iguais à soma (a + b) dos cate- tos do triângulo retângulo a seguir:
A B
a b
Resposta: e
(^45) Um avião percorre 1 920 km em 1 hora e 20 minutos. Considere a velocidade do som no ar igual a 340 m/s. Calcule a velocidade escalar média do avião nesse percurso, em m/s, e verif ique se ele é ou não supersônico.
Resolução: Δs = 1 920 km = 1 920 000 m Δt = 1 h + 20 min = 4 800 s
v (^) m = Δs Δt
=^1 920
⇒ v^ m = 400 m/s^ (é supersônico)
Resposta: 400 m/s; é supersônico
(^46) (Uerj) Uma estrada recém-asfaltada entre duas cidades é percor- rida de carro, durante uma hora e meia, sem parada. A extensão do percurso entre as cidades é de, aproximadamente: a) 10 3 m. b) 10^4 m. c) 105 m. d) 10^6 m.
Resolução: Tratando-se de uma estrada em boas condições, podemos estimar a velocidade do caro em cerca de 100 km/h: Δs = v (^) m · Δt = 100 · 1, Δs = 150 km = 1,5 · 10^5 m A potênica de dez que melhor se aproxima do resultado é 10^5 m.
Resposta: c
(^47) Numa pista de corrida de 6 km de extensão, um carro desenvol- ve velocidades de até 250 km/h nas retas e de cerca de 180 km/h nas curvas. Sabendo que ele gasta 3,6 minutos para dar duas voltas com- pletas, responda: qual a velocidade escalar média nessas duas voltas em km/h?
Resposta: c
8 PARTE I – CINEMÁTICA
Resolução:
v (^) m = Δs Δt
= 2 · 6 km 3, 60
h
⇒ v^ m = 200 km/h
Resposta: 200 km/h
(^48) (UFC-CE) Um motorista lançou, no gráf ico mostrado abaixo, a
distância por ele percorrida (medida em km), em função do consumo de combustível (medido em litros) de seu veículo. Sobre o desempe- nho médio do veículo (def inido pela razão distância percorrida/litro consumido) podemos af irmar:
- foi melhor nos primeiros 600 km percorridos;
- entre 600 km e 1 090 km percorridos, foi de 7 km/litro;
- foi superior a 9 km/litro no percurso representado pelos 1 090 km mostrados no gráf ico;
- no percurso total, é a média aritmética dos desempenhos médios mencionados acima, nos itens 1 e 2. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas.
(^050 )
1 090
Distância (km)
Consumo (litros)
600
Resolução:
- Nos primeiros 600 km: 600 km 50 L
= 12 km/L
- Entre 600 km e 1 090 km: 490 km 70 L
= 7 km/L
- No percurso total: 1 090 km 120 L
9,1 km/L
Resposta: 07
(^49) (UFJF-MG) Um ônibus, partindo da cidade de Juiz de Fora, per-
corre uma distância de 550 km numa viagem até a cidade de São Pau- lo. Durante essa viagem, o ônibus faz uma parada de 45 minutos na cidade de Rezende, que dista 217 km da cidade de Juiz de Fora. No primeiro trecho, antes da parada, a viagem durou 3 horas e 30 minutos. No segundo trecho, depois da parada, a viagem durou 3 horas. Os valores aproximados das velocidades escalares médias do ônibus no primeiro trecho, no segundo trecho e na viagem completa são, respectivamente: a) 111 km/h, 62 km/h, 76 km/h. d) 111 km/h, 62 km/h, 85 km/h. b) 62 km/h, 111 km/h, 85 km/h. e) 111 km/h, 62 km/h, 90 km/h. c) 62 km/h, 111 km/h, 76 km/h.
Resolução:
R
Parada de 45 min (0,75 h)
Vm 1 Δt 1 = 3,5 h Δs 1 = 217 km
Vm 2 Δt 2 = 3 h JF (^) Δs 2 = 333 km SP
Δs (^1) Δt (^1)
= 217 km 3,5 h
⇒ v^ m 1 = 62 km/h
Δs (^2) Δt (^2)
= 333 km 3 h
⇒ v^ m 2 = 111 km/h
= 550 km 7,25 h
⇒ v (^) m 76 km/h
Resposta: c
(^50) (UFF-RJ) Inaugurada em 1974, a Ponte Presidente Costa e Silva, mais conhecida como Ponte Rio–Niterói, foi projetada para receber pouco mais de 50 mil veículos por dia. Hoje, recebe cerca de 120 mil, de modo que na hora de maior movimento sempre ocorre grande congestionamento. Considere que um estudante do Rio, vindo para a UFF, percorra os primeiros 7 km da ponte com uma velocidade escalar constante de 70 km/h e gaste 20 minutos para atravessar os 6 km restantes.
Thor Unamar
Supondo-se que na volta ele gaste 10 minutos para atravessar toda a ponte, é correto af irmar que a velocidade escalar média na vinda e a velocidade escalar média na volta têm módulos, em km/h, respectiva- mente, iguais a: a) 30 e 78. c) 30 e 130. e) 88 e 78. b) 44 e 78. d) 44 e 130.
Resolução:
- Na vinda: V 1 = 70 km/h Δs 1 = 7 km Δt 1 = h
Rio UFF
1 10
Δs 2 = 6 km Δt 2 = 20 min = 1 h 3
v (^) m = 7 km + 6 km 1 10
h +^1 3
h
= 13 km 13 10
h
⇒ v^ m = 30 km/h^ (em módulo)
v (^) m = 13 km 1 6
h
⇒ v^ m = 78 km/h^ (em módulo)
Resposta: a
51 E.R. (^) Sobre uma reta orientada, são dados ordenadamente os pontos A, B e C, tais que AB = BC = d.
d d
A B C
Um ponto material move-se nessa reta com velocidade escalar média v 1 de A a B e com velocidade escalar média v 2 de B a C. Determine a velocidade escalar média desse ponto material de A a C.
Resolução: De A a B, temos:
10 PARTE I – CINEMÁTICA
Enunciado para as questões 58 e 59. Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típico de um corredor- padrão é representado pelo seguinte gráf ico:
Tempo (s)
Velocidade
(m/s)
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16
(^58) (Enem) Baseado no gráf ico, em que intervalo de tempo a velo-
cidade do corredor é aproximadamente constante? a) Entre 0 e 1 segundo. d) Entre 8 e 11 segundos. b) Entre 1 e 5 segundos. e) Entre 12 e 15 segundos. c) Entre 5 e 8 segundos.
Resposta: c
(^59) (Enem) Em que intervalo de tempo o corredor apresenta acele-
ração máxima? a) Entre 0 e 1 segundo. d) Entre 8 e 11 segundos. b) Entre 1 e 5 segundos. e) Entre 9 e 15 segundos. c) Entre 5 e 8 segundos.
Resolução: Considerando intervalos de tempo de 1 s, a máxima variação da veloci- dade escalar ocorre entre 0 e 1 s.
Resposta: a
(^60) Responda se os movimentos das bolinhas são acelerados, re-
tardados ou uniformes, sabendo que o intervalo de tempo entre duas posições consecutivas é sempre o mesmo e que, nos itens a, b e c, as bolinhas se movem para a direita.
a)
b)
c)
d) e)
- Em t 2 = 7 s ⇒ v 2 = 3(7)^2 + 7 ⇒ v 2 = 154 m/s. A aceleração escalar média é dada por:
αm =
v 2 – v (^1)
Assim: t^2 – t^1
αm = 154 – 10 7 – 1
⇒ αm = 24 m/s 2
(^62) Um móvel tem sua velocidade escalar instantânea (v) variando com o tempo (t), conforme a função: v = t^2 – 4t (SI) Calcule sua aceleração escalar média entre os instantes: a) 0 e 4 s; b) 1 s e 5 s.
Resolução: a) v 0 = 0 v 4 = 4^2 – 4 · 4 ⇒ v 4 = 0
αm = Δv Δt
⇒ αm = 0
b) v 1 = 1^2 – 4 · 1 ⇒ v 1 = – 3 m/s
v 5 = 5^2 – 4 · 5 ⇒ v 5 = 5 m/s
αm = Δv Δt
⇒ αm = 2 m/s 2
Respostas: a) Zero; b) 2 m/s 2
(^63) Com relação ao movimento variado, são feitas as seguintes af irmações:
- No movimento acelerado, a velocidade escalar instantânea é sempre crescente com o tempo.
- No movimento acelerado, o módulo da velocidade escalar instan- tânea é sempre crescente com o tempo.
- No movimento retardado, a velocidade escalar instantânea é sempre decrescente com o tempo.
- No movimento retardado, o módulo da velocidade escalar instan- tânea é sempre decrescente com o tempo.
- Um movimento uniforme pode ter aceleração escalar diferente de zero. Dê como resposta a soma dos números associados às af irmações corretas.
Resolução: Por ser uma grandeza dotada de sinal, a velocidade escalar pode ser decrescente e seu módulo, crescente. Do mesmo modo, ela pode ser crescente e seu módulo, decrescente. Soma 10.
Resposta: 10
(^64) Um corpo desloca-se numa trajetória orientada, sempre num mesmo sentido. Durante certo intervalo de tempo, o corpo vai de um ponto M até um ponto N com velocidade escalar média v 1. Durante um novo intervalo de tempo, igual ao anterior, ele vai do ponto N até um ponto Q com velocidade escalar média v 2. a) Determine, em função de v 1 e v 2 , a velocidade escalar média do cor- po no percurso de M a Q. b) Sendo MQ o deslocamento escalar no percurso total, determine, em função de v 1 , v 2 e MQ, o deslocamento escalar MN, de M a N.
Respostas: a) Uniforme; b) Acelerado; c) Retardado; d) Retardado na subida e acelerado na descida; e) Uniforme.
61 E.R. (^) A velocidade escalar instantânea (v) de um ponto mate- rial varia com o tempo (t), conforme a função v = 3t^2 + 7, válida no SI. Calcule a aceleração escalar média desse ponto entre os instantes 1 s e 7 s.
Resolução: Calculemos as velocidades escalares nos instantes 1 s e 7 s:
- Em t 1 = 1 s ⇒ v 1 = 3(1)^2 + 7 ⇒ v 1 = 10 m/s;
Tópico 1 – Bases da Cinemática escalar 11
v (^) m AB
3 v 1 v 2 v (^3) (v 1 v 2 + v 1 v 3 + v 2 v 3 )
Resposta:
3 v 1 v 2 v (^3) (v 1 v 2 + v 1 v 3 + v 2 v 3 )
(^67) Para multar motoristas com velocidade superior a 90 km/h, um guarda rodoviário aciona seu cronômetro quando avista o automó- vel passando pelo marco A e faz a leitura no cronômetro quando vê o veículo passar pelo marco B, situado a 1 500 m de A. Um motorista passa por A a 144 km/h e mantém essa velocidade durante 10 segun- dos, quando percebe a presença do guarda. Que velocidade média ele deverá manter em seguida para não ser multado?
Resolução:
400 m 1 100 m 1 500 m
A 144 km/h = 40m/s B
90 km/h = 25 m/s Para não ser multado: vm 25 m/s
v (^) m = Δs Δt
Δt
25 ⇒ Δt 60 s
Gastando 10 s em um percurso de 400 m, restam 1 100 m para serem percorridos em 50 s ou mais. v (^) m (^) máx = Δs Δt
= 1 100 m 50 s
= 22 m/s = 79,2 km/h
v (^) m 79,2 km/h
Resposta: 79,2 km/h
(^68) (Fuvest-SP) Diante de uma agência do INPS, há uma f ila de apro- ximadamente 100 m de comprimento, ao longo da qual se distribuem de maneira uniforme 200 pessoas. Aberta a porta, as pessoas entram, durante 30 s, com uma velocidade média de 1 m/s. Avalie: a) o número de pessoas que entraram na agência; b) o comprimento da f ila que restou do lado de fora.
Resolução: a) Vamos calcular, inicialmente, o número n de pessoas por metro de f ila: n =
200 pessoas 100 metros
⇒ n = 2 pessoas metro Sendo ΔL o comprimento de f ila que adentra a agência do INPS, tem-se que: v = ΔL Δt
⇒ ΔL = v Δt = 1 · 30
ΔL = 30 m O número N de pessoas correspondente a ΔL é dado por:
N = n ΔL ⇒ N = 2 · 30 ⇒ N = 60 pessoas
b) O comprimento ΔL’ da f ila que restou do lado de fora é dado pela diferença: ΔL’ = 100 – ΔL ⇒ ΔL’ = 100 – 30 ⇒ ΔL’ = 70 m
Respostas: a) 60 pessoas; b) 70 m
Resolução: a) M v (^1) Δt
N v 2 Q Δt Temos: Δs (^) MN = v 1 Δt e Δs (^) NQ = v 2 Δt Assim: Δs (^) MQ = (v 1 + v 2 ) Δt e Δt (^) MQ = 2 Δt Então:
v (^) m MQ
Δs (^) MQ Δt (^) MQ
(v 1 + v 2 ) Δt 2 Δt
⇒ v (^) m MQ
v 1 + v (^2) 2
b) Sendo 2T o tempo total de percurso, temos: MN = v 1 T (I)
v (^) m MQ
= MQ
2T
v 1 + v (^2) 2
⇒ T = MQ
v 1 + v (^2)
(II)
Substituindo (II) em (I):
MN =
v (^1) v 1 + v (^2)
· MQ
Respostas: a)
v 1 + v (^2) 2
; b)
v (^1) v 1 + v (^2)
· MQ
(^65) (ITA-SP) Um motorista deseja per fazer a distância de 20 km com
velocidade escalar média de 80 km/h. Se viajar durante os primeiros 15 minutos com velocidade de 40 km/h, é possível concluir o percurso como se pretendia?
Resolução: Se o motorista deseja que a velocidade escalar média seja de 80 km/h em um percurso de 20 km, deverá fazê-lo em um intervalo de tempo Δt dado por:
v (^) m = Δs Δt
⇒ Δt = Δs v (^) m
=^20
⇒ Δt =^1 4
h = 15 min
Se gastar esses 15 minutos a 40 km/h, percorrerá apenas 10 km. Assim, terá de percorrer os outros 10 km sem gastar tempo al- gum, o que é um absurdo.
Resposta: Não.
(^66) Uma partícula desloca-se do ponto A até o ponto B. A B
Na primeira terça parte do percurso, sua velocidade escalar média vale v 1 ; na segunda terça parte, vale v 2 , e na terceira, v 3. Determine a veloci- dade escalar média no percurso total de A até B.
Resolução: A (^) d C D B v 1 v 2 v 3
d d
Δt (^) AC = d v (^1)
Δt (^) CD = d v (^2)
Δt (^) DB = d v (^3) De A a B, temos: Δs (^) AB = 3d
Δt (^) AB = d v (^1)
d (v 1 v 2 + v 1 v 3 + v 2 v 3 ) v 1 v 2 v (^3)
v (^) m (^) AB=
Δs (^) AB Δt (^) AB
= 3 d d (v 1 v 2 + v 1 v 3 + v 2 v 3 ) v 1 v 2 v (^3)
Tópico 1 – Bases da Cinemática escalar 13
(^73) Os espaços s de uma partícula variam com o tempo t, de acordo
com a função:
s = 4t 2 – 2t (SI)
Determine: a) a função horária da velocidade escalar instantânea; b) a velocidade escalar no instante 5 s.
Resolução: a) • s = 4t 2 – 2t
- s’ = 4t’^2 – 2t’
- v (^) m = s’ – s t’ – t
= 4(t’
(^2) – t 2 ) – 2 (t’ – t) t’ – t
v (^) m = 4 (t’ + t) (t’ – t) – 2 (t’ – t) (t’ – t)
⇒ v (^) m = 4 (t’ + t) – 2
Fazendo t’ tender a t, vem:
v = 4 (t + t)– 2 ⇒ v = 8 t – 2 (SI)
b) v = 8 · 5 – 2 ⇒ v = 38 m/s
Resposta: a) v = 8t – 2 (SI); b) 38 m/s
74 E.R. (^) A função horária do espaço referente ao movimento de uma partícula é s = 5t^3 – 6t, válida no SI. Determine: a) a função horária da velocidade escalar instantânea; b) a velocidade escalar no instante 2 s; c) a função horária da aceleração escalar instantânea; d) a aceleração escalar no instante 2 s.
Resolução: a) Nos instantes genéricos t e t’, com t’ maior que t, temos os espa- ços s e s’, respectivamente:
s = 5t 3 – 6t e s’ = 5t’^3 – 6t’ Então:
v (^) m = s’ – s t’ – t
= (5t’
(^3) – 6t’) – (5t (^3) – 6t) t’ – t
v (^) m = 5(t’
(^3) – t 3 ) – 6(t’– t) t’ – t
= 5(t’– t)(t’
(^2) + t’t + t (^2) ) – 6(t’ – t) t’ – t
v (^) m = 5(t’^2 + t’ t + t^2 ) – 6 Fazendo t’ tender a t, obtemos:
v = 5(t 2 + t t + t^2 ) – 6 ⇒ v = 15t 2 – 6 (SI)
b) Para t = 2 s:
v = 15 · 2^2 – 6 ⇒ v = 54 m/s
c) Nos instantes genéricos t e t’, com t’ maior que t, temos as velo- cidades escalares v e v’, respectivamente: v = 15t 2 – 6 e v’ = 15t’^2 – 6 Então:
αm = v’ – v t’ – t
= (15t’
(^2) – 6) – (15t (^2) – 6) t’ – t
αm =
15(t’^2 – t 2 ) t’ – t
15(t’ + t) (t’ – t) t’ – t
= 15(t’ + t)
Fazendo t’ tender a t, obtemos:
α = 15(t + t) ⇒ α = 30t (SI)
d) Para t = 2 s:
α = 30 · 2 ⇒ α = 60 m/s 2
Nota:
- A obtenção das funções horárias da velocidade e da aceleração escala- res instantâneas, a partir da função horária do espaço, seria muito mais simples se fosse conhecida uma operação matemática denominada derivada. Por isso, para esse caso particular, vamos apresentá-la sem, entretanto, demonstrar o resultado. Seja f uma função do tempo t. O limite de Δf Δt
, quando Δt tende a zero,
chama-se derivada de f em relação ao tempo e é simbolizado por df dt
.
Assim, temos: lim Δf Δt
= df Δt → 0 dt
Se f for função do tipo f(t) = a tn^ , com a e n constantes, a derivada de f em relação a t será: df dt
= a n tn – 1
Lembrando as def inições da velocidade escalar instantânea e da acele- ração escalar instantânea, podemos escrever:
v = ds dt
e α = dv dt Vamos resolver novamente os itens a e c do exercício 75 de modo mui- to mais prático, por meio da derivada:
s = 5t 3 – 6t 1 (SI)
a) v = ds dt
= 5 · 3 · t3 – 1^ – 6 · 1 · t1 – 1^ ⇒ v = 15t 2 – 6t 0 = 15t 2 – 6 (SI)
c) α = dvdt = 15 · 2 · t2 – 1^ – 6 · 0 · t0 – 1^ ⇒ α = 30t (SI)
Você pode fazer o mesmo com relação aos exercícios 72, 73 e 75.
(^75) A velocidade escalar instantânea de um móvel varia com o tem- po, conforme a função v = 5t 2 + 4, válida no SI. Determine: a) a função horária da aceleração escalar instantânea; b) a aceleração escalar no instante 4 s.
Resolução: a) No instante t : v = 5t 2 + 4 No instante t’: v’ = 5t’^2 + 4
αm = v’ – vt’ – t = 5t’
(^2) + 4 – 5t 2 – 4 t’ – t =^
5 (t’ + t) (t’ – t) t’ – t αm = 5 (t’ + t) α = limt’ → t αm = 5 (t + t) ⇒ α = 10 t (SI)
b) Em t = 4 s, temos: α = 10 · 4
α = 40 m/s 2
Respostas: a) α = 10 t; b) 40 m/s 2
