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Circuitos elétricos em regime de corrente contínua:
2. O Método O exemplo a seguir é explicado passo a passo para o entendimento deste método. O objetivo é calcular as correntes e tensões de todos os componentes do circuito. Circuito 1
1ª redução: associação em paralelo dos resistores de 20 Ω e 80 Ω: Req1= 16 Ω Circuito 2
2ª redução: associação em série dos resistores de 16 Ω e 34 Ω: Req2= 50 Ω Circuito 3
3ª redução: associação em paralelo dos dois resistores de 50 Ω: Req3= 25 Ω Circuito 4
Até esta redução já é possível calcular I1, V2 e V3: I1 =V1 = 1 A 75+ V2 = 75 x 1 = 75 V V3 = 25 x 1 = 25 V Uma sugestão é utilizar a Lei das Tensões de Kirchhoff para verificar estes valores: V1=V2+V3. O próximo passo é retonar ao V4 = 34 x I3 = 34 x 0,5 = 17 V
. Como V3 já é conhecido, é possível encontrar I2 e I3 : I2 = V3 = 0,5 A 50 I3 = V3 = 0,5 A 50 Utilizando a Lei das Correntes de Kirchhoff para verificar estes valores: I1=I2+I3. Com estes valores conhecidos, voltamos ao Circuito 2 e calculamos V4 e V5 :
V4 = 34 x I3 = 34 x 0,5 = 17 V V5 = 16 x I3 = 16 x 0,5 = 8 V Utilizando a Lei das Tensões de Kirchhoff para verificar estes valores: V3=V4+V5. E para concluir, voltamos ao circuito original Circuito 1 para calcular I4 e I5 : I4 = V5 = 0,4 A 20 I5 = V6 = V5 = 0,1 A 80 80 Utilizando a Lei das Correntes de Kirchhoff para verificar estes valores: I3=I4+I5. 2º Exemplo: Calcular as tensões e correntes dos componentes do circuito:
1ª redução: Req1=50+10=60 Ω
Circuito 2
2ª redução: resistores de 40 Ω, 60 Ω e 26 Ω em paralelo: Req2=12,5 Ω
Circuito 3
V1=V2=12,5 x 5 = 62,5 V Retornando ao Circuito 2 : I2 = V1 = 2,4 A 26 I4 = V2 = 1,56 A 40 I5 = V2 = 1,04 A 60
E retornando ao Circuito 1 : V3=50 x 1,04 = 52,0 V V4=10 x 1,04 = 10,4 V
Vj => Soma das tensões das fontes da malha j, ou por onde passa a corrente de malha Imj.
Se Imj circula do “-“ para o “+” da fonte, o valor da tensão desta fonte entra com valor positivo,
caso contrário negativo. A primeira matriz, das resistências, é uma matriz quadrada de n x n onde n é o número de malhas internas do circuito. As matrizes das correntes de malha e das tensões são matrizes 1 x n.
Exemplo : calcular todas as correntes e tensões dos resistores do circuito a seguir, utilizando o Método das Correntes de Malha:
Resolução: O primeiro passo é verificar o número de malhas internas: no exemplo são 3. A seguir marca-se as 3 correntes de malha, adotando-se qualquer sentido para cada uma delas (horário ou anti-horário):
O próximo passo é montar o sistema de equações em forma de matrizes: R11 = 60 + 50 + 30 = 140 Ω R12 = 30 Ω R13 = -50 Ω R21 = 30 Ω R22 = 30 + 40 + 50 = 120 Ω R23 = 0 R31 = -50 Ω R32 = 0 R33 = 50 + 60 = 110 Ω
Im1, Im2 e Im3 são as incógnitas. V1 = 120 – 100 = 20 V V2 = 120 – 80 = 40 V V3 = -90 – 80 = -170 V
140 30 -50 Im1 20 30 120 0 x Im2 = 40 -50 0 110 Im3 -
Aplicando o método de Cramer: Determinante da matriz das resistências: ΔR = 1.449.
Δ1 = -888.000, Im1 = -888000_ = -0,613 A 1449000
Δ2 = 705.000, Im2 = 705000 = 0,487 A 1449000
Δ3 = -2.643.000, Im3 = -2643000 = -1,824 A 1449000 Determinadas as correntes das malhas Im1, Im2 e Im3 , o próximo passo é determinar as correntes dos ramos:
I1 = -Im1 = 0,613 A
I2 = -Im1-Im2 = 0,613 – 0,487 = 0,126 A
I3 = Im2 = 0,487 A
I4 = Im1-Im3 = -0,613 + 1,824 = 1,211 A
A primeira matriz, das condutâncias, é uma matriz quadrada de n x n onde n é o número de nós menos um. As matrizes das correntes de malha e das tensões são matrizes 1 x n.
Exemplo : calcular todas as correntes e tensões dos resistores do circuito a seguir, utilizando o Método das Tensões nos Nós:
Resolução: São 3 nós neste circuito. Escolhe-se o nó de referência e numera-se os demais nós conforme indicado no circuito. Marcar as tensões dos nós V1 e V2 a partir do nó 0:
O próximo passo é montar o sistema de equações em forma de matrizes:
V1 e V2 são as incógnitas.
0,065 -0,02 X V 1 = 3
-0,02 0,095 V 2 6
Aplicando o método de Cramer: Determinante da matriz das condutâncias: ΔG =0,
Δ1 = 0,005775 => V1 = 0,405 _ = 70,5 V
Δ2 = 0,45 => V2 = 0,45 _ = 77,9 V
Determinadas as tensões nos nós segue-se determinando as tensões e correntes no elementos do circuito aplicando-se a Lei de Ohm e as leis de Kirchhoff.
Va = V1 = 70,1 V Vb = 120-V1 = 49,9 V Vc = V2-V1 = 7,8 V Vd = V2 = 77,9 V Ve = 120-V2 = 42,1 V
I1=Va/50 = 1,402 A I2=Vc/50 = 0,156 A I3=Vb/40 = 1,248 A I4=Vd/40 = 1,948 A I5=Ve/20 = 2,105 A Os teoremas de Thévenin e Norton permitem reduzir um circuito linear em uma fonte e uma resistência em relação a dois pontos do circuito.
2. Teorema de Thévenin Uma rede linear com fontes de tensão e fontes de correntes e reistências pode ser reduzida a uma fonte de tensão em série com uma resistência:
Onde VTH é a Tensão de Thévenin (Fonte de Thévenin) e RTH é a resistência de Thévenin. Estes valores são obtidos através dos seguintes procedimentos:
- Tensão de Thévenin
- resolver o circuito de maneira a determinar o valor da tensão entre os pontos a e b. Esta tensão é VTH (VTH = Vab)
- Resistência de Thévenin
Onde IN é a corrente de Norton (fonte de Norton) e RN é a resistência de Norton. Para a determinação de IN, liga-se os pontos a e b e calcula-se a corrente que passa por estes pontos. Esta corrente é a corrente de Norton. Para a determinação de RN procede-se da mesma forma que se determina a resistência de Thévenin (RTH). Em outras palavras RN=RTH. Utilizando o mesmo circuito do exemplo do Teorema de Thévenin, visto anteriomente:
Utilizando um dos métodos conhecidos determina-se IN=0,536 A. A resistência de Norton é a mesma que de Thévenin, ou seja, RN= 30,5 Ω. Circuito equivalente de Norton:
Observação: para um mesmo circuito são válidas as seguintes relações:
Estas relações podem ser facilmente comprovadas no circuito utilizado como exemplo nos Teoremas de Thévenin e Norton.
