Circuitos Magnéticos Apo, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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C I R C U I T O S

C I R C U I T O S

M A G N É T I C O S

M A G N É T I C O S

PEA 2290

P rof. D r. José R oberto Cardoso

VI – MAGNETOSTÁTICA

VI.1 INTRODUÇÃO

Talvez um dos dias mais importante da humanidade, foi aquele em que Hans

Christian Oersted, professor da Universidade de Copenhagen, descobriu em

1820, durante uma aula de laboratório de circuitos elétricos, a ligação entre o

Magnetismo e a Eletricidade, contrariando as previsões, muito convincentes

de Coulomb, que estas ciências não poderiam interagir.

A publicação de suas experiências, em latim clássico, provocou uma explosão

de atividades científicas na ocasião.

Outros pesquisadores, como Ampère e Henry perceberam que esta descoberta

colocava o Eletromagnetismo, nome dado a esta nova ciência, numa posição

tal que poderia mudar o mundo de forma tão abrangente como aquela

produzida pela máquina a vapor. Isto foi confirmado pouco tempo depois com

a invenção do motor elétrico.

O grande passo para aquele objetivo foram os estudos subseqüentes

envolvendo a produção de campos magnéticos em estruturas ferromagnéticas,

as quais, devido à alta permeabilidade daqueles materiais, possibilitaram o

estabelecimento de campos magnéticos elevados.

A primeira aplicação das estruturas ferromagnéticas foi à construção dos

eletroímãs, cuja primeira demonstração de seu funcionamento ocorreu em 23

de Maio de 1825 na Royal Society of Arts por seu criador William Sturgeon.

Utilizando uma barra cilíndrica de ferro curvada e envernizada, Sturgeon a

envolveu com uma bobina condutora de fios não isolados, conseguindo

levantar uma massa de 3600 gramas. Foi um feito brilhante para o seu tempo.

Para sua infelicidade, James Prescott Joule estava entre seus alunos, o qual

observando o trabalho do mestre, identificou alguns erros e reconstruiu o

eletroímã, conseguindo levantar, com a mesma estrutura, uma massa de 20 kg.

O erro de Sturgeon foi ter utilizado na confecção do eletroímã fios condutores

não isolados, diminuindo em muito a eficiência da bobina.

Inconformado em ter sido superado por um discípulo, Sturgeon construiu em

1830 um eletroímã capaz de levantar 550 kg, corrigindo os defeitos do

primeiro.

Mas nesta altura dos acontecimentos ele já tinha um rival do outro lado do

Atlântico, Joseph Henry da Universidade de Yale. Henry construiu um

eletroímã de apenas 300 kg capaz de levantar uma tonelada.

Em 1840, Joule novamente, construiu um novo tipo de eletroímã

completamente diferente dos anteriores, o qual possuía mais de dois pólos,

que aumentou em muito a capacidade de levantamento. Este eletroímã, de

proporcional ao campo impresso e varia inversamente com a temperatura

absoluta. Exemplos de substâncias ferromagnéticas: Fe, Co, Ni.

A propriedade física dos materiais que caracteriza o comportamento

magnético de uma substância é a sua permeabilidade magnética, representada

pela letra grega (mi), a qual no sistema internacional tem a dimensão

Henry/metro. Na engenharia elétrica, a menor permeabilidade é aquela

apresentada pelo ar (ou vácuo), cujo valor no SI é dado por ,

evidenciando a dificuldade do estabelecimento de campos magnéticos no ar,

como veremos a seguir.

μ

7 0 H m

− μ = π

A permeabilidade dos materiais diamagnéticos e paramagnéticos difere

muito pouco da permeabilidade do ar, de modo que para estes materiais

podemos considerar.

μ

μ = μ 0

Por outro lado, a permeabilidade magnética nem sempre é uma grandeza

escalar. Nos materiais ditos “ anisotrópicos” , nos quais o campo magnético B

ρ

não está alinhado com o vetor intensidade magnética H

ρ

esta grandeza é

representada por um tensor.

Materiais sólidos sob esforços, ferro ou aço que sofreram processos mecânicos

e também os cristais, apresentam esta propriedade.

ρ ρ

Num material ferromagnético, embora B e H tenham a mesma direção, não

são grandezas diretamente proporcionais, visto que a permeabilidade deste

material é função do campo magnético

μ

B

ρ

. Acrescenta-se ainda o fato de que

nos materiais ferromagnéticos os valores da permeabilidade relativa

μ R =μ/ μ 0 podem, dependendo do material, ser elevados.

A relação entre B

ρ

e H

ρ

para um material ferromagnético é conhecida como

curva de magnetização, e será discutida nos próximos itens.

VI.3 CIRCUITO MAGNÉTICO

Para o entendimento do conceito de circuito magnético, vamos calcular o

fluxo magnético produzido no interior de um toróide por uma bobina de N

espiras percorrida por uma corrente contínua I, como mostrado na Fig. VI-1:

a

b

r

i

d

Fig. VI-1 Campo produzido no toróide

Na mesma figura, está mostrada também a geometria das linhas de campo

magnético, com seu respectivo sentido obtido a partir da aplicação da regra da

mão direita ao sentido da corrente elétrica.

A própria geometria do problema permite concluir que a amplitude do vetor

intensidade magnética , sobre qualquer linha de campo no interior do

toróide é constante, apenas sua direção é diferente ao longo da linha de

campo, na medida em que este vetor, em cada ponto desta linha de campo, é

tangente a ela.

→ H

A determinação da amplitude do vetor intensidade magnética é obtida a partir

da segunda equação de Maxwell, não considerando a presença da corrente de

deslocamento, na medida em que o enrolamento do toróide é alimentado por

corrente contínua, isto é:

∫ ∫

C S

H dl JdS

Escolhendo uma linha de campo de raio como sendo o contorno C da

do primeiro membro da equação 6.1, o segundo membro da mesma equação,

correspondente a corrente concatenada com o referido contorno, será igual ao

produto , denominado força magneto-motriz ( da bobina. Assim

podemos escrever:

a < r < b

Ni (^) Fmm )

Nestas condições, a variação do campo magnético no interior do toróide não é

sensível, e por esta razão o campo magnético pode ser considerado

“praticamente” constante no seu interior.

Podemos então tomar as seguintes decisões:

1. Considerar o campo magnético no interior do toróide constante e igual

ao seu valor máximo obtido em r = a , isto é:

a

Ni B π

μ

2

2. Considerar o campo magnético no interior do toróide constante e igual

ao seu valor mínimo obtido em r = b , isto é:

b

Ni B π

μ

2

= ou,

3. Considerar o campo magnético no interior do toróide constante e igual a

um valor intermediário entre seus valores máximo e mínimo.

Não resta dúvida que a última decisão é a mais razoável, na medida em que é

aquela que levará a um menor erro de aproximação.

É razoável também, escolher como constante o valor do campo magnético no

interior do toróide aquele obtido no raio médio do dispositivo, isto é,

B = B ( rMED ), no qual rMED =( a + b )/ 2.

Assim sendo, para todos os efeitos, o campo magnético na seção transversal

do toróide será constante é igual a:

r MED

Ni B π

μ

2

O fluxo magnético φ através da seção transversal do dispositivo é dado por:

BdS

S

∫

Como as linhas de campo magnético são perpendiculares à seção transversal e

o seu valor é constante nesta mesma seção, a equação (6.8) pode ser escrita

como segue:

φ = B. S (6.9)

Substituindo-se B pelo seu valor indicado em (6.7), resulta:

r MED

NiS

π

μ φ 2

Ou ainda,

S

l

Ni

μ

φ 1

Na qual l , representa o comprimento médio das linhas de campo

magnético e coincide com o comprimento médio do toróide.

= 2 π r MED

Neste ponto, é conveniente compararmos o resultado obtido em (6.10), com

aquele obtido no cálculo da corrente elétrica do circuito da Fig. VI.3.

λ

E S

I

Fig. VI.3 Circuito Elétrico

No circuito da Fig. VI.3, obtemos, a partir da Lei de Ohm:

S

l

E

I

σ

Comparando (6.10) com (6.11), identificamos as seguintes relações:

Circuito Elétrico Circuito Magnético

I :Corrente Elétrica (A) φ : Fluxo Magnético (Wb)

E :Força eletromotriz (V) F = Ni :Força magnetomotriz (Aesp)

σ :Condutividade (S/m) μ :Permeabilidade (H/m)

Tabela VI.1 – Identificação de grandezas

Dessa forma, podemos associar ao problema do cálculo do campo magnético

no interior do toróide, o seguinte circuito elétrico análogo:

S

R

λ

μ

1

φ

ℑ= N i

Fig. VI.4 Circuito Elétrico Análogo

Outras grandezas podem ser associadas entre o circuito elétrico e o circuito

magnético, são elas:

Circuito Elétrico Circuito Magnético

S

I

J = : Densidade de

Corrente Elétrica (A/m

2

S

B

φ

= : Densidade de Fluxo

Magnético (Wb/m

2

S

l R σ

= : Resistência ( Ω )

S

l

μ

ℜ = :Relutância (Aesp/Wb)

G = 1 / R :Condutância (S) Ρ = 1 / ℜ:Permeância (Wb/Aesp)

Tabela VI.2 – Identificação de grandezas

Isovalues Quantity : Equi Line/ Value 1 / -2, 2 / -2, 3 / -2, 4 / -1, 5 / -1, 6 / -1, 7 / -862, 8 / -525,

Results flux Weber 88512E- 54799E- 21086E- 87373E- 53659E- 19946E- 33066E- 19864E- 664E- 537E-

9 / -188, 10 / 149,

IsovaluesResults Quantity : Equi flux Weber Line/ Value 1 / -101,58527E- 2 / -91,47266E- 3 / -81,36006E- 4 / -71,24745E- 5 / -61,13485E- 6 / -51,02224E- 7 / -40,90963E- 8 / -30,79703E- 9 / -20,68442E- 10 / -10,57182E- 11 / 486,19739E-6 11 /^ -459,21127E-

(a) (b)

Fig. VI.6 – Linhas de campo magnético num reator

(a) Permeabilidade magnética do núcleo baixa (b) Permeabilidade magnética do núcleo elevada

Vamos admitir, até manifestações contrárias, que a permeabilidade magnética

dos núcleos é suficientemente elevada para que possamos desprezar os fluxos

de dispersão.

Dessa forma, o circuito elétrico análogo para o reator mostrado na Fig. VI-

será idêntico àquele mostrado na Fig. VI.4, sendo que para o cálculo da

relutância são utilizadas as seguintes grandezas, como mostra a Fig.VI.7:

l : Comprimento médio da estrutura;

S : Área da seção transversal de passagem do fluxo.

i

N espiras S

λ

Fig. VI.7 – Grandezas para cálculo da relutância

EXERCÍCIO 6.1: O reator mostrado na Fig. VI.8 foi construído com um

material magnético de permeabilidade relativa. A bobina de

excitação possui 200 espiras. Vamos calcular a corrente na bobina de

excitação necessária para estabelecer uma densidade de fluxo magnético

1,2Wb/m

μ R = 3000

7 H m

− π

2

. É dada a permeabilidade do vácuo μ 0 = 4 ).

i

200 espiras

5 20 5 10

20

5

5

Fig. VI.8 – Exercício 6.1 – Dimensões em cm

Solução:

A solução do problema se resume em montar o circuito elétrico análogo do

problema magnético.

Assim, para este caso temos:

l=2.(2,5+20+2,5)+2.(20-2.2,5)=80 cm ou 0,8m

S=5.10=50 cm

2

ou 50.

-

m

2

Como conseqüência resulta:

7 4 Aesp Wb S

l ℜ = = − − = μ π

Sendo , obtém-se.

2 B = 1 , 2 Wb / m B S Wb

4 4

. 1 , 2. 50. 10 60. 10

− − φ= = =

Dessa forma, o circuito elétrico análogo é dado por:

R = 42. 44 × 103 ( Aesp / ws )

wb

4 60 10

− φ= ×

ℑ= 200 i

Fig. VI.9 – Circuito elétrico análogo

Da análise do circuito da Fig. VI.9, obtemos:

Ni =ℜ φ

Substituindo pelos seus valores, obtém-se:

3 4 200 42 , 44. 10. 60. 10

− i =

ou ainda:

i = 1 , 27 A

A solução do problema, isto é, a obtenção dos fluxos magnéticos em cada

braço e a f.m.m. da bobina é obtida aplicando-se técnicas clássicas de

resolução de circuitos elétricos.

EXERCÍCIO 6.2 – A estrutura magnética da Fig. VI.12 é confeccionada de

material magnético de permeabilidade relativa. O número de espiras

da bobina de excitação é 400 espiras. Determine a f.m.m. e a corrente da

bobina para estabelecer uma densidade de fluxo magnético no braço

direito da estrutura. Obs.: todas as dimensões são expressas em cm.

μ R = 4000

2 0 , 5 Wb / m

i

400 espiras

5 20 10 5

40

5

5

30 5

φ 3

Fig. VI.12 – Estrutura magnética

Solução:

O primeiro passo na resolução do problema, consiste em montar o circuito

elétrico análogo, o qual possui a mesma geometria que a estrutura magnética.

Assim, para o problema em questão, o circuito elétrico análogo é dado por:

R 1

R 2 R 3

400 i

Fig. VI.13 – Circuito elétrico análogo

Em seguida calculamos as relutâncias de cada trecho utilizando a expressão

(6.12). Para o problema em questão resultam:

[ 2 .( 2 , 5 20 5 ) ( 40 2. 2 , 5 )]. 10

4

2

7 1

1 1 Aesp Wb S

l

−

− μ π

[( 40 2. 2 , 5 )]. 10

4

2

7 2

2 2 Aesp Wb S

l

−

− μ π

[ 2 .( 5 30 2 , 5 ) ( 40 2. 2 , 5 )]. 10

4

2

7 3

3 3 Aesp Wb S

l

−

− μ π

No braço direito da estrutura é dado , de modo que:

2 B 3 (^) = 0 , 5 Wb / m

B S Wb

4 4 3 3.^30 ,^5.^25.^1012 ,^5.^10

− − φ = = =

Da malha direita do circuito obtemos:

ℜ 2 φ 2 =ℜ 3 φ 3

De modo que:

Wb

4 3

3 4

2 78 ,^7.^10 13 , 9. 10

− φ = =

Aplicando-se a lei de Kirchoff para as correntes obtém-se:

Wb

4 1 2 3 91 ,^2.^10

− φ =φ +φ =

Aplicando-se agora a lei de Kirchoff das tensões para a malha da esquerda,

podemos escrever:

Ni =ℜ 1 φ 1 +ℜ 2 φ 2

Resultando:

fmm Ni 71 , 6. 10. 91 , 2. 10 13 , 9. 10. 78 , 7. 10 762 Aesp

3 4 3 4 = = + =

− −

e também:

A

N

fmm i 1 , 9 400

VI.5 ENTREFERROS EM ESTRUTURAS MAGNÉTICAS

Todas as estruturas magnéticas apresentam um entreferro (espaço de ar

inserido entre duas porções magnéticas) em seu circuito magnético. Este

entreferro pode ser inserido propositalmente, como ocorre nos motores e

geradores elétricos como mostrado na Fig. VI.14, ou involuntariamente devido

ao processo construtivo, como indicado na Fig. VI.15.

Fig. VI.14 – Entreferro de um motor elétrico

Neste caso, a área efetiva de passagem do fluxo magnético no entreferro é

dada por:

S g = ( X +λ g ).( Y +λ g ) (6.13)

B. Entreferro com faces paralelas e diferentes

X

Y

g

λ

Fig. VI.18 –Entreferro com faces paralelas e diferentes

Nesta condição, a área efetiva de passagem do fluxo magnético é estimada a

partir da expressão:

S g = ( X + 2 lg ).( Y + 2 lg )(6.14)

EXERCÍCIO 6.3 – A Fig. VI.19 mostra uma estrutura magnética

confeccionada com material magnético de permeabilidade relativa ,

na qual foi introduzido um entreferro de comprimento 1 mm. Todas as demais

dimensões estão em cm. Vamos calcular a corrente na bobina de excitação, a

qual possui 500 espiras, necessária para estabelecer um fluxo magnético no

entreferro de 5.

μ R = 2000

Wb

4

. 10

−

i

500 espiras

1mm

2

2

12

(^2 )

Fig. VI.19 – Estrutura magnética

Solução:

No circuito elétrico análogo desta estrutura, além da fonte de f.m.m. que

produz o campo magnético devemos inserir duas relutâncias em série; uma

relativa à porção do núcleo magnético e outra devido ao entreferro, como

mostra a Fig. VI.20.

R 1

R 2

φ

500 i

Fig. VI.20 – Circuito elétrico análogo

A partir da análise de malhas obtém-se:

Ni =( ℜ 1 +ℜ 2 ) φ (6.15)

Na qual:

Aesp Wb S

l 35 , 8. 10 /

1. 1. 10

[ 2 ( 1 6 1 ) 2 ( 12 2. 1 )]. 10

4

2

7 1

1 1 =

−

− μ π

é a relutância do núcleo e:

Aesp Wb S

l

1. 10 / ( 2 0 , 1 )( 2 0 , 1 ). 10

4

3

7 2

2

0

−

− μ π

é a relutância do entreferro.

Observe que apesar do entreferro ter apenas 1 mm , sua relutância, neste caso, é

algo em torno de 5 vezes maior que a relutância do núcleo.

Sendo Wb obtemos, a partir de (6.15):

4

1. 10

− φ = 4 4 500 ( 35 , 8 180 ) 10. 5. 10

− i = +

Resultando:

i = 2 , 16 A.