UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE – UERN
Faculdade de Ciências Exatas e Naturais – FANAT
Departamento de Matemática e Estatística - DME
A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS
Francisco André de Oliveira Neto
Mossoró-RN/2012.1
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Resolução de Problemas: Formando Cidadãos Capazes de Enfrentar Desafios Matemáticos, Provas de Matemática
Este documento discute sobre a importância de resolver problemas matemáticos desde a infância para o desenvolvimento da humanidade. O autor argumenta que a resolução de problemas é uma habilidade essencial para a vida cotidiana e para o sucesso futuro. Ele também destaca a importância de uma abordagem ativa e gradual na apresentação de problemas para os alunos, para que eles possam desenvolver confiança em suas capacidades de raciocínio e adquirirem habilidades essenciais no currículo de matemática. O documento também discute sobre a importância de um professor sólidamente capacitado para mediir o ensino da matemática e selecionar problemas interessantes para os alunos.
Tipologia: Provas
2012
1 / 10
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE – UERN
Faculdade de Ciências Exatas e Naturais – FANAT Departamento de Matemática e Estatística - DME A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS Francisco André de Oliveira Neto Mossoró-RN/ 201 2.
A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS^1
Francisco André de Oliveira Neto^2 INTRODUÇÃO Vivemos em mundo onde a resolução de problemas é uma atividade do cotidiano. É uma tarefa tão rotineira que muitas vezes não nos damos conta do que estamos fazendo: seja dando ou recebendo o troco na padaria ou no ônibus seja tendo que decidir qual refrigerante é o mais barato quando tem volumes diferentes ou ainda optar por duas vestimentas diferentes e com preços diferentes. São situações problemas que enfrentamos no dia a dia sem nos dar conta do que estamos fazendo. Hoje as nossas crianças estão resolvendo problemas que no passado, muitos só aprenderiam quando adultos e que hoje muitos adultos não entendem nada. Resolver problemas é um esporte-arte, onde o atleta precisa ser artista e o artista precisa ser atleta. O condicionamento físico de um atleta é diretamente proporcional ao seu tempo de treino e da mesma forma, a habilidade do artista é diretamente proporcional ao tempo que dedica ao desenvolvimento da sua arte. Embora os problemas com os quais entramos em contato na nossa vida cotidiana não sejam todos matemáticos ou lógicos, são de suma importância para o desenvolvimento da humanidade, e essa é a razão pela qual vamos nos deter só a eles. A importância do tema não está tanto no conhecimento matemático em geral, mas nas possibilidades que advém da sua utilização. Não desejamos formar autômatos, nem tampouco máquinas burras de calcular. Queremos formar cidadãos que utilize racionalmente seus cérebros na solução eficaz de problemas matemáticos. Para atingirmos esse objetivo, temos de nos desfazer de algumas crenças tais como: a) Para resolver problemas é preciso que as crianças sejam leitoras. b) Para resolver problemas, as crianças precisam antes ter algum conhecimento sobre operações e sinais matemáticos. c) o aluno nada sabe; o papel do professor é “enchê-lo” de conhecimentos, apropriados de forma acrítica. (^1) Artigo submetido em agosto/2012 ao orientador Ms. Enio Virgílio de Oliveira Matias como requisito parcial para o estágio curricular do curso de licenciatura em matemática. (^2) Aluno concluinte do curso de licenciatura em matemática na UERN.
É impossível desenvolver habilidades para a solução de problemas sem conhecer a sua gênese. Por que os números existem? Por que precisamos de apenas 10 algarismos para representar todos os números? Por que a subtração é uma soma? Como construir um triângulo eqüilátero utilizando régua e compasso? Qual a relação entre a matemática e a agricultura? O que representa o teorema de Pitágoras? Onde usa-lo? Seria possível construir alguma máquina sem partes curcunferenciais? Existe alguma relação entre a matemática e a medicina? Diante de tantas perguntas, ensinar matemática sem a devida contextualização histórica é como matar a sede tomando soro fisiológico, abusa mais o principal não faz: matar a sede! O PAPEL DO PROFESSOR O professor é o fio condutor que irá levar o aluno de um estágio incipiente de desenvolvimento lógico-matemático até um estágio mais avançado. É preciso ser sensível, amigo, leal, confiável. Deve ser aberto ao diálogo e analisar as descobertas feitas pelos seus alunos como se todas fossem uma grande novidade. Atitudes irresponsáveis como afirmar que: um problema tem sempre uma só solução ou há uma única maneira de responder e ela será dada na correção, são exemplos de aberrações que o mestre não deve jamais proferir. O aluno não pode passar a vida toda desenhando uma rosa vermelha com caule verde^3 por que é assim que o professor quer que ele faça. Acreditamos que a resolução de problemas é uma forma de desenvolver o trabalho em classe, é uma perspectiva metodológica através da qual os alunos são envolvidos a fazer matemática, isto é, eles se tornam capaz de formular e resolver por si questões matemáticas e, através da possibilidade de questionar e levantar hipóteses, adquirem, relacionam e aplicam conceitos matemáticos.(SMOLE, 1999 ) Diante dessa afirmação, é condição precípua uma mudança de postura do professor, um trabalho planejado e que utilize uma gama muito grande de fontes de problematização. Deve lançar mão de todos os recursos à sua disposição para ensinar seus alunos com brincadeiras, jogos, artesanatos, etc. Para alcançar esse objetivo, o professor precisa ter um conhecimento sólido dos conceitos e procedimentos inerentes a tarefa de mediar o ensino da matemática. (^3) Referência a um texto de criatividade de autor desconhecido onde um aluno que gostava de desenhar e tinha habilidade para tal, é condicionado a desenhar somente e da mesma forma tudo o que a sua professora fazia. Quando em outra escola lhe é pedido para desenhar alguma coisa ele desenha exatamente uma rosa vermelha de caule verde que a sua primeira professora o condicionou a desenhar.
Obviamente, nem todo problema permite um trabalho interessante com os alunos. Se por um lado alguns são simples demais, por outro lado muitos são complicados a ponto de ser inviável a sua utilização. Experimentando uma grande variedade de problemas, sempre com a preocupação de levar os alunos a raciocinarem, o professor vai selecionando os melhores e descobrindo a melhor forma de trabalhá-los com os alunos. O PAPEL DA ESCOLA A escola deve ter sua razão de existir única e exclusivamente na formação de cidadãos. Ela deve preparar o aluno para vencer as dificuldades que sobrevirão formando seres pensantes e não autômatos. Uma metodologia de trabalho deve ser eleita, seja ela construtivista ou não, de modo a balizar todas as ações posteriores. Diante disso, é dever da escola: a) selecionar bem aqueles que irão, literalmente, ensinar os alunos a pensar. b) preparar as salas de aula de forma a comportar a quantidade de alunos prevista de forma racional. c) dispor de bibliotecas e laboratórios d) escolher os livros didáticos adotados de forma a incentivar a resolução de problemas ...etc. A escola precisa encontrar o equilíbrio entre a rigidez comportamental e a liberdade criativa do aluno. O PAPEL DO LIVRO DIDÁTICO O livro didático deve ser fartamente ilustrado, aproximando os problemas teóricos das situações vividas no cotidiano. Quando trabalhando com a geometria, deve incentivar, por exemplo, a identificação das formas geométricas nos diversos ambientes em que os alunos possam ir. O parque de diversões é cheio de formas geométricas, o automóvel, as pessoas, o giz, o lápis, etc. É possível aplicar conceitos de semelhança, simetria, paralelismo pensando em conceitos geométricos, ou de distância e velocidade entrando pela física, coleta de dados e tabulação de forma estatística, entre outras possibilidades. Torna-se imprescindível trazer a história dos problemas da humanidade e que desembocou no desenvolvimento da matemática. A história dos números, da medida, da geometria e de como se resolvia problemas práticos na antiguidade. Vários
Acreditamos que a metodologia proposta por (POLYA, 1978) é a que melhor concebe a filosofia de resolução de problemas. Para ele, compreender um problema significava perceber as dificuldades que ele traz e ter vontade de superá-las. Os passos sugeridos são os seguintes:
Compreender o problema
I. Qual é a incógnita? II. Quais são os dados que se está usando como ponto de partida? III. Qual a condição? É suficiente para determinar a incógnita? É redundante? Contraditória? IV. Qual é a dificuldade do problema?
Conceber um plano
a.) Já encontrou um problema semelhante? Ou já viu o mesmo problema proposto de maneira diferente? b.) Conhece um problema relacionado como este? Conhece algum teorema que possa lhe ser útil? c.) Olhe a incógnita com atenção e tente lembrar um problema que lhe seja familiar ou que tenha a mesma incógnita, ou uma incógnita similar. Este é um problema relacionado com o seu e que já foi resolvido. Você poderia utiliza-lo? Poderia usar o resultado? Poderia empregar o seu método? Considera que seria necessário introduzir algum elemento auxiliar para poder utiliza-lo? d.) Poderia enunciar o problema de outra forma? Poderia apresenta-lo de forma diferente novamente? e.) Modifique o formato da proposição do problema, use gráficos, desenhos, etc.
Executar o plano
a.) Ao executar o seu plano de resolução, comprove cada um dos passos b.) Pode ver claramente que o passo é correto? Pode demonstra-lo?
Visão retrospectiva
a.) Pode verificar o resultado? Pode verificar o raciocínio?
b.) Pode obter o resultado de forma diferente? Pode Vê-lo com apenas uma olhada? Você pode empregar o resultado ou o método em algum outro problema? EXEMPLO DE METODOLOGIA DE SOLUÇÃO DE PROBLEMA Seja resolver o seguinte problema: O produto da minha idade pela idade da minha esposa e a dos meus três filhos é um número de 6 dígitos que pode ser escrito colocando a minha idade lado a lado três vezes. Qual a idade da minha esposa e dos meus três filhos? Analisando o problema, constatamos que existem cinco incógnitas e o resultado do produto das idades não é dado. Se chamarmos de x , y , w , z , u respectivamente as idades, teremos a seguinte equação: x y w z u ???. Aqui nos deparamos com uma grande dificuldade: quanto vale o produto? O enunciado diz apenas que é um número de 6 dígitos – logo a minha idade é um número de dois dígitos e está compreendida entre 10 e 99 - e que deve ser colocada lado a lado três vezes. É óbvio que podemos testar as 89 possibilidades e sairmos efetuando os cálculos. Raciocinemos: se não é pedida a minha idade, ela é realmente importante para a solução do problema? Vejamos o seguinte: o resultado (ou produto) é a minha idade colocada lado a lado três vezes. Então se eu tiver 45 anos por exemplo, o número de 6 dígitos será 454545, se for 56 o número de 6 dígitos será 565656. Lembrando que a minha idade não é pedida, o que será que acontece se eu dividir o produto de 6 dígitos pela minha idade? Vejamos: 10101 45
e 10101 56
. Eureca! Agora tudo está resolvido, pois agora eu sei quanto vale o produto das idades da mulher e dos filhos. Cuidado, é preciso ter certeza de que o resultado vale para as 89 possibilidades. Como provar isso? Façamos o mesmo raciocínio de maneira geral e tentemos provar que 10101 x xxx
. Podemos enxergar o produto como sendo xxx e enxergá-lo observando
que cada x cresce, da direita para a esquerda, em uma base 100. Aplicando as
O mestre agora precisa ser o psicólogo de seus alunos, saber compreende-los, penetrar no seu mundo mágico e muitas vezes confuso, enigmático, etc.; precisa tornar a estadia na escola uma obrigação agradável e mostrar que o bicho papão do professor na realidade é um gatinho muito bonito e engraçado. Precisa saber lidar com os pais com o intuito de fazer com que a família toda participe. Novos saberes e novas competências precisam ser incorporados, e um mestre do saber que não os possua, ou não se esforce por possuí-las, corre o risco de não possuir qualificações suficientes para ensinar ou ainda prejudicar uma geração inteira com práticas pedagógicas ultrapassadas que priorizam a decoreba em detrimento a arte de pensar. Em geral, modificações profundas precisam ser incorporadas ou aprimoradas para que os resultados propostos sejam alcançados tais como:
O uso intensivo de para-didáticos deve ser priorizado;
Nova forma de apresentação de conteúdos em sala de aula, priorizando as
situações práticas e a evolução histórica do saber;
Utilização de novos materiais didáticos;
Utilização da matemática na economia doméstica, no uso racional da
energia elétrica, água, etc.;
Seminários de aplicações da matemática (na ecologia, por exemplo);
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais : Matemática. Brasília : MEC/SEF, 1998. 148p. PISANI, E. M. psicologia-geral. 11ªedição, Porto alegre: Vozes, 1990.219p. SMOLE, Kátia Cristina & Diniz, Maria I.S.V. Resolvendo problemas : obstáculos podem ser Superados desde cedo em relação à Matemática. Revista do Professor Abril/Junho,1999. Ano XV nº 58