Equações Diferenciais: Soluções e Problemas de Valor Inicial, Resumos de Equações Diferenciais

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Equações Diferenciais

Suene Campos Duarte

Período: 2023.

Equações Diferenciais

02 de Julho de 2023

Equações Diferenciais: Soluções (Continuação)

Ao resolver uma EDO de primeira ordem

F (x, y, y′) = 0

obtemos usualmente uma solução contendo uma única constante arbitrária c.

Uma solução contendo uma constante arbitrária representada por

G(x, y, c) = 0

é chamada família de soluções a um parâmetro.

Equações Diferenciais: Soluções (Continuação)

Exemplo 1:

A família a um parâmetro y = cx − x cos x é uma solução explícita da EDO

xy′^ − y = x^2 sin x

Figura: Soluções de xy′^ − y = x^2 sin x

Equações Diferenciais: Soluções (Continuação)

A solução de uma EDO que não dependa de parâmetros arbitrários é chamada

de solução particular.

Exemplo 2:

A solução y = −x é uma solução particular da EDO xy′^ − y = x^2 sin x correspondente a c = 0.

Figura: Soluções de xy′^ − y = x^2 sin x

Equações Diferenciais: Soluções (Continuação)

Existem EDOs que possuem soluções que não são membros de uma família de soluções de uma equação, isto é, uma solução que não pode ser obtida atribuindo valores aos parãmetros de uma família de soluções. Tal solução extra é chamada de solução singular.

Exemplo 4:

y = 1 16

x^4 e y = 0 são souções da EDO y′^ = xy^1 /^2 em (−∞, ∞). Vamos demonstrar mais

a frente que y = (

x^2 + c)^2 é uma família de soluções para tal EDO. Como, para c = 0 ,

y =

x^4 , então y = 0 é uma solução singular.

Equações Diferenciais: PVI

Definição 1 (PVI): Um sistema formado por: dny dxn^

= f (x, y, y′, ..., y(n−^1 )) (EDO de ordem n)

y(x 0 ) = y 0 , y′(x 0 ) = y 1 , ..., y(n−^1 )(x 0 ) = yn− 1 (Condições Iniciais) onde y 0 , y 1 , y 2 , ..., yn− 1 são constantes reais especificadas, é chamado problema de valor inicial (PVI) de ordem n.

Uma solução do problema de valor inicial é uma função que satisfaz tanto a

EDO como as condições complementares.

Equações Diferenciais: PVI

Dado o PVI de segunda ordem

d^2 y

dx^2

= f (x, y, y′)

y(x 0 ) = y 0 ; y′(x 1 ) = y 1

tem a seguinte interpretação geométrica:

Procuramos uma solução da EDO y′′^ =

f (x, y, y′) em um intervalo I contendo

x 0 de tal forma que seu gráfico passe

pelo ponto (x 0 , y 0 ) e que a inclinação

da curva, nesse ponto, seja y 1.

Equações Diferenciais:PVI

Exemplo 5: x = c 1 cos 4t + c 2 sin 4t é uma família a dois parâmetros de soluções de x′′^ + 16 x = 0. Ache uma solução para o PVI x′′^ + 16 x = 0 , x(π/ 2 ) = − 2 e x′(π/ 2 ) = 1

◇ Em um PVI, o intervalo I da definição da solução depende da condição inicial.

Exemplo 6: Dada a EDO y′^ + 2 xy^2 = 0 , a mesma tem a família de soluções de um parâmetro y = 1 /(x^2 + c). Se impomos y( 0 ) = − 1 , teremos c = − 1 (Verifique). Esboce o domínio de y = 1 /(x^2 + − 1 ), o gráfico da solução de y′^ + 2 xy^2 = 0 e a solução para o PVI (Lembre, a solução do PVI tem o intervalo no qual y(x) é definido, diferenciável e contenha x = 0 .).