Baixe Computação e Informação Quântica e outras Notas de estudo em PDF para Computação Quântica, somente na Docsity!
Computa¸c˜ao e Informa¸c˜ao quˆantica
Paulo Barros dos Santos Neto
Mar¸co 2024
1 Introdu¸c˜ao
O desenvolvimento da teoria cl´assica da informa¸c˜ao e da computa¸c˜ao quˆantica marcaram importantes avan¸cos no campo da ciˆencia da computa¸c˜ao e da f´ısica, respectivamente. A teoria cl´assica da informa¸c˜ao teve suas bases estabelecidas por George Boole, autor de uma obra publicada em 1854, que deu origem `a ´algebra booleana, e por Claude Shannon, que em 1938 propˆos uma forma de representar operadores l´ogicos booleanos atrav´es de interruptores. Anos mais tarde, Alan Turing e Alonzo Church, deram os primeiros passos para transformar a teoria da computa¸c˜ao em uma ´area de matem´atica abstrata, com a cria¸c˜ao da M´aquina de Turing, a qual opera com um n´umero m´ınimo de s´ımbolos e instru¸c˜oes para realizar opera¸c˜oes l´ogicas e pode ser considerada o embri˜ao de todos os computadores program´aveis modernos. Enquanto isso, Claude Shannon estabelecia os fundamentos da teoria da informa¸c˜ao em seu trabalho de 1948, definindo o bit como a unidade de informa¸c˜ao e estabelecendo princ´ıpios para a transmiss˜ao e recupera¸c˜ao de informa¸c˜oes em canais de comunica¸c˜ao. Paralelamente, o s´eculo XX testemunhou os avan¸cos da mecˆanica quˆantica, com contribui¸c˜oes de nomes como Max Planck e Niels Bohr. A interse¸c˜ao entre f´ısica e computa¸c˜ao tornou-se cada vez mais evidente, culminando no surgimento da computa¸c˜ao quˆantica e da informa¸c˜ao quˆantica. A informa¸c˜ao quˆantica busca explorar recursos quˆanticos para o processamento e transmiss˜ao de informa¸c˜oes, como o emaranhamento. J´a a computa¸c˜ao quˆantica visa desenvolver algoritmos e hardware baseados em princ´ıpios quˆanticos, como por exemplo o algoritmo de fatora¸c˜ao de Shor e o uso de spins nucleares como unidades de processamento. O campo da Computa¸c˜ao e Informa¸c˜ao Quˆantica teve seu in´ıcio formal marcado por um artigo de Paul Benioff em 1980, que introduziu a ideia de usar transforma¸c˜oes unit´arias em sistemas quˆanticos para implementar opera¸c˜oes l´ogicas de computa¸c˜ao. Esses avan¸cos representam n˜ao apenas um novo paradigma para o processamento de informa¸c˜oes, mas tamb´em uma nova fronteira na intera¸c˜ao entre f´ısica e ciˆencia da computa¸c˜ao.
2 Computa¸c˜ao quˆantica
2.1 Qubit
A computa¸c˜ao cl´assica se baseia nas unidades de informa¸c˜ao, chamadas de ”bit”. Um bit cl´assico ´e fisicamente representado pela ausˆencia ou presen¸ca de corrente el´etrica passando em um componente eletrˆonico, podendo assumir o valores l´ogicos ”0”ou ”1”. Um bit cl´assico n˜ao pode existir em dois estados ao mesmo tempo. Analogamente, a unidade de informa¸c˜ao na computa¸c˜ao quˆantica ´e o bit quˆantico ou qubit. O qubit pode ser representado por qualquer objeto quˆantico que possua dois estados distintos e bem definidos, como por exemplo os estados de polariza¸c˜ao de um f´oton ou spins nucleares. No entanto, diferentemente do bit cl´assico, o qubit al´em de assumir os valores l´ogicos 0 ou 1, eles tamb´em podem assumir qualquer estado que contenha uma combina¸c˜ao linear desses valores, conforme as leis da mecˆanica quˆantica. De acordo com a nota¸c˜ao de Dirac, os estados 0 e 1 referentes a um qubit podem ser representados pelos vetores | 0 ⟩ e | 1 ⟩, que formam uma base ortonormal em um espa¸co de Hilbert bidimensional, chamada de base computacional. Os vetores | 0 ⟩ e | 1 ⟩ s˜ao definidos de forma que:
Assim, um estado gn´erico |ψ⟩ de um qubit ´e representado por uma combina¸c˜ao linear dos dois vetores mencionados acima. Os coeficientes α e β s˜ao n´umeros complexos que se relacionam de forma que |α|^2 + |β|^2 = 1, em que α e β d˜ao respetivamente as probabilidades do qubit se encontrar no estados | 0 ⟩ ou | 1 ⟩. Tamb´em ´e poss´ıvel parametrizar esses estados utilizando os ˆangulos θ e ϕ, de acordo com a equa¸c˜ao abaixo:
|ψ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ (1)
|ψ⟩ = cos θ/ 2 | 0 ⟩ + eiϕ^ sin θ/ 2 | 1 ⟩ (2) Essa parametriza¸c˜ao nos permite vizualizar o estado quˆantico de um qubit como sendo um ponto na superficie de uma esfera de raio unit´ario, conhecida como esfera de Bloch. Os eixos da esfera de Bloch tˆem significados espec´ıficos.Os estados puros | 0 ⟩ e | 1 ⟩ est˜ao localizados nos polos norte e sul da esfera, respectivamente. O eixo z representa a superposi¸c˜ao entre os estados b´asicos do qubit. J´a o plano equatorial da esfera de Bloch, perpendicular ao eixo z, representa a fase relativa entre os estados b´asicos. Al´em disso, a rota¸c˜ao em torno do eixo z representa uma mudan¸ca de fase global, enquanto a rota¸c˜ao em torno de outros eixos da esfera de Bloch representa uma superposi¸c˜ao entre os estados | 0 ⟩ e | 1 ⟩. A esfera de Bloch ´e uma ferramenta valiosa para a visualiza¸c˜ao e manipula¸c˜ao de estados quˆanticos, facilitando a compreens˜ao de conceitos como portas l´ogicas quˆanticas, operadores de canal e medidas.
eixo x + z. J´a o port˜ao CNOT atua sobre um qubit do sistema chamado de target, mudando o seu estado caso o outro qubit, chamado de control, esteja no estado | 1 ⟩. Se o qubit control estiver no estado | 0 ⟩, n˜ao ocorre mudan¸ca no target.
H =
H| 0 ⟩ =
H| 1 ⟩ =
2.3 Emaranhamento quˆantico
Um dos postulados da mecˆanica quˆantica dita que os elementos de um espa¸co de Hilbert formado por dois subsitemas A e B ´e formado pelo produto tensorial entres os vetores dos sistemas indiduais.
|ψAB ⟩ = |ψA⟩ ⊗ |ψB ⟩ (4) O postulado citado acima e o principio da superposi¸c˜ao nos permitem considerar um estado de natureza exclusivamente quˆantica, com propriedades que constituem um novo recurso computacional.
|ψ+⟩ =
Primeiro, podemos perceber que n˜ao existem estados individuais de um sistema de dois qubits |a⟩ e |b⟩ de forma que |ψ+⟩ = |a⟩ ⊗ |b⟩. Se esses estados existissem, poderiamos expandi-los na base computacional, como mostrado abaixo:
|a⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ (6)
|b⟩ = α′^ | 0 ⟩ + β′^ | 1 ⟩ (7)
|ab⟩ = αα′^ | 00 ⟩ + ββ′^ | 11 ⟩ + αβ′^ | 01 ⟩ + βα′^ | 10 ⟩ (8) As equa¸c˜oes acima nos levam a seguinte inconsitˆencia:
αα′^ = ββ′^ =
αβ′^ = βα′^ = 0 (10)
Assim, os estados com formas semelhantes as descritas acima s˜ao chamados de estados ema- ranhados. Estados emaranhados apresentam uma forte correla¸c˜ao entre os observ´aveis dos qubits individuais. Ou seja, ´e poss´ıvel saber o estado de um qubit emaranhado a partir da medi¸c˜ao feita em seu qubit relacionado, visto que uma medi¸c˜ao feita em um qubit emaranhado define o estado do segundo qubit, mesmo que nenhuma medi¸c˜ao tenha sido feita sobre ele. Abaixo seguem alguns exemplos de outros poss´ıveis estados emaranhados. Vale ressaltar que os pares de estados |ψ+−⟩ e |ϕ+−⟩ formam as chamadas bases de Bell para sistemas de dois qubits.
|ψ−⟩ =
|ϕ+⟩ =
|ϕ−⟩ =
3 Algoritimos quˆanticos
3.1 Algoritimo de Deutsch
O algoritmo de Deutsch, um dos primeiros algoritmos quˆanticos descobertos, destaca-se por sua simplicidade conceitual e poder computacional revolucion´ario. Proposto por David Deutsch em 1985, este algoritmo fornece uma demonstra¸c˜ao clara de como a computa¸c˜ao quˆantica pode superar a computa¸c˜ao cl´assica em certos problemas. O problema que esse algoritmo se prop˜oe a resolver ´e se para uma dada uma fun¸c˜ao f que mapeia bits em 0 ou 1, se a fun¸c˜ao ´e constante (retorna o mesmo valor para todos os poss´ıveis valores de entrada) ou balanceada (retorna 0 para metade das entradas e 1 para a outra metade). Em uma abordagem cl´assica, isso exigiria avaliar a fun¸c˜ao em duas entradas diferentes. No entanto, o algoritmo de Deutsch demonstra que, com um computador quˆantico, apenas uma avalia¸c˜ao ´e necess´aria. O algoritmo de Deutsch opera em um qubit de entrada e em um qubit de sa´ıda. Inicialmente, ambos os qubits est˜ao no estado | 0 ⟩. O algoritmo consiste em quatro etapas principais: 1) O qubit de entrada ´e inicializado no estado | 1 ⟩. 2) A fun¸c˜ao f ´e aplicada ao qubit de entrada. Se a fun¸c˜ao for constante, o qubit de sa´ıda permanecer´a inalterado. Se a fun¸c˜ao for balanceada, o qubit de sa´ıda ser´a complementado. 3) Um conjunto de operadores quˆanticos ´e aplicado ao sistema para criar interferˆencia entre os diferentes caminhos de computa¸c˜ao. Isso ´e feito usando portas l´ogicas quˆanticas controladas. 4) Finalmente, os qubits de entrada e sa´ıda s˜ao medidos. Se o qubit de sa´ıda estiver no estado | 0 ⟩, a fun¸c˜ao ´e constante; se estiver no estado | 1 ⟩, a fun¸c˜ao ´e balanceada. O aspecto fundamental que diferencia o algoritmo de Deutsch de sua contraparte cl´assica ´e a capacidade dos qubits quˆanticos de existirem simultaneamente em m´ultiplos estados, permitindo a
chaves utilizadas s˜ao um n´umero inteiro N e dois n´umeros primos P 1 e P 2 , sendo N = P 1 P 2 , de forma que se usa N para encripitar a mensagem e P 1 e P 2 para decodifica-la. A seguran¸ca desse m´etodo se d´a pela dificuldade de se obter P 1 e P 2 a partir de N. O desenvolvimento da computa¸c˜ao quˆantica trouxe novos desafios e perspectivas para o campo da criptografia tradional, principalmente ap´os o surgimento do algoritmo de Shor, que prop˜oe a possibilidade de quebrar a criptografia RSA mais facilmente. Por isso se mostrou necess´ario o desenvolvimento de uma criptografia quˆantica, que visa oferecer estrat´egias para a distribui¸c˜ao de chaves privadas com a utiliza¸c˜ao de canais quˆanticos.
4.2 Criptografia quˆantica
Um dos m´etodos para a distribui¸c˜ao de chaves quˆanticas ´e o BB84, proposto por Bennet e Brassard em 1984. Nesse m´etodo ´e usados as bases X e Z definidas anteriormente. Supomos duas pessoas A e B. O processo se inicia com a pessoa A escolhendo aleatoriamente um par de bits, α e a, com o bit α determinando a escolha da base, sendo Z para 0 e X para 1. O bit a ent˜ao determina a escolha de um dos dois vetores da base. A pessoa B tamb´em dever´a escolher um bit β aleatoriamente, determinando a escolha da base a ser feita a medi¸c˜ao, e mantendo a conven¸c˜ao anterior, dever´a tamb´em determinar um bit b. Ap´os repetir esse processo diversas vezes, ter˜ao sido geradas quatro sequˆencias aleat´orias. Ent˜ao, as pessoas A e B dever˜ao verificar para quais posi¸c˜oes αi = βi, descartando os bits para os quais essa afirma¸c˜ao ´e falsa. No fim desse processo s˜ao geradas duas sequˆencias aleat´orias que servem como uma chave criptogr´afica. Outra forma de se fazer criptografia quˆantica foi descrito por Artur Ekert em 1991. Em seu artigo, Ekert propˆos uma varia¸c˜ao ao protocolo BB84, incorporando o conceito de emaranhamento quˆantico. No emaranhamento quˆantico, duas part´ıculas est˜ao intrinsecamente ligadas, de modo que as propriedades de uma part´ıcula est˜ao instantaneamente correlacionadas com as propriedades da outra, independentemente da distˆancia entre elas. Isso significa que uma mudan¸ca no estado de uma part´ıcula afeta imediatamente o estado da outra. O protocolo come¸ca com a gera¸c˜ao de pares no estado de Bell |Ψ−⟩, seguido pela escolha aleat´oria de eixos para medi¸c˜ao por parte dos participantes. A seguran¸ca do protocolo ´e assegurada pela certifica¸c˜ao da fonte dos pares emaranhados e pela cria¸c˜ao simultˆanea da chave criptogr´afica. A seguran¸ca ´e resguardada pela ”monogamia do emaranhamento”, este conceito refere-se `a propriedade do emaranhamento quˆantico em que, se duas part´ıculas est˜ao maximamente emaranhadas, elas n˜ao podem estar correlacionadas com mais nenhuma part´ıcula. Isso implica que, se um par de part´ıculas est´a maximamente emaranhado, ele n˜ao pode ser correlacionado com um terceiro partido, como um espi˜ao.
5 Conclus˜ao
Embora a computa¸c˜ao quˆantica tenha avan¸cado consideravelmente nas ´ultimas d´ecadas, ainda existem desafios significativos e problemas em aberto que precisam ser superados. Um dos principais
desafios ´e a constru¸c˜ao de hardware quˆantico escal´avel e confi´avel, tendo em vista a necessidade de aumentar a coerˆencia e a estabilidade dos qubits. Outro desafio crucial ´e a corre¸c˜ao de erros quˆanticos, uma vez que os qubits s˜ao extremamente suscet´ıveis a decoerˆencia e a outros tipos de ru´ıdo. A implementa¸c˜ao de t´ecnicas de corre¸c˜ao de erros eficazes ´e essencial para viabilizar a realiza¸c˜ao de c´alculos precisos com sistemas quˆanticos em larga escala. No entanto, apesar desses desafios, o potencial revolucion´ario da computa¸c˜ao quˆantica continua a inspirar pesquisadores em todo o mundo. A perspectiva de resolver problemas atualmente intrat´aveis em ´areas como criptografia, simula¸c˜ao molecular e otimiza¸c˜ao combinatorial ´e extremamente motivadora. Portanto, apesar dos obst´aculosa frente, o futuro da computa¸c˜ao quˆantica ´e promissor, e os avan¸cos cont´ınuos nesse campo prometem transformar radicalmente a maneira como pensamos sobre processamento de informa¸c˜oes e resolu¸c˜ao de problemas complexos.
6 Referˆencias
- Amaral, B´arbara. No¸c˜oes de Informa¸c˜ao Quˆantica.
- Nielsen, M.A.; Chuang, I.L. Quantum Computation and Quantum Information; Cambridge University Press: Cambridge, UK, 2010
- Wong, T.G. Introduction to Classical and Quantum Computing; Rooted Grove: Omaha, Nebraska, 2022.
