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ISEL - DEEC - SST Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações
uno Cota - 2000
Modelos de Filas n
Um modelo de filas representa um sistema ao qual os utentes chegam para receberem um determinado serviço.
n
Quando todos os servidores do sistema estiverem ocupados, os novos utentes que cheguem ao sistema terão de esperar pelo atendimento, numa fila.
n
Um típico modelo de filas é constituído pelos seguintes elementos:
u
Utentes
u
Servidores
u
Redes de filas
Servidor
Servidor
Servidor
Servidor
Servidor
Servidor
Utente
Utente
Utente
Utente
Utente
Utente
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Modelos de FilasCaracterísticas Características
População
u
A população poderá ser
finita
ou
infinita
u
Em sistemas com populações grandes, normalmente assume-se população infinita
u
A diferença entre o tipo de população reside no ritmo de chegadas:
População infinita: O ritmo de chegadas de utentes ao sistema não é afectado pelonúmero de utentes no sistema
População finita: O ritmo de chegadas será inversamente proporcional ao número de
utentes no sistema.
Capacidade do sistema
u
Número máximo de utentes permitido no sistema.
Por exemplo, uma cabine
telefónica. A capacidade do sistema, neste caso, é 1.
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Modelos de FilasCaracterísticas Características
Disciplina da fila
Como é que os utentes são atendidos na fila:
u
FIFO
: First-In-First-Out
Primeiro utente a chegar à fila será o primeiro a ser atendido
u
LIFO
: Last-In-First-Out
O último utente a chegar à fila é o primeiro a ser atendido
u
SIRO
: Service-In-Random-Order
O atendimento dos utentes faz-se por ordem aleatória
u
SPT
: Shortest-Processing-Time first
O utente a ser atendido em primeiro lugar será aquele cujo tempo deatendimento é menor
u
PR
: Priority Rules
O atendimento faz-se de acordo com as regras de prioridades pré estabelecida.
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Modelos de Filas
Notação Notação
A notação mais utilizada universalmente para modelos de filas é:
A / B / c / K / m / d
em que:
A
representa o processo de chegadas.
B
representa o processo de atendimento
c
representa
o número de servidores
K
denota a capacidade do sistema
m
representa a população
d
denota a disciplina da fila
A e B denotam-se principalmente como:
M para distribuições exponenciais
D para valores determinísticos
G para caracterizar distribuições
em geral
A e B denotam-se principalmente como:
M para distribuições exponenciais
D para valores determinísticos
G para caracterizar distribuições
em geral
Quando K, ou m
, é omitido, significa que toma o valor de
infinito
. Quando d é omitido
significa que a disciplina é do tipo
FIFO
. O caso mais normal, denotamos assim:
A / B / c
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Modelos de FilasExpressões úteis Expressões úteis
Para além das medidas de performance de sistemas de filas de espera vistas anteriormente, naanálise destes sistemas, iremos utilizar a seguinte notação:
A c
A
S
=
=
ρ
λ μ
μ
1
S
æ
Tempo m
édio de atendimento, ou serviço
A
æ
Intensidade de Tráfego
c
æ
Número de servidores
O
æ
Ritmo médio de chegadas
P
æ
Ritmo médio de atendimentos
U
æ
Utilização média do processador
Em consequência da lei de
Little
, e analisando os princípios dos processos de
Poisson
, obteremos as seguintes relações:
Q
Q
Q
Q
W
L
W
L
A
L
L
S
W
W
λ
λ
=
=
=
=
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Modelos de FilasModelo de Markov Modelo de
Markov
Na condição de equilíbrio, verifica-se que
resolvendo esta expressão, para os diversos valores de k, obteremos,
pelo que teremos:
com
0
1
2
k-
k
k+
...
...
λ
1
λ
0
λ
k-
λ
k
μ
1
μ
2
μ
k
μ
k+
1
−λ
0
1
−λ
1
−μ
1
1
−λ
2
−μ
2
1
−λ
k
−
−μ
k
−
1
−λ
k
−μ
k
1
−λ
k
−μ
k
0
com
) ( 1 1 1 1
≥
=
−
−
k
p
p
p
k k k k k k k
μ
λ
μ
λ
0
1
0
1
p
p
μ
λ
2 1 1 0 0 2
μ λ μ λ p p ∏
−
=
=
1 0
1
0
k i
i
i
k
p
p
μ
λ
1
1
1 0
1
0
1
−
∞
=
−
=
=
k
k i
i
i
p
μ
λ
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Modelos de FilasSistemas M / G / 1 Sistemas M / G / 1
Para o caso em que não se conhece a distribuição do tempo de serviço, poderemos
generalizar as expressões anteriores, a partir da conhecida fórmula de
Pollaczek-
Khintchine
A
L
L
Q
=
)
1
(
2
2
ρ
ρ
−
=
Q
L
μ
1
=
Q
W
W
)
1
(
2
ρ
ρ
−
=
S
W
Q
Assim, teremos:
A partir desta expressão, poderemos retirar as restantes grandezas
)
1
(
2
2
2
2
ρ
λ
ρ
σ
λ
−
=
S
Q
W
Sistemas M / D / 1 Sistemas M / D / 1
Podemos particularizar para o caso de tempo de serviço constante.Neste caso,
0
2
=
S
σ
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Modelos de FilasSistemas M / M / 1 / N Sistemas M / M / 1 / N
Neste caso, o sistema só suportará
N
utentes na fila de espera.
1
1
1
)
1
(
1
−
−
−
=
N
N
N
L
ρ
ρ
ρ
ρ
Utilizando o mesmo principio que anteriormente, teremos:
Podemos a partir daqui, com a ajuda da lei
de Little retirar as restantes grandezas.
0
p
p
k
k
ρ
=
e, tendo em atenção que o limite superior é agora N, teremos
1
1
0
1
1
1
1
=
−
−
=
=
∑
k
N
k
k
p
ρ
ρ
ρ
0
1
2
N
...
λ
λ
λ
λ
λ
μ
μ
μ
μ
μ
N
assim,
1
1
)
1
(
−
−
=
k
k
k
p
ρ
ρ
ρ
A probabilidade de um utente chegar ao sistema e encontrar a fila completa será
1
1
)
1
(
−
−
=
N
N
N
p
ρ
ρ
ρ
O número médio de utentes no sistema será:
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Modelos de FilasSistemas M / M / c / c Sistemas M / M / c / c
O sistema dispõe agora de
C
servidores e
C
lugares na fila de espera. Os utentes queencontrem os servidores ocupados, serãoimediatamente rejeitados
Esta expressão é conhecida como a
fórmula de
Erlang-B
Neste caso, o limite superior será c, tendo assim:
A probabilidade de um utente não ser atendido é dada pela probabilidade de estarem cservidores ocupados, tendo assim:
Computacionalmente é mais eficiente a utilização da expressão de Erlang B, na sua forma recursiva:
=
c k
k
c
c
k
A
c A p A c B
0
em que
k-
k
c
...
λ
λ
k
μ
1
−λ−
(k
)
μ
1
−λ−
k
μ
1
−λ
N
−μ
χ
c
μ
=
c i
i
k
k
i
A
k
A
p
0
A
c
AB
c
A
c
AB
A
c
B
A
B
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Modelos de Filas
É um sistema equivalente ao anterior,
existindo agora a particularidade de apopulação não ser infinita. Neste caso o ritmode chegadas dependerá da população.
Esta é a fórmula de
Engset
, normalmente
utilizada em redes detelecomunicaçõesprivadas
Como, o ritmo de chegadas não será constante, teremos:
e
Assim, teremos
Se pretendermos saber a probabilidade de um utente não encontrar o sistema completo,teremos:
Sistemas M / M / c / c / m Sistemas M / M / c / c / m
0
1
2
c
...
m
λ
μ
2
μ
3
μ
(
c
−
μ
c
μ
c
(
m-
λ
(
m-
λ
(
m-
c+1)
λ
(
m-
c)
λ
1
0
0
−
=
=
c i
i
A
i
m
p
k
k
k
A
k
m
p
k
m
k
A
m
p
p
=
−
=
0
0
)!
(
!
!
∑
=
=
c i
i
k
k
A
i
m
A
k
m
p
0
=
=
c i
i
c
A
i
m
A
c
m
B
0
