LA LOGISTICA INTEGRATA:
CONCETTI BASE
(LOGINTE1)
1
Sistemas de Filas
Prof. Dr. Nicolau D. F. Gualda
Prof. Dr. Claudio Barbieri da Cunha
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Departamento de Engenharia de Transportes
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Sistemas de Filas: Teoria e Modelagem, Notas de estudo de Engenharia Civil
Teorias e modelos matemáticos para o estudo de sistemas de filas, incluindo distribuições de poisson, exponencial e erlang, processos markovianos e relações úteis. O texto aborda as medidas de efetividade de uma fila no estado estacionário, como número médio de usuários, comprimento médio da fila, tempo médio que um usuário permanece no sistema e na fila, e probabilidades de um usuário permanecer mais que um determinado tempo na fila ou no sistema.
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
1 / 15
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Sistemas de Filas
Prof. Dr. Nicolau D. F. Gualda Prof. Dr. Claudio Barbieri da Cunha Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia de Transportes
ρ = índice de utilização ou de intensidade de tráfego
μ
λ = taxa de chegadas (usuários por unidade de tempo)
= taxa de atendimento (tempo médio de atendimento de um usuário)
μ
λ ρ =
para que haja estabilidade do sistema de filas
ρ ≥ 1 implica fila infinita
ρ< 1
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Coeficiente de Variação
[ ] λ λ
σ λ 1 = = = En
C
n V
( )
( )
n!
t e P t
n t
n
λ λ
=
Coeficiente de Variação
[ ] K K
K
EX
CV X
1 = = =
μ
σ μ
PROCESSO MARKOVIANO
9 SEM MEMÓRIA
P [ X ( ) t ≤ x / X ( t 0 ) = x 0 , X ( t 1 ) = x 1 ,..., X ( tn )= xn ] = P [ X ( ) t ≤ x / X ( tn )= xn ]
PROCESSO DE POISSON
É um processo Markoviano.
9 as chegadas devem ser independentes e as características probabilísticas do sistema não devem se alterar com o tempo. Em particular, deve permanecer constante.
9 a probabilidade de mais de uma chegada no intervalo infinitesimal dt é desprezível
Para que exista um processo de Poisson é preciso que sejam as satisfeitas as seguintes premissas:
λ
Fórmulas de Little:
L = λ W
Lq = λ W q
1 W = Wq +
RELAÇÕES ÚTEIS
EQUAÇÃO DE POLLACZEK-KHINTCHINE
Para filas com chegadas regidas por processo de Poisson e apenas uma posição de serviço é muito prática a equação de Pollaczek-Khintchine para cálculo do tempo e espera na fila.
2 ( 1 )
ρ
ρ λ σ ρ −
= +
T
L
Essa equação vale para qualquer distribuição do tempo de atendimento, desde que exista apenas uma estação de serviço e as chegadas constituam um processo de Poisson.
λ (^) = fluxo médio de chegadas medido em número de usuários (pessoas, veículos, navios etc.) por unidade de tempo.
= tempo médio de atendimento
= desvio padrão do tempo médio de atendimento
T
σ T
ρ (^) = índice de utilização
2 ( 1 )
ρ
ρ λ σ ρ −
= +
T
L
L = número médio de usuários no sistema
O tempo médio no sistema é igual à soma do tempo médio na fila com o tempo
médio de atendimento W q + T.
λ T =^ Como ρ^ λ^ T =^ ρ, temos:
= tempo médio de espera na fila 2 ( 1 )
λ ρ
ρ λ σ
−
=
T
Wq
FILAS M/M/
μ
λ ρ =
Se ρ< 1, então as probabilidade de estado estacionário existem e são dadas por:
n
pn
Se >1, as chegadas têm uma taxa maior do que o atendente pode absorver: o comprimento da fila aumenta sem limite e um estado estacionário não ocorre. Uma situação semelhante acontece quando = 1.
ρ
ρ
ρ = índice de utilização ou de intensidade de tráfego
μ = taxa de atendimento (tempo médio de atendimento de um usuário)
λ^ = taxa de chegadas (usuários por unidade de tempo)
ρ
ρ −
2 L (^) q
ρ
ρ −
= 1
L
μ − λ
W
W q =
( ) ( 0 )
= ≥
W t e t
tW
/
−
t e t
tW Wq^ ρ
FILAS M/M/1, λ =^ λ
∑
= n 0
λ λ n pn
∑
= n 0
L npn
∑[^ {^ }]
= − 0
, 0 n
Lq máx n sn pn
Taxa média de chegadas de usuários dentro do estabelecimento de prestação de serviços:
Em qualquer sistema de filas:
RECUSA E DESISTÊNCIA
λ (^) n = [ 1 − b ( n )]λ
μ n =μ + r ( n )
Recusa: usuário chega mas não quer entrar no estabelecimento de prestação de serviços porque a fila está muito longa.
Desistência: usuário deixa a fila após dela participar, porque o tempo para ser atendido tem se tornado muito longo.
FILAS M/M/s/K
9 chegadas segundo distribuição de Poisson ( M ) 9 tempos de atendimento exponencialmente distribuídos ( M ) 9 s atendentes 9 capacidade ( K ) do sistema
( )
2 [^ (^ )(^ ) ]^0
1 1 1 ! 1
K s p s
s L K s K s
s s q
− −
− − − − −
= ρ ρ ρ ρ
ρ
( )
(^ )^ (^ )
=
− +
≠
−
−
= (^) −
=
−
=
- −
∑
∑
1 !!
1 ! 1!
1
1
0
1
0
1
0 ρ
ρ
ρ ρ
ρ ρ
s
n
s n
s
n
s s Ks n
n
s K s s
s
n
s s
s
p
FILAS M/M/s/K
( )
= + +
= +
=
=
0 ( 1 , 2 , ...)
( 1 ,..., ) !
( 1 , 2 ,..., ) !
0
0
n K K
p n s K s
s
p n s n
s
p s n
n
n ρ
TEMPO MÉDIO DE ESPERA
s
s
q s
s
s
W P ρ
ρ
μ ρ −
−
− +
= >
1
1
( 1 ) 1
1 ( 0 )
onde
T
μ =
∑
−
= −
−
= 1
0 !(^1 )
( ) !
( )
!( 1 )
( )
( 0 ) s
j
j s
s
s
s j
s
s
s
P
FILA M/D/s
( )^1
( )
1
1 1
−
- − = (^) s
s
D q
M q
s
s
W
W
ρ
ρ
( M )
Wq =^ tempo de espera médio para a fila M/M/s
( D )
Wq = tempo de espera médio para a fila M/D/s
Nota-se que, à medida que s cresce, a relação acima tende à unidade.
Para s = 25 e ρ^ = 0,945, tem-se Wq^ ( M )/ Wq (^ D ) = 1,
Esse resultado é bastante útil em algumas aplicações, pois mostra que a distribuição dos tempos de atendimento não é tão importante para valores grandes de s , podendo, nesses casos, empregar-se o modelo M/M/C sem grande erro (e a favor da segurança).