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C a p í t u l o 9
MODELAGEM ESTATÍSTICA DO CANAL DE RÁDIO MÓVEL
Este Capítulo tem por objetivo apresentar ao leitor os modelos estatísticos o canal de rádio
móvel, bem como alguns parâmetros de projeto do sistema extraídos destes modelos.
9.1 Modelos Estatísticos do Canal de Rádio Móvel
Vários métodos têm sido propostos para a avaliação do sinal recebido pela estação rádio móvel [9-15]:
- (^) os métodos determinísticos são baseados na teoria de propagação, simplificam muito o ambiente de propagação e não fornecem resultados satisfatórios.
- (^) os métodos empíricos foram desenvolvidos a partir de soluções determinísticas e de medidas de campo, aplicam-se de acordo com a região estudada exigindo ajustes de campo.
- os métodos estatísticos consideram uma modelagem estatística do desvanecimento do sinal e interpreta o sinal de rádio móvel como uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade deve ser determinada.
Neste Capítulo iremos apresentar as distribuições que descrevem os desvanecimentos comuns ao sistemas de rádio móv el e algumas de suas propriedades.
Estas distribuições serão utilizadas para os cálculos da área de sobreposição entre células, taxa de cruzamento de nível e tempo médio de desvanecimento.
9.2 Distribuições da Envoltória do Sinal
Nesta Seção apresentamos as distribuições que descrevem os desvanecimentos do sinal de rádio comuns aos sistemas rádio móvel assim como detalhar algumas de suas propriedades, para aplicação em diversos cálculos adiante.
9.2.1 Ambiente Lognormal
Quando um sinal de rádio é sombreado por obstáculos em seu caminho de propagação, como as elevações do terreno, verificam-se flutuações lentas no nível do sinal de recepção. Se o móvel encontra infinitos obstáculos dentro de uma área de cobertura, podemos considerar as resultantes das amplitudes do sinal, após os mesmos obstáculos, como variáveis aleatórias.
Esta componente de um desvanecimento de longo prazo tem sido convenientemente modelada através da distribuição Lognormal, onde a média local R da envoltória do sinal r , expressa em decibéis, tem distribuição Gaussiana [1,7]. Assim, a função densidade de
probabilidade pL (^ R )é dada por
2
2
exp 2
R
R R
L
R M
p R π σ σ
( 9.1 )
onde M (^) R é a média e σ (^) R é o desvio padrão de R , todos em decibéis. Medidas de campo
em áreas urbanas [16], mostram que os valores de σ (^) R encontram-se de 4 a 10 dB. Agora, a
densidade pL ( W ) da potência do sinal é calculada através de um transformação de
variáveis W = R − 10 log 2 dada por p^ L ( W^ )^ dW =^ pL (^ R ) dR. Logo, temos
2
2
exp 2
W
W W
L
W M
p W π σ σ
( 9.2 )
onde a média M^ W e o desvio padrão σ^ W são expressos em decibéis. Note que pL (^ W )é
também uma Lognormal. Assim, a densidade pL ( w )da potência w em unidades naturais é
50 log^2 exp 2 ln 10
W W
L
w w w
p w π σ σ
( 9.3)
= (^) ∑ [ ( + )] = ( ) (^) ∑ ( ) = =
n
i
i i
n
i
sr ai j t i j t a j 1
0 1
exp ω (^) 0 θ exp ω exp θ ( 9.5 )
sr = r exp [ j ( ω 0 t + θ )] ( 9.6 )
r ( j ) a ( j ) a j a X jY
n
i
i i
n
i
i i
n
i
= (^) ∑ i i =∑ + ∑ = + = 1 = 1 = 1
exp θ exp θ cos θ sen θ ( 9.7 )
cos θ cos θ 1
X a r
n
i
= (^) ∑ i i =
e θ sen θ 1
Y asin r
n
i
= (^) ∑ i i =
( 9.8 )
Note que r^2 = X^2 + Y^2 é a envoltória do sinal recebido e θ = arctg ( X Y )é sua fase.
Considerando um número grande de sinais recebidos, devido ao multipercurso, e supondo-
se que as amplitudes individuais ai são aleatórias e ainda uma distribuição uniforme da fase
no intervalo 0 a 2 π , pelo teorema do limite central assume-se que as variáveis aleatórias
X e Y são Gaussianas independentes de média nula e variâncias σ (^) X^2 = σY^2 = σ r^2. A
distribuição conjunta p ( X , Y )é dada por
2 2
2 2 exp 2
r r
r
X Y
p XY πσ σ
( 9.9 )
A partir da transformação p r ( r , θ ) = Jpr ( X , Y )temos
2 , 2 2 exp 2 r r
r
r r p r πσ σ
θ ( 9.10 )
A função densidade de probabilidade pr ( r )da envoltória r é calculada como
( ) (^) ∫ (^)
π θ πσ σ
2
0
2
2
2 2 exp 2 d
r r p r r r
r ( 9.11)
( ) (^)
2 2 exp 2 r r
r
r r p r σ σ
( 9.12 )
onde σ^ r π 2 é a média e σ^ r^2 − π 2 é o desvio padrão de r. Logo, a densidade pr (^ w )
da potência do sinal calculada através da transformação dada por p^ r (^ w )^ dw =^ pr (^ r ) dr.
( ) (^)
w w
r
w p w σ σ
exp
( 9.13 )
A potência média no ambiente Rayleigh é w^ =^ σw. Assim
w
w w
pr w exp
( 9.14 )
A Equação 9.14 está traçada na Figura 9.2.
p (^) r ( w w )
Figura 9.2: Distribuição de Rayleigh.
k= k= k= k=
p (^) R^ (^ w w )
Figura 9.3: Distribuição de Rice.
9.2.4 Ambiente Nakagami
A distribuição de Nakagami foi introduzida por Nakagami em 1940 para caracterizar o desvanecimento rápido em propagação de sinais HF em longas distâncias [17]. Após várias medições de campo, considerando-se apenas o desvanecimento rápido, foi verificado, por inspeção, que a distribuição dessas medições poderia ser aproximada por
= ^ + − e M M
p m χ
χ χ^2
' exp 1 ( 9.19 )
onde χ é a intensidade do sinal em decibéis, M = 20 log e e m determina a inclinação das
curvas dos valores medidos traçados em coordenadas log-log. Esta aproximação é válida
apenas para a condição m ≥ 12. Normalizando a Equação 9.19, obtemos a função de
distribuição de χ^ em decibéis.
( ) ( ) (^)
M M
m M m
m p
m (^) χ χ χ
exp
exp
( 9.20 )
Fazendo-se a transformação e χ^ M = X = r Ω, onde Ω é a média de r^2 , chega -se à
Distribuição de Nakagami [17]
(^2 1) exp( 2 )
X mX m
m p X m
m − Γ
= −^ ( 9.21)
Fazendo-se agora a transformação X = r Ω, chega-se finalmente à distribuição da envoltória de um sinal Nakagami. Ou seja,
2 − 1 2 (^2) exp mr m
p r m r m
m m N ( 9.22 )
Essencialmente, esta distribuição é uma distribuição chi-quadrada centralizada onde r^ é a
envoltória do sinal, m = Ω^2 Var ( r 2 ) ≥ 1 / 2 é o fator de desvanecimento e Ω = E [ r 2 ]. Os momentos e variâncias para uma variável Nakagami são dados por
[ ]
2 ν^2 ν ν^
Ω Γ
Γ +
m m
m E r ( 9.23 )
( ) ( )
m ( m ) m
m Varr m
Var r 5
2 2 (^2) ≅ Ω
onde ν^ é inteiro e positivo. Assim, para ν^ =^1 temos a média estatística de r^ dada por
[ ]
( m ) m
m r Er
( 9.25)
Seja w = r^22 a potência do sinal recebido e w = E [^ w ]. Assim, utilizando-se a
transformação p^ N (^ w )^ dw =^ pN (^ r ) dr obtém-se
− Γ
=^ − w
mw m
w w
m p w
m m N exp
1 ( 9.26 )
i
pwi psi ws (^10)
Supondo wi^ , i^ =^ 1,... ,^ m variáveis aleatórias independentes
( i ) m
m i i^ ws
pw ps ps (^1 )
=
( 9.29 )
Aplicando-se a Transformada Inversa de Laplace obtemos
( ) ( )
−
0
1 exp w
w w m
w p w m
m ( 9.30 )
Como =^ ∑
m i
w wi 1
, então para wi = w 0 , i = 1 ,..., m , w = mw 0 , ou seja, w 0 (^) = wm. Assim,
obtemos a distribuição de Nakagami para a potência recebida na forma
−
w
mw m
w w
m p w
m m N exp
1 ( 9.31 )
Desta forma, conclui-se que o sinal Nakagami nada mais é senão a soma de sinais Rayleigh independentes e de mesma média. Vale ressaltar que a dedução aqui sugerida considera m
como número inteiro enquanto que a distribuição de Nakagami admite m^ real, m ≥ 12. No caso explorado aqui considerou-se soma não coerente de sinais. Para o caso do real a soma seria do tipo coerente, onde as flutuações de fase são relevantes. No entanto, este é um trabalho para investigações futuras. Em ambas as situações a fórmula continua sendo a mesma daquela da equação 9.26.
Propriedades da Distribuição de Nakagami
Rayleigh a partir de Nakagami : a distribuição de Rayleigh é um caso especial da distribuição de Nakagami quando m = 1.
2 2
2
2
(^2) exp exp σ σ
p r r r r^ r R ( 9.32 )
Rice a partir de Nakagami: a distribuição de Rice pode ser bem aproximada pela distribuição de Nakagami, utilizando-se a relação entre o fator de Rice k^ e m^ dada por [7]
2
2 > − −
= − m m m m
k m m ( 9.33 )
m m m
c^2 = Ω^2 − , ( m m m )
m
2 σ^2 = Ω −^2 − ( 9.34 )
2 2 2
exp r r r
r
r r a r a p r σ σ σ
( 9.35 )
Lognormal a partir de Nakagami: a Equação 9.20 tem seu ponto de má ximo em χ = 0 , ou r = Ω^1 , para m grande [17]. Assim
m M me M
p m m
2 m^ 1 2 0 ≅ Γ
= ( 9.36)
Aplicando-se este resultado uma distribuição em decibéis, para χ ≤ M , a Equação 9.20 se aproxima à Lognormal na forma
2 exp 2
M
m
m M
p
χ π
χ ( 9.37 )
Generalizando este resultado obtemos
M M
m M m
m p (^) m
m τ^2 exp 2 τ τ^0 exp 2 τ τ^0 ( 9.38 )
onde τ e τ (^) 0 são r e Ω em decibéis, respectivamente.
(^1) Note que e χ^ M = r Ω.
p (^) S ( w m ) w
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
1 =1dB =5dB =7dB =12dB
σ σ σ σ
w mw Figura 9.5: Distribuição de Suzuki.
9.2.6 Ambiente Nakagami-sombreado
No caso mais geral quando o desvanecimento de curto prazo se sobrepõe ao de longo prazo, é possível modelar a estatística do sinal recebido também através da distribuição de Nakagami-sombreado. A obtenção da densidade resultante segue o mesmo procedimento daquele para a de Suzuki.
Considerando-se que na equação 9.26 a distribuição de w^ é condicional a que sua média w sofra desvanecimento lento, a incondicional será obtida integrando-se a Equação 9. multiplicada pela distribuição de w^ no intervalo apropriado, tal que
( ) = (^) ∫ ( ) ( )
+∞
0
p (^) NS w pNwwpLwd w ( 9.43 )
onde w = r^22 é a potência do sinal recebido, pN (^ ww )é a distribuição de Nakagami
condicionada ao valor w e pL ( w )é a distribuição Lognormal desta média local. Assim
( )
− Γ
=^ − w
mw m
w w
m p ww
m m N exp
1 ( 9.44 )
( )
( )
2 2
2
ln exp 2 πσ σ
w L
a w m w
a p w ( 9.45 )
onde a = 10 ln 10 , mw =^ E [^ w ]e σ^ é o desvio padrão. Obtém-se
( ) ( )
( ) ∫
+∞
−
0 2
2 2 1
1
2
ln exp 2
dw
a wm w
mw m w
am w p w m w
m m NS π σ σ
( 9.46 )
Alterando-se a variável de integração para t^ =^ mw w , temos
+∞ − −
0
2
1 1 2 2
2
ln exp 2
dt
a t t m
mw m m
am w t p w w
m w
m m m NS (^) π σ σ ( 9.47 )
A equação 9.47 está traçada na Figura 9.6 onde observamos sinais mais determinísticos tanto para o desvio padrão mais baixo, quanto para o fator de desvanecimento mais alto.
p (^) NS^ (^ w m ) w
=1dB, m=1. =1dB, m=4.
=5dB, m=0. =5dB, m=1. =5dB, m=4.
σ σ σ σ σ w
Figura 9.6: Distribuição de Nakagami-sombreado.
∫ (^ )^ (^ )
+∞
0 2 0
2 2 2 1 2
ln exp 1 2
dt m
w tk k
a t t k m
w k m
a k p w w w^ w
RS π σ σ
( 9.51 )
A Equação 9.51 está traçada na Figura 9.6. Note que valores maiores de mostram um sinal mais determinístico, assim como valores menores do desvio padrão.
=1dB, k= =5dB, k=
=1dB, k= =5dB, k=
σ σ
σ σ
p (^) RS^ (^ w m ) w
w
Figura 9.7: Distribuição de Rice-sombreado.
9.3 Distribuições da Derivada da Envoltória
O objetivo desta Seção é apresentar as distribuições da derivada da envoltória dos sinais de rádio móvel. Estas distribuições serão usadas para estudar o comportamento do sinal em condições de desvanecimento em diversos cálculos.
O sinal de rádio transmitido pela estação de rádio base sofre múltiplas reflexões até chegar à antena da estação móvel. Estas reflexões são responsáveis pelo desvanecimento do sinal ao longo do percurso de propagação.
A função de densidade de probabilidade conjunta da envoltória do sinal e de sua derivada para o ambiente Rayleigh já foi calculado em outras literaturas. A nossa contribuição está no cálculo destas funções de densidades de probabilidade conjunta para os ambientes Rice, Nakagami, Suzuki, Nakagami-sombreado e Rice-sombreado.
9.3.1 Ambiente Rayleigh
Desejamos calcular a distribuição conjunta p ( r^ , r &)onde r^ é a envoltória do sinal recebido
e r &^ é sua derivada. Para isto, considere s^ =^ a exp^ (^ jω 0 t )como sinal transmitido. Desta
forma, o sinal recebido em um ambiente de multipercurso para o móvel em deslocamento é
= ∑ [ ( + )] = ( ) ∑ ( ) = =
n i i i
n r (^) i i i s a j t j t a j 1 0 0 1
exp ω θ exp ω exp θ ( 9.52 )
onde θi^ =^ ωit^ − ωTi , ω^ i =^2 πf^ m cos θi , Ti^ é o atraso de tempo devido ao i -ésimo percurso
e f^ m é o deslocamento Doppler máximo. Equivalentemente,
sr = r exp [ j ( ω 0 t + θ )] ( 9.53 )
=
n i i^ i
r j a j 1
exp θ exp θ ( 9.54 )
X a (^) i i r i
n = = =
∑ cos^ θ^ cos θ 1
( 9.55 )
Y a (^) i i r i
n = = =
∑ sen^ θ^ sen θ 1
( 9. 56)
Note que r^2 = X^2 + Y^2 é a envoltória do sinal recebido e θ = tan−^1 ( XY )é sua fase. As
derivadas de X e Y são, respectivamente
=
n i
X ai i i 1
& (^) βυ sen θ cos φ ( 9. 57)
p ( r , r & , θ , θ &) = Jp ( X , Y , X &, Y &) ( 9.65 )
Das equações acima temos
X = r cos θ e Y = r sen θ ( 9.66 )
X &^ = r &cos θ − r & θ &sen θ e Y &^ = r &sen θ − r & θ &cos θ ( 9.67 )
O Jacobiano da transformação é
δ δ δ δθ δ δ δ δ θ
δ δ δ δθ δ δ δ δθ
δ δ δ δθ δ δ δ δθ
δ δ δ δθ δ δ δ δθ
Y r Y Y r Y
X r X X r X
Y r Y Y r Y
X r X X r X
J = ( 9.68 )
2
cos cos sen sen sen
sen sen cos cos sen
sen cos 0 0
cos sen 0 0
r
r r r
r r r
r
r
J =
−
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
θ θ
Assim obtemos a distribuição conjunta
( )
(^) + = − + 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
1 exp 4
, , , σ
θ π σ σ σ
θ θ &
& & &
pr rr & & r r r r ( 9.70 )
Integrando esta distribuição nos limites adequados obtemos
σ
θ π σ σ σ
π pr rr r ∫ ∫ r r r d d
(^) + = − +
∞
−∞
2
0 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
exp^1 4
, & &
& & &
& (^) ( 9.71 )
Finalmente temos a distribuição conjunta p (^ r , r &)na forma
( ) (^)
2 2
2 , (^2) π σ (^2) σ exp 2 σ 2 σ &
r r r pr rr ( 9.72 )
Verifica-se que as variáveis r e r & são independentes pois
( ) p ( ) r p ( ) r
r r r pr rr & &
& &
& =
−
= − 2
2 2 2
2
2
exp 2
exp 2
1 , π σ σ σ σ
( 9.73 )
Logo temos a distribuição p (^ r &^ )dada por
∞
− ∞
2
2
2
exp 2
π σ σ &
pr r & prr & dr r ( 9.74 )
Sabemos que rrms = 2 w = 2 σ. Logo σ &^ = πfm rrms e
2
2
exp 2
mrms m rms
r f r
r f r
p r ππ π
A equação 9.75 está traçada figura 9.8.
