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MATRIZES
CONCEITOS BÁSICOS
Chama-se matriz do tipo m x n toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ) ou entre colchetes [ ]. Exemplos: a) A3x2 = 9 4 5 6 Matriz A do tipo 3 x 2 1 -
b) B (^) 2x2 = 5 -4 Matriz B do tipo 2 x 2 3 -
c) C1x3 = 4 -1 5 Matriz C do tipo 1 x 3
CONVENÇÃO
Indicamos por aij o elemento posicionado na linha i e coluna j de uma matriz A
Na matriz 9 4 , temos que: 5 6 1 -
O número 9 está posicionado na linha 1, coluna 1que indicamos por a 11 ou seja a 11 = 9. O 4 está posicionado na linha 1 e coluna 2 que indicamos a 12 = 4 O 5 está posicionado na linha 2 e coluna 1 que indicamos a 21 Analogamente temos a 22 = 6, a 31 = 1 e a 32 = -
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ
Podemos representar genericamente uma matriz A do tipo m x n da seguinte maneira: a 11 a 12 a 13 ... a (^) 1n Amxn = a 21 a 22 a 23 ... a2n que pode ser representada por
... A = (aij) (^) mxn am1 a (^) m2 am3 ... a (^) mn
EXERCÍCIO
Representar explicitamente a matriz A = (aij)2x3 tal que aij = 5i – j. Inicialmente vamos escrever genericamente uma matriz 2 x 3;
A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a (^23)
Cada elemento aij dessa matriz deve ser calculado pela lei aij = 5i – j. a 11 = 5.1–1 = 4 a 12 = 5.1 – 2 = 3 a 13 = 5.1 – 3 = 2 a 21 = 5.2-1 = 9 a 22 = 5.2 – 2 = 8 a 23 = 5.2 – 3 = 7
Assim a matriz A = 4 3 2 9 8 7 Matriz Quadrada
É toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
Exemplo: A3x3 = 1 2 3 0 -1 4 é uma matriz quadrada de ordem 3. 6 8 -
Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i+j= n + 1 formam a diagonal secundária. diagonal secundária Exemplo: a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a (^23) a 31 a 32 a (^33) diagonal principal
Observe: Na diagonal principal os elementos aij possuem i = j: a 11 , a 22 , a (^) 33. Na diagonal secundária os elementos aij são tais que i + j = 3 + 1 (onde 3 é a ordem da matriz): a31, a 22 e a (^) 13.
Matriz Identidade
Chama-se matriz identidade de ordem n, que se indica por In, a matriz:
I (^) n = ( aij ) (^) n x m tal que a (^) ij = 1, se i = j 0, se i ≠ j. Note, pela definição, que:
- a matriz identidade de ordem 1 é I 1 = ( 1 );
- toda matriz identidade de ordem maior do que 1 terá todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e todos os demais elementos iguais a zero. Exemplos:
1 0 0 a) I 2 = 1 0 b) I 3 = 0 1 0 0 1 0 0 1
Matriz nula
Matriz nula do tipo m x n, que se indica por 0m x n é a matriz: 0mxn = ( aij ) (^) m x n tal que aij = 0, F 02 2 i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Em outras palavras, matriz nula é qualquer matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Exemplos: 0 0 a) (^0) 2 x 2 = 0 0 b) 0 (^) 3 x 2 = 0 0 0 0 0 0
Matriz Transposta
C = 2 + 3 3 + 0 1 + 2 5 + 3 5 3 3 8
A matriz C é denominada “ matriz soma de A e B ”.
Analogamente, se quisermos uma matriz que represente o desempenho da loja A em relação à loja B, basta subtrairmos de cada elemento de A o seu correspondente em B obtendo a “ matriz diferença “ de A e B.
Adição de matrizes
A soma de duas matrizes do mesmo tipo A = ( aij ) (^) m x n e B = ( bij ) (^) m x n, que se indica por A + B, é a matriz C = (cij ) (^) m x n tal que:
c (^) ij = aij + bij , F 02 2 i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Em outras palavras, cada elemento da matriz C é igual a soma de seus correspondentes em A e B. Exemplo: 1 4 3 + 2 3 5 = 3 7 8 6 8 -5 4 -3 7 10 5 2
Multiplicação de número por matriz
Definição: O produto de um número k por uma matriz A = (a (^) ij) (^) m x n, que se indica por
kA, é a matriz B = (bij ) (^) m x n tal que: b (^) ij = kaij , F 02 2 i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Ou seja, cada elemento da matriz B é igual ao produto de seu correspondente em A, pelo número k. Exemplo: 2 -5 8 - 4 3 0 = 12 0 1 6 4 24
Subtração de matrizes
Definição : A diferença de duas matrizes do mesmo tipo A e B, nessa ordem, que se indica por A – B, é a matriz A + (- B). Exemplo:
Multiplicação de matrizes
Para que se entendam as noções que envolvem a multiplicação de matrizes, propomos as seguintes situações:
- Uma indústria fabrica certo aparelho em dois modelos P e Q. Na montagem do aparelho P são utilizados 6 transistores, 9 capacitores e 11 resistores, e, no modelo Q, 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores.
Podemos dispor esses dados na tabela: P Q Transistor 6 4 Capacitor 9 7 Resistor 11 10
Chamaremos A à matriz associada à tabela acima:
A = 9 7
- Essa mesma indústria recebeu as seguintes encomendas para os meses de janeiro e fevereiro: Janeiro: 8 aparelhos do modelo P e 12 do modelo Q; Fevereiro: 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q.
Vamos dispor esses dados na tabela:
Janeiro Fevereiro P 8 10 Q 12 6
Chamaremos B à matriz associada à tabela acima:
B = 8 10 12 6
Com esses dados deseja-se saber: a) Quantos transistores serão necessários para atender às encomendas de cada mês?
**Mês de Janeiro Mês de fevereiro
- 8 + 4. 12 = 96 6. 10 + 4. 6 = 84**
Usamos as informações da 1ª linha de A Usamos as informações da 1ª linha de A e 1ª coluna de B. e 2ª coluna de B.
b) Quantos capacitores serão necessários para atender às encomendas de cada mês? **Mês de Janeiro Mês de Fevereiro
- 8 + 7. 12 = 156 9. 10 + 7. 6 = 132**
Usamos as informações da 2ª linha de A Usamos as informações da 2ª linha de A e 1ª coluna de B. e 2ª coluna de B. c) Quantos resistores serão utilizados para atender às encomendas de cada mês? **Mês de Janeiro Mês de Fevereiro
- 8 + 10. 12 = 208 11. 10 + 10. 6 = 170**
Usamos as informações da 3ª linha de A Usamos as informações da 3ª linha de A
Sendo A = 1 2 , determine sua inversa, se existir. -2 1
Solução: Existindo, a matriz inversa é da mesma ordem de A. Como, para que exista inversa, é necessário que A. A’ = A’. A = In, vamos trabalhar em duas etapas: 1º Impomos a condição de que A. A’ = In e determinamos A’.
Da igualdade de matrizes, temos:
Resolvendo os sistemas pelo método da adição, vem:
___________
Substituindo o valor obtido para c em uma das equações do sistema, temos;
______________
Substituindo o valor obtido de d em uma das equações do sistema, temos:
Assim:
2ª) Como exercício vamos verificar se A’. A = I2:
