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Escola de Aplica¸c˜ao da UFPA
GEOMETRIA ESPACIAL
4. Cones
Dado um c´ırculo de centro O e raio R situado num plano α e um ponto V fora de α. Chama-se cone cir- cular a reuni˜ao de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra num ponto qualquer do c´ırculo.
4.1. Cilindro Reto ou de Revolu¸c˜ao
E o s´^ ´ olido obtido da rota¸c˜ao de um triˆangulo retˆangulo ao redor de um dos seus catetos.
4.2. Elementos e Classifica¸c˜ao
- O c´ırculo de centro O e raio r ´e a base do cone;
- A geratriz g ´e qualquer segmento com uma extre- midade em V e outra num ponto da circunferˆencia da base;
- A distˆancia do ponto V ao plano da base ´e altura h do cone;
- A reta determinada pelo v´ertice V e pelo centro O da base ´e o eixo do cone;
- Se o eixo do cone for obliquo `a base, o cone ser´a de- nominado cone circular obl´ıquo, por´em se o eixo for perpendicular ao plano da base, o cone ser´a denomi- nado cone circular reto ou ainda cone de revolu¸c˜ao.
4.3. Cone Equil´atero Um cone ´e dito equil´atero se a sua sec¸c˜ao meridi- ana ´e um triˆangulo equil´atero, ou seja, a sua geratriz ´e igual ao diˆametro da base.
4.4. Areas da Superf´´ ıcie de um Cone ∗ Area da Base (´ Ab): E a ´´ area do c´ırculo da base do cone. Ab = πr^2 ∗ Area Lateral (´ Al): A superf´ıcie lateral de um cone ´e equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2πr, logo a ´area lateral do cone e dado por: Al = πrg ∗ Area Total (´ At): E a soma das ´´ areas lateral e da base do cone. At = πr(g + r)
4.5. Volume de um Cone O volume de um cone ´e a ter¸ca parte do produto da ´area da base pela medida da altura.
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V = A 3 b h ou V = πr
(^2) h 3
4.6. Tronco de Cone
Se um cone sofrer a intersec¸c˜ao de um plano α pa- ralelo `a sua base circular, a uma determinada altura, teremos a constitui¸c˜ao de uma nova figura geom´etrica espacial denominada Tronco de Cone.
Separando os s´olidos, temos:
- A sec¸c˜ao determinada pelo plano α, paralelo a base do cone, ´e um c´ırculo cujo raio mede r. Este c´ırculo tamb´em ´e a base menor do tronco de cone.
- As seguintes rela¸c˜oes s˜ao v´alidas:
g′ g =^
h H
( (^) h H
= (^) AAb B
( (^) h H
= (^) Vv
^ Onde:
∗ AB ´e a ´area da base maior do tronco; ∗ Ab ´e a ´area da base menor do tronco; ∗ V ´e o volume do cone maior; ∗ v ´e o volume do cone menor.
- A ´area lateral do tronco de cone ´e a diferen¸ca entre as ´areas laterais do cone maior e do cone menor, logo e dado por:
Alt = πg(R + r)
- O volume Vt do tronco ´e a diferen¸ca entre os volu- mes dos cones maior e menor, respectivamente. vt = V − v ou vt = πh 3 t^ (R^2 + r^2 + Rr)
Exerc´ıcios Propostos
Dado um cone de revolu¸c˜ao de raio da base 3 cm e altura 12 cm, determine: (a) a geratriz do cone. (b) a ´area da base. (c) a ´area lateral. (d) o volume do cone.
Determinar o volume de um cone de revolu¸c˜ao sabendo que a sua ´area lateral mede 3π√73 cm^2 e que a sua ´area da base mede 9π cm^2.
Determinar o volume de um cone de revolu¸c˜ao sabendo-se que o raio da sua base mede 2 cm e que a sua ´area lateral mede 4π√10 cm^2.
(UFRN-RN) Um recipiente cˆonico foi projetado de acordo com o desenho a seguir, no qual o tronco de cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm. O volume desse recipiente, em cm3, ´e igual a:
(a) 216π (b) 208π (c) 224π (d) 200π
- (ITA) Qual ´e o volume de um cone circular reto, se a ´area de sua superf´ıcie lateral ´e 24π cm^2 e o raio de sua base ´e 4 cm? (a)^16
20 π 3 cm
(^3) (b) 6π cm (^3) (c)
24 π 3 cm
3 (d)^6
√ 24 π 3 cm
(^3) (e)
√ 20 π 3 cm
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Agora, observe as seguintes figuras.
S˜ao s´olidos de revolu¸c˜ao: (a) o cone, a esfera e o cilindro. (b) o cilindro, o cone e a pirˆamide. (c) o cone, a esfera e o paralelep´ıpedo. (d) a esfera, o cilindro e o paralelep´ıpedo. (e) o paralelep´ıpedo, a pirˆamide e o cilindro.
- Um balde com formato de tronco de cone possui diˆametro da base menor medindo 20 cm, ´agua at´e a altura de 30 cm e diˆametro superior de ´agua de 40 cm, conforme a figura 1.
Um bloco c´ubico de chumbo foi mergulhado nesse balde, conforme a figura 2, de modo que o n´ıvel da ´agua passou para 60 cm. Qual a medida, em cm, da aresta do cubo? (a) 3
7000 π (b) 3
12000 π (c) 3
16000 π (d) 3
19000 π (e) 3
26000 π
- (UFSCar–SP) A figura representa um galhe- teiro para a coloca¸c˜ao de azeite e vinagre em com- partimento diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro. Considerando h como altura m´axima de l´ıquido que o galheteiro comporta e a raz˜ao entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h ´e:
(a) 7cm (b) 8cm (c) 10cm (d) 12cm (e) 15cm
- Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe ´agua na raz˜ao constante de 1 cm^3 /s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm. Conforme ilustra a imagem, a altura h do n´ıvel da ´agua no recipiente varia em fun¸c˜ao do tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde `a distˆancia entre o v´ertice do cone e a superf´ıcie livre do l´ıquido.
Admitindo π = 3, a equa¸c˜ao que relaciona a altura h, em cent´ımetros, e o tempo t, em segundos, ´e re- presentada por: (a) h = 4 √^3 t (b) h = 2 √^3 t (c) h = 2√t (d) h = 4√t
N˜ao poderei comemorar meu anivers´ario em setembro este ano. Por que? Porque nasci em mar¸co.
Chapolin Colorado
