Baixe Classificação de cônicas: elipse, parábola e hipérbole e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Muitas vezes, no entanto, estaremos interessados apenas em classificar a cônica dada por uma equação Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, sem determinar suas dimensões e localização. Visando solucionar este problema de uma forma mais rápida, vamos discutir as possibilidades que temos em função dos sinais doas autovalores associados à forma quadrática.
Consideremos, portanto, os autovalores λ 1 e λ 2 de
A
B
B
2 C
. Como já vimos, obteremos
depois da eliminação do termo misto uma equação da forma
(*) λ 1 x 12 + λ 2 y 12 + ax 1 + by 1 + F = 0
(I) Vamos analisar inicialmente a situação em que λ 1 ≠ 0 e λ 2 ≠ 0. Neste caso, através de uma translação que é feita no 5º. Passo, obtemos
λ 1 x 22 + λy 22 + f = 0
Note que se:
i) λ 1 e λ 2 forem ambos positivos, teremos f < 0 uma elipse; para f = 0 teremos um ponto (x 2 = y 2 = 0) e para f > 0 teremos o conjunto vazio. ii) Se λ 1 e λ 2 forem ambons negativos, também teremos uma elipse, um ponto ou vazio, conforme f seja positivo, nulo ou negativo.
iii) Se λ 1 e λ 2 tiverem sinais opostos, poderemos ter uma hipérbole, quando f ≠ 0, ou um par de retas concorrentes se f = 0.
(II) Consideremos agora a situação em que λ 1 = 0 (e, portanto λ 2 ≠ 0). Como vimos, partindo da equação (*), chegamos a sua equação. λ 2 y 22 + ax 2 + f = 0
Note que:
i) se a ≠ 0, teremos uma parábola. ii) Se a = 0, poderemos ter um par de retas paralelas, uma reta ou o vazio.
(III) O caso em que λ 2 = 0 é discutido de maneira análoga ao (II).
Podemos resumir os resultados até aquí obtidos no seguinte teorema:
Teorema: Dada uma cônica definida pela equação (*) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Seja λ 1 e λ 2 os autovalores associados à sua forma quadrática; então:
i) Se λ 1. λ 2 > 0 esta equação representa uma elipse, ou suas degenerações (um ponto ou o vazio)
ii) Se λ 1. λ 2 < 0 esta equação representa uma hipérbole ou sua degeneração (par de retas concorrentes).
iii) Se λ 1. λ 2 = 0 esta equação representa uma parábola ou suas degenerações (par de retas paralelas, uma reta ou o vazio).
Podemos afirmar que o determinante associado à forma quadrática
A
B
B
2 C
é igual ao produto de seus autovalores λ 1. λ 2. Assim o sinal de λ 1. λ 2 é
o mesmo de – (^)
B^2
4 – AC^ , que por sua vez tem o mesmo sinal de – (B
2 – 4AC).
Podemos assim reescrever o teorema anterior em função do “discriminante” B^2 – 4AC.
Teorema: Dada a equação: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, esta equação no plano representará:
i) uma elipse ou suas degenerações, se B^2 – 4AC < 0 ii) uma parábola ou suas degenerações, se B^2 – 4AC = 0 iii) uma hipérbole, se B^2 – 4AC > 0
QUÁDRICAS EM R^3
Definição: Uma quádrica em R^3 é um conjunto de pontos cujas coordenadas em relação à base canônica satisfazem a equação:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 com A ou B ou C ou D ou E ou F ≠ 0.
Exemplos
Elipsóide
x^2 a^2 +
y^2 b^2 +
z^2 c^2 = 1
Hiperbolóide de uma folha
Parabolóide hiperbólico
x^2 a^2 +
y^2 b^2 = cz
Cone quadrático
x^2 a^2 +
y^2 b^2 = z
2
Cilindro
Se nenhum termo com z aparece na equação da quádrica, temos o cilindro. O cilindro “padrão” é formado por retas ortogonais ao plano z = 0 que passam por uma cônica neste plano. Por exemplo:
a) Cilindro elíptico
x^2 a^2 +
y^2 b^2 = 1
b) Cilindro hiperbólico
x^2 a^2 –
y^2 b^2 = 1
c) Cilindro parabólico
x = ky^2
A equação que define a quádrica pode representar o conjunto vazio (x^2 = –1) , um ponto (x^2
- y^2 + z^2 = 0), uma reta (x^2 + y^2 = 0), um plano (z^2 = 0), dois planos paralelos (z^2 = 1) ou dois planos que se inteceptam (xy = 0). Estes casos são denominados degenerados. Quando nos é dada uma equação do 2º. Grau em x, y, z, e precisamos saber que figura ela representa em R^3 (classificar a quádrica) procedemos de modo análogo à situação em R^2 , reduzindo a equação e interpretando-a no final.
Exemplo:
Para classificar a quádrica
–x^2 + 2yz + z – y = 100
escrevemos a equação acima na forma matricial, obtendo:
Faremos agora uma nova mudança de coordenadas para eliminar os termos lineares onde isto é possível.
Z 12 = x 12 –
y 1 +
2
Seja x 2 = x 1 , y 2 = y 1 +
e z 2 = z 1 ; assim, temos a seguinte equação:
x 22
2 –^
y 22
2 +^
z 22
que representa a quádrica em relação ao referencial obtido por translação a partir daquele dos autovetores, cuja origem é dada por x 2 = 0, y 2 = 0 e z 2 = 0. Então
x 1 = 0, y 1 +
= 0 e z 1 = 0
Comparando a equação obtida com as equações das quadráticas vemos que esta quádrica é um hiperbolóide de duas folhas.
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS CÔNICAS
O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De fato, estas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da física, incluindo a astronomia, na economia, na engenharia e em muitas outras situações, pelo que não é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja tão antigo. Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem.
Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cónica. Este fato acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. Certos candeiros de cabeceira, cujo quebra luz (abat-jour) é aberto segundo uma circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no tecto uma elipse. Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para construirem candeiros, lanternas, etc... O som emitido por uma avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. Assim, dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hiperboles. A audiometria usa este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som.
A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas no caso em que o copo está direito, isto é, está alinhado com o nível , na horizontal. Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um paraboloide. Esta técnica é frequentemente usada para se obter este tipo de superficie.
Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos. Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas. Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. Como a parábola é um caso de equilibrio entre a elipse e a hipérbole (lembre-se que a
Embora a razão da sua escolha se prenda ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuia a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em vôo. O sistema de localização de barcos denominado por LORAM (LOng RAnge Navigation), faz uso das hipérboles confocais, onde os radares estão nos focos. A ideia é baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O mapa assim construido apresenta curvas hiperbólicas. Esta técnica foi usada na II grande Guerra, para detectar barcos japoneses.
Bibliografia:
- Matemática temas e metas vol. 5 – Geometria Analítica e Polinômios Antonio dos Santos Machado Atual Editora
- Algebra linear 3ª edição Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Ed. HABRA
- UFMG – Departamento de matemática http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaaltt/sec19.html
- Universidade de Coimbra – Departamento de matemática http://www.mat.uc.pt/~ed9702/conicas/
