Conjuntos Numéricos e Sentenças Abertas, Esquemas de Tecnologia Eletrônica

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Prof. Me. José Lorandi

UNIDADE IV

Lógica

Revisão de conjuntos numéricos  Em nosso sistema decimal de numeração, utilizamos apenas 10 algarismos, que vão de 0 a 9 , para representar quantidades.  Quando combinamos algarismos entre si, formamos numerais, que representam qualquer número (quantidade) que desejarmos representar.  Esses números podem ser classificados por tipo e divididos em conjuntos.  A Matemática chama-os de conjuntos numéricos.  Podemos pensar que esses conjuntos identificam o nível de complexidade dos números em questão.  Veremos os principais conjuntos numéricos adotados, começando pelos mais simples.

Quantificadores

Conjunto dos números racionais (ℚ) Vejamos alguns exemplos de número racionais, que incluem números decimais e dízimas periódicas:  , que é uma fração entre inteiros  , que é uma fração entre inteiros

Quantificadores

 0,71, que pode ser escrito como  - 0,3, que pode ser escrito como  5, que pode ser escrito como  2,7, que pode ser escrito como  0,4444..., que pode ser escrito como  0,121212..., que pode ser escrito como

Conjunto dos números irracionais (𝕀)  π = 3,141592653...  = 1,414221356...  = 2,23606797...

Quantificadores

 A constante π (pi) resulta da divisão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro.  Note que as casas decimais são infinitas e não periódicas, e não podemos expressar π como uma fração entre inteiros.  Conjunto dos números reais (ℝ)  ℝ = { 𝑥 | 𝑥 ∈ ℚ ou 𝑥 ∈ 𝕀}

Sentenças abertas  𝑋 é um planeta do Sistema Solar.  Nesse caso, enquanto não soubermos o que a variável 𝑋 representa, não podemos atribuir um valor lógico à sentença.  Se, por exemplo, 𝑋 assumir o valor “Saturno”, temos a proposição “Saturno é um planeta do Sistema Solar”, cujo valor lógico é verdadeiro.  Se, por exemplo, 𝑋 assumir o valor “Lua”, temos a proposição “Lua é um planeta do Sistema Solar”, cujo valor lógico é falso.

Sentenças abertas

Conjunto universo e conjunto verdade  O conjunto universo de uma variável é o conjunto de possíveis valores que podem substituir a variável de uma sentença aberta.  Chamaremos, simbolicamente, esse conjunto de 𝑈.  O conjunto universo pode ser definido pelo próprio contexto da sentença, ou imposto por algum agente, como o próprio enunciado de uma questão.  O conjunto verdade de uma variável é o conjunto de possíveis valores, pertencentes ao universo, capazes de transformar a sentença aberta em uma proposição verdadeira.  Chamaremos, simbolicamente, esse conjunto de 𝑉𝑝.

Sentenças abertas

Quantificador universal  Um quantificador é um símbolo (ou um termo) lógico capaz de fazer uma verificação sobre o conjunto de valores do universo que se tornam sentenças verdadeiras.  A função de um quantificador é tornar uma sentença aberta uma proposição lógica.  Trabalharemos com dois quantificadores: o universal e o existencial.

Quantificador

Quantificador universal  Considere que 𝑃(𝑥) é uma sentença aberta em função da variável 𝑥.  O quantificador universal expressa o fato de que, para todo elemento 𝑥 do universo, 𝑃(𝑥) será uma proposição verdadeira.  Ou seja, ao ser utilizado junto a uma sentença aberta, o quantificador universal transforma essa sentença em uma proposição, afirmando que a sentença é verdadeira para qualquer valor assumido pela variável.  Usaremos o símbolo ∀ para expressar o quantificador universal.  Em linguagem corrente, ele é lido como “todo”, “para todo”, “para qualquer” ou “qualquer que seja”.  A quantificação universal da sentença “para todo 𝑥, 𝑃(𝑥)” é dada como exposto a seguir: ∀𝑥 (𝑃(𝑥)).

Quantificador

Analise os casos a seguir: I. Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o zero. II. Os números Irracionais são aqueles que representam dízimas periódicas. III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais com os Irracionais. Assinale a alternativa correta: a) Somente a assertiva II está correta. b) Somente a assertiva III está correta. c) Somente a assertiva I está correta. d) Somente as assertivas II e III estão corretas. e) Todas as assertivas estão corretas.

Interatividade

Analise os casos a seguir: I. Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o zero. Falsa – Os números naturais são os inteiros positivos mais o zero. II. Os números Irracionais são aqueles que representam dízimas periódicas. Falsa – Podemos ter dízimas irracionais e irracionais que não são dízimas. III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais com os Irracionais. Correta – O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais. Assinale a alternativa correta: a) Somente a assertiva II está correta. b) Somente a assertiva III está correta. c) Somente a assertiva I está correta. d) Somente as assertivas II e III estão corretas. e) Todas as assertivas estão corretas.

Resposta

Quantificador existencial ∃𝑥 (𝑃(𝑥))  Essa proposição significa que existe pelo menos um valor de 𝑥 do universo para o qual a sentença 𝑃(𝑥) é verdadeira.  Nesse caso, para que tenhamos uma proposição verdadeira, basta que o conjunto verdade de 𝑥 não seja um conjunto vazio. Ou seja, 𝑉𝑝 ≠ Ø.

Quantificador

Quantificador existencial  A própria sentença quantificada pode explicitar o universo. Observe a sentença a seguir:  “Existe um 𝑥 inteiro, tal que 𝑥 é maior do que zero”.  Ela contém o quantificador existencial (existe um, ou ∃), o universo (conjunto dos números inteiros, ou ℤ) e a sentença aberta em função de 𝑥 (𝑥 é maior do que zero, ou 𝑥 > 0 ). Simbolicamente, ela pode ser expressa como o exposto a seguir: (∃𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 > 0)  Observe a sentença “Algum matemático é filósofo”.  Ela tem a forma “Algum 𝐴 é 𝐵”.  Nesse caso, há a indicação de que existe uma interseção entre os conjuntos 𝐴 e 𝐵.  Por isso, a palavra “algum” está associada à operação de conjunção.

Quantificador

Quantificador universal  O predicado é encontrado nos segundos parênteses da sentença.  Nesse caso, podemos isolar a variável 𝑥, conforme disposto a seguir:  𝑃(𝑥): 2𝑥 > 𝑥  𝑃(𝑥): 2𝑥 – 𝑥 > 0  𝑃(𝑥): 𝑥 > 0  O seu conjunto universo é expresso nos primeiros parênteses junto ao quantificador universal.  Ele é o conjunto dos números naturais não nulos.  Simbolicamente, temos o que segue: 𝑈 = ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Valores lógicos de sentenças quantificadas

Quantificador universal  Já o conjunto verdade é o conjunto de valores do universo que tornam a sentença 𝑃(𝑥) verdadeira.  Para isso, expressamos tanto o universo, quanto o predicado. 𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℕ* | 𝑥 > 0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}  Note que, nesse caso, o conjunto universo coincide com o conjunto verdade, ou seja, 𝑉𝑝 = 𝑈. Isso faz com que tenhamos uma proposição verdadeira.  Qualquer divergência entre os elementos desses conjuntos tornaria a proposição falsa.

Valores lógicos de sentenças quantificadas