Constante elástica da mola, Notas de estudo de Física

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Oscilação de um Sistema Massa-Mola

Josué Gustavo de Jesus Lima

Belo Horizonte

1 Introdução

A partir do que foi estudando na lei de Hooke, vamos abordar um

experimento aonde procuramos a constante elástica da mola, através de um

sistema massa-mola que funciona da seguinte maneira. Um objeto de massa é

colocado na extremidade da mola, nesse momento o sistema entra em

equilíbrio com as seguintes grandezas, massa (m), gravidade (g), constante

elástica (k) e deformação (x).

Ponto máximo: P = m.g + k.∆x atuando para baixo

Ponto mínimo: Fel = k.∆x atuando para cima

Na figura (1), podemos observar o sistema estável (a) e marcamos a sua

posição sendo (x0), logo em seguida, erguemos o sistema com objetos de

massas e liberamos (b), ocorre uma variação entre os pontos máximo e

mínimo, na qual é a própria deformação (∆x).

Para chegarmos à solução da constante, é preciso determinar o período

(T) que o sistema realiza entre o ponto mais baixo e o mais alto em uma

quantidade de tempo (t), com uma determinada massa.

Figura 1: Sistema em equilíbrio (a), em atividade com deformação (b)

Como está acontecendo uma interferência do homem ao experimento

iniciando o sistema diretamente utilizando as mãos é claro que haverá erros e

para termos uma maior precisão é necessários 5 tempos de 10 oscilações para

obter um resultado mais preciso, conforme os números de oscilações forem

atingidos o sistema é parado e reiniciado com uma nova contagem.

A tabela (1), demostra os valores das massas utilizadas e suas

incertezas, contendo cada experimento 5 observações, a média do tempo (tm),

período(T) e seus respectivos erros.

Tabela (1): Base de dados para o desenvolvimento do experimento.

Cálculo para a média do tempo e o período.

Tempo médio: 𝑡𝑚 =

𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑠

5

Período: 𝑇 =

𝑡𝑚

10

Também é preciso o cálculo dos erros de propagação dessas

grandezas.

Erro do tempo médio: ∆𝑡𝑚 = √

1

𝑛− 1

2

5

𝑖= 1

Sendo (n) a quantidade de observações

Erro do período: ∆𝑇 =

∆𝑡𝑚

10

Massa

do

objeto

− 3

Tempo de 10 oscilações completas para 5 observações

t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s)

Tempo

Médio

tm (s)

Período

T(s) Erro tempo médio Erro período

Para alcançar o objetivo de encontrar a constante da mola, é preciso

esboçar o gráfico período x massa, no entanto precisamos da equação que

permite obter o período, as seguintes operações demostram o calculo para se

obter a incerteza do período.

𝑚

𝑘

2

4 𝜋

𝑘

Temos a equação podemos relacionar com uma equação linear e traçar

a regressão linear, 𝑇

2

(y),

4 𝜋

𝑘

(A) e 𝑚 (x).

Desenvolvendo a incerteza, vamos precisar do y = 𝑇

2

. Derivando

obtemos ∆𝑦 = 2 𝑇∆𝑇.

Aplicamos a formula da derivada de y, obtemos os valores tabelados

presentes abaixo.

Tabela 2: Incerteza do período.

Para obter A (

4 𝜋

𝑘

) precisamos do auxílio do software SciDavis que dará

um gráfico da regressão linear do período ( 𝑇

2

) x massa (Kg), incluído suas

incertezas, sendo (A) a inclinação da reta e (B) o coeficiente angular.

Incerteza do período

3 Conclusão

Vale destacar que é possível determinar a constante de uma mola sem

utilizar a fórmula (Fel = K.x), sendo nesse caso a não dependência do valor da

deformação, apenas com as massas e tempos de oscilações foi possível obter

o resultado.

K = (11,6 ± 0, 1 ) N/m

Com o valor da constante também é possível determinar sua

deformação e logo em seguida a força exercida sobre a mola.

Referências

Vídeo aula do experimento de oscilação de um sistema massa-mola

disponibilizado pelo departamento de física da UFMG.

https://www.youtube.com/watch?v=ou4xBcnH

Roteiro do experimento disponível na turma.