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Construção de Tabelas Verdade.
Vimos que, dada uma expressão proposicional, e dados os valores lógicos das proposições simples que a compõe, podemos, com a ordem de precedência, calcular o valor lógico da expressão dada; no entanto, estaremos interessados, muitas vezes, no conjunto de valores lógicos que a expressão pode assumir, para quaisquer valores lógicos das proposições componentes.
Vejamos um exemplo. Considere a expressão proposicional
p F 0D A q F 0A E p F 0D 9 q
Anteriormente, construímos uma pequena tabela para determinar o valor lógico da expressão, a partir dos valores lógicos dos componentes; agora, vamos ampliar aquela tabela, para incluir cada combinação dos valores lógicos dos componentes.
Na expressão, existem apenas duas proposições componentes, p e q; como cada uma pode ser verdadeira ou falsa, temos quatro possibilidades: p e q ambas verdadeiras, p verdadeira e q falsa, p falsa e q verdadeira, ou, finalmente, p e q ambas falsas.
Tendo obtido também a ordem de precedência das operações, nossa tabela assume a forma:
p q (^) p F 0D A q
p F 0D 9 q
p F 0D A q F 0A E p F 0D 9 q
V V V V V
V F V F F
F V V F F
F F F F V
Uma tabela como essa, na qual são apresentados todos os valores verdade possíveis de uma proposição composta, para cada combinação dos valores verdade das proposições componentes, é chamada Tabela Verdade da proposição composta.
Cada linha da Tabela corresponde a uma possível combinação dos valores lógicos das proposições componentes; como são dois os valores lógicos, existem, para n componentes, 2n combinações possíveis. Portanto, a Tabela Verdade de uma expressão proposicional tem 2n linhas, alem do cabeçalho.
Observe que a Tabela Verdade possui dois tipos de colunas: colunas para as proposições componentes (onde são distribuídos os valores V e F de forma a incluir cada possível combinação) e colunas para as operações (onde os valores V e F são obtidos pela definição das operações); assim, se a expressão possui n componentes e m operações, a Tabela terá m + n colunas.
Para determinar unicamente a Tabela Verdade, podemos estabelecer certas convenções para sua construção:
A. Para as colunas: A.1. Dispor as proposições componentes em ordem alfabética. A.2. Dispor as operações na ordem de precedência determinada pelo Algoritmo Ordem de Precedência (Com Parênteses, se for o caso).
B. Para as linhas A.3. Alternar V e F para a coluna do último componente. A.4. Alternar V V e F F para a coluna do penúltimo componente. A.5. Alternar V V V V e F F F F para a coluna do antepenúltimo componente.
A.6. Prosseguir dessa forma, se houver mais componentes, sempre dobrando o numero de V’s e F’s para cada coluna à esquerda.
Para exemplificar, considere a expressão proposicional,
(p F 0A E q) F 0D A^ F 0D 8 ((p F 0A B r) F 0A E^ F 0D 8 r)
A precedência das operações é dada por:
(p F 0A E q) F 0D A^ F 0D 8 ((p F 0A B r) F 0A E^ F 0D 8 r) 1 6 5 2 4 3
A Tabela Verdade assume o aspecto:
p q r (^) p F 0A E q p F 0A B r F 0D 8 r (p F 0A B r) F 0A EF 0D 8 r F 0D 8 ((p F 0A B r) F 0A EF 0D 8 r) (p F 0A E q) F 0D AF 0D 8 ((p F 0A B r) F 0A E^ F 0D 8 r)
V V V V V F F V V V V F V F V V F V V F V F V F F V V V F F F F V V F F F V V V F F V F V F V F V V V V F V F F V V F F V F V F F F V V V V F V
A atribuição de valores lógicos aos componentes simples de uma proposição composta é chamada uma interpretação dessa proposição. Assim, uma proposição com n componentes simples distintos admitirá 2 n interpretações.
4. Equivalência Lógica.
De acordo com os valores lógicos que as proposições compostas assumem, em suas possíveis interpretações, elas podem ser classificadas em vários tipos:
- se a expressão assume sempre o valor V, em qualquer interpretação, é chamada uma tautologia , ou uma expressão válida; são exemplos de tautologias:
p F 0D A^ F 0D 8 p F 0 D 8 (p^ F 0 D 9 F 0 D 8 p)
- se a expressão assume o valor V em alguma interpretação, é dita satisfatível, ou consistente; evidentemente, as tautologias são exemplos de expressões satisfatíveis; outros exemplos são:
p F 0A E^ F 0D 8 p (assume V quando p é falso) p F 0D A q (assume V quando p ou q for verdadeiro)
- se a expressão assume sempre o valor F, em qualquer interpretação, é chamada uma contradição, ou uma expressão insatisfatível, ou inconsistente. São exemplos de contradições:
p F 0D 9^ F 0D 8 p F 0 D 8 (p^ F 0 D A F 0 D 8 p)
Alguns autores atribuem o nome genérico de contingências, ou expressões contingentes, às expressões satisfatíveis e inválidas. Uma expressão proposicional da forma bicondicional p F 0A B q que é, também, uma tautologia, é chamada uma equivalência (ou equivalência lógica). As proposições p e q são ditas equivalentes, e escrevemos p F 0D B q.
Por exemplo, a expressão p F 0A E q F 0A B^ F 0D 8 q F 0A E^ F 0D 8 p é uma equivalência. Veja sua Tabela Verdade:
p q (^) p F 0A E q F 0D 8 q
F 0 D 8 p
F 0 D 8 q^ F 0 A E F 0 D 8 p^ (p^ F 0 A E q)^ F 0 A B F 0 D 8 q^ F 0 A E F 0 D 8 p
V V V F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V
Escrevemos, então, p F 0A E q F 0D B^ F 0D 8 q F 0A E^ F 0D 8 p
Decorre imediatamente da definição que, se duas proposições são equivalentes, então possuem a mesma Tabela Verdade, e, reciprocamente, se duas proposições têm a mesma Tabela Verdade, são equivalentes. De fato, uma bicondicional é V se e somente se seus componentes têm os mesmos valores lógicos; como a expressão também é uma tautologia, é V em todos os casos; isto é, seus componentes têm o mesmo valor lógico em todos os casos, ou seja, têm a mesma Tabela Verdade.
Decorre ainda da definição que todas as tautologias, bem como todas as contradições, são equivalentes entre si.
Podemos mostrar também que a relação de equivalência possui as propriedades:
Reflexiva: p F 0D B p
Simétrica:Se p F 0D B q então q F 0D B p Transitiva: Se p F 0D B q e q F 0D B r então p F 0D B r
Listamos abaixo algumas das equivalência mais importantes (e úteis) da Lógica; cada uma delas pode ser provada, simplesmente mostrando que a bicondicional correspondente é uma tautologia, bastando, para isso, construir sua Tabela Verdade.
Em termos textuais, duas proposições são equivalentes quando traduzem a mesma idéia, diferindo apenas a forma de apresentar essa idéia. Apresentamos abaixo algumas das principais eqüivalências da Lógica, exemplificando textualmente algumas:
Leis da Comutatividade p F 0D 9 q F 0D B q F 0D 9 p p F 0D A q F 0D B q F 0D A p
Exemplo: “Fui ao teatro ou ao cinema” eqüivale a “Fui ao cinema ou ao teatro”
Leis da Associatividade (p F 0D 9 q) F 0D 9 r F 0D B p F 0D 9 (q F 0D 9 r)
(p F 0D A q) F 0D A r F 0D B p F 0D A (q F 0 D A r)
Leis da Distributividade p F 0D 9 (q F 0D A r) F 0D B (p F 0D 9 q) F 0D A (p F 0D 9 r)
p F 0D A (q F 0D 9 r) F 0D B (p F 0D A q) F 0D 9 (p F 0D A r)
O conceito de equivalência nos permite mostrar ainda que são suficientes as operações de negação e uma das duas, conjunção ou disjunção, para representar qualquer expressão proposicional. Para isso, necessitamos das seguintes eqüivalências:
a. Eliminando o bicondicional: p F 0A B q F 0D B (p F 0D 9 q) F 0D A ( F 0D 8 p F 0D 9^ F 0D 8 q) b. Eliminando o condicional: p F 0A E q F 0D B^ F 0D 8 p F 0D A q c. Escrevendo a disjunção em termos de conjunção: p F 0D A q F 0D B^ F 0D 8 ( F 0D 8 p F 0D 9^ F 0D 8 q) d. Escrevendo a conjunção em termos de disjunção: p F 0D 9 q F 0D B^ F 0D 8 ( F 0D 8 p F 0D A^ F 0D 8 q)
Veja o seguinte exemplo: escrever a proposição (p F 0A B q) F 0A E^ F 0D 8 p em termos de negação e disjunção:
Eliminando o condicional: F 0 D 8 (p^ F 0 A B q)^ F 0 D A F 0 D 8 p Eliminando o bicondicional: F 0 D 8 [ (p^ F 0 D 9 q)^ F 0 D A (^ F 0 D 8 p^ F 0 D 9 F 0 D 8 q) ]^ F 0 D A F 0 D 8 p Escrevendo a conjunção em termos de disjunção: F 0 D 8 [^ F 0 D 8 (^ F 0 D 8 p^ F 0 D A F 0 D 8 q)^ F 0 D A F 0 D 8 (p^ F 0 D A q) ]^ F 0 D A F 0 D 8 p
- Inferência Lógica.
Uma inferência lógica, ou, simplesmente uma inferência, é uma tautologia da forma p F 0A E q; a proposição p é chamada antecedente, e q, conseqüente da implicação. As inferências lógicas, ou regras de inferência, são representadas por p F 0D E q.
Da definição decorre imediatamente que p F 0D E q , se e somente se, o conseqüente q assumir o valor lógico V, sempre que o antecedente p assumir esse valor.
De fato, para que a condicional seja verdadeira, essa condição é necessária, pois, se o conseqüente for falso com o antecedente verdadeiro, a condicional não é verdadeira. Por outro lado, a condição também é suficiente, pois, quando o antecedente é falso, a condicional é verdadeira, não importando o valor lógico do conseqüente.
As regras de inferência são, na verdade, formas válidas de raciocínio, isto é, são formas que nos permitem concluir o conseqüente, uma vez que consideremos o antecedente verdadeiro; em termos textuais, costumamos utilizar o termo “logo” (ou seus sinônimos: portanto, em conseqüência, etc) para caracterizar as Regras de Inferência; a expressão p F 0D E q pode então ser lida: p; logo, q. É possível mostrar que as regras de inferência têm as seguintes propriedades: Reflexiva: p F 0D E p Transitiva: Se p F 0D E q e q F 0D E r, então p F 0D E r
Listamos abaixo algumas das regras de inferência mais importantes da Lógica; da mesma forma que no caso das eqüivalências, cada uma delas pode ser provada, bastando para isso construir a Tabela Verdade da condicional correspondente; se a condicional for tautológica, será uma inferência.
Vamos exemplificar com a regra de inferência conhecida por Modus Ponens:
(p F 0A E q) F 0D 9 p F 0D E q
p q (^) p F 0A E q (p F 0A E q) F 0D 9 p
(p F 0A E q) F 0D 9 p F 0A E q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
São exemplos de regras de inferência:
Regra da Adição p F 0D E p F 0D A q
Exemplo: “Vou ao cinema; logo vou ao cinema ou ao teatro”
Regra da Simplificação p F 0D 9 q F 0D E p
Exemplo: “Fui ao cinema e ao teatro; logo fui ao cinema”
Regra da Simplificação Disjuntiva (p F 0D A q) F 0D 9 (p F 0D A^ F 0D 8 q) F 0D E p
Exemplo: “Ou estudo ou trabalho; ou estudo ou não trabalho; logo, estudo”
Regra da Absorção p F 0A E q F 0D E p F 0A E (p F 0D 9 q)
Exemplo: “Se trabalho, ganho dinheiro; logo, se trabalho, trabalho e ganho dinheiro” Regra do Silogismo Hipotético (ou Condicional) (p F 0A E q) F 0D 9 (q F 0A E r) F 0D E p F 0A E r
Exemplo: “Se trabalho, ganho dinheiro, e, se ganho dinheiro, vou viajar; logo, se trabalho, vou viajar”
Regra do Silogismo Disjuntivo (ou Alternativo) (p F 0D A q) F 0D 9^ F 0D 8 p F 0D E q
Exemplo: “Ou trabalho ou estudo; não trabalho; logo, estudo” Regra do Silogismo Conjuntivo (ou Incompatibilidade) F 0 D 8 (p^ F 0 D 9 q)^ F 0 D 9 q^ F 0 D E F 0 D 8 p
Exemplo: “É falso que eu estudo e trabalho; eu trabalho; logo, não estudo”
Dilema Construtivo (p F 0A E q) F 0D 9 (r F 0A E s) F 0D 9 (p F 0D A r) F 0D E q F 0D A s
Exemplo: “Se vou à festa, fico cansado; se vejo televisão, durmo; ou vou à festa ou fico vendo televisão; logo, ou fico cansado ou durmo”
