Controle de Processos Industriais, Notas de estudo de Engenharia de Produção

Baixe Controle de Processos Industriais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity!

Alcindo do Prado Junior

Controle de

Processos Industriais

Controle de Processos Industriais______________________________________________________ i

1. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE SISTEMAS DINÂMICOS

1.1. Classificação dos Controles Quanto à Estrutura

a) Controle Manual

Fig. 1.1 – Controle Manual com Realimentação Manual

b) Controle Automático por Programa – Malha Aberta

Fig. 1.2 – Controle por Programa

c) Controle Automático com Realimentação (Feed-back)

Fig. 1.3 – Controle Automático Realimentado

d) Automação Global

Fig. 1.4 – Controle com Automação Integrada

1.2. Classificação dos Controles Quanto às Aplicações

a) Automação da Manufatura

• Em geral, em Malha Aberta;
• Inclui: CLP, CNC, Robótica;
• Industrias: Metal-Mecânica, Automobilística, Metalúrgica, Alimentícia, ... ;
• Principais grandezas:

P – Posição;

A – Aceleração;

S – Velocidade;

C – Contagem;

O – Outras;

T – Tempo.

b) Controle de Processos

• Em geral, em Malha Fechada;
• Inclui SDCDs, Computadores Industriais e Sistemas de Supervisão;
• Industrias: Química, Petroquímica, Siderurgia, ... ;
• Principais grandezas:

P – Pressão;

L – Nível;

O – Outras;

F – Vazão;

T – Temperatura;

Estão crescendo: análise de gases e umidade.

1.3. Classificação dos Controles Quanto aos Processos

a) Processos Contínuos

Um processo é dito contínuo quando a matéria-prima percorre os equipamentos e, nesse percurso, é

efetuado sobre ela o processo. Como exemplo, podemos ter o sistema de controle de temperatura

apresentado pela Figura 1.10.

b) Processos em Batelada

Diferente do processo contínuo, em que sempre há um fluxo

de massa, no processo em batelada uma porção discreta da

matéria sofre todo o ciclo de processamento, desde o seu

estado inicial até ser considerada produto acabado, quando,

então, é substituída por outra, e todo o ciclo recomeça.

A Figura 1.5 representa a produção de massa de chocolate.

Etapas:

• Introduzir os produtos A, B e C;
• Aquecer a mistura por duas horas, misturando

continuamente; e

• Escoar o produto final para dar início à nova batelada.

Fig. 1.5 – Controle em Batelada

1.6. Ações Básicas de Controle Realimentado

A Figura 1.6 mostra os elementos de um sistema de controle realimentado ( feed-back ).

Fig. 1.6 – Elementos de um sistema de controle realimentado

O Controlador Automático, a partir do erro existente entre o valor medido da saída e o valor desejado, gera um

sinal de controle que objetivará reduzir esse erro.

A maneira pela qual o Controlador produz o sinal de controle é chamada ação de controle. Dentre as inúmeras

ações de controle destacam-se, pela sua grande aplicação comercial, os controladores:

a) Controladores Liga-Desliga;

b) Controladores Proporcionais ( P );

c) Controladores Proporcionais-Integrativos ( PI );

d) Controladores Proporcionais-Derivativos ( PD );

e) Controladores Proporcionais-Integrativos-Derivativos ( PID );

1.7. Exemplos de Sistemas realimentados

Exercício : esboçar o diagrama de blocos para os sistemas de controle abaixo:

Fig. 1.7 – Sistema de Controle de Temperatura de um Forno Resistivo

Fig. 1.8 – Sistema de Controle de Nível Líquido

Fig. 1.9 – Sistema de Controle de Tração

Fig. 1.10 – Sistema de Controle de Temperatura de um Trocado de Calor

2.3. A Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace de uma função unilateral á direita f(t) ( f(t) = 0 para t<0 ) é definida como

L (^) [ ] 0

st f t F s f t e dt

∞ (^) − = = ∫

(2.7)

onde s é uma variável complexa na forma s = σ + j ω.

2.3.1. Função Degrau

Uma função importante no estudo de sistemas dinâmicos é a função degrau, que é uma função unilateral á

direita dada por:

u t t

u t A t

⎧^ =^ <

⎩ =^ ≥

(2.8)

onde A é uma constante. A Figura 2.2 ilustra a função degrau.

Fig. 2.2 – A função degrau

Aplicando-se Transformada de Laplace a essa função tem-se:

L (^) [ ] 0 0

st st u t U s Ae dt A e dt

∞ ∞ − − = = = ∫ ∫

(2.9)

0

0 0

( ) [ ]

A (^) x A (^) x A U s e dx e e e s s s

−∞ −∞ (^) −∞ = = ⎡^ ⎤ = − ⎣ ⎦ − − −

∫

(2.10)

Portanto, ( )

A

U s s

2.3.2. Função Impulso

Outra função importante no estudo de sistemas dinâmicos é a função impulso unitário, dada por:

t t

t t

⎧ =^ ≠

⎩ = ∞^ =

(2.12)

com

0

0

δ( ) t dt δ( ) t dt 1

∞ +

−∞ −

∫ ∫

. A Figura 2.3 ilustra a função impulso unitário.

Fig. 2.3 – A função impulso

Aplicando-se Transformada de Laplace a essa função tem-se:

L (^) [ ]

0 0

0

st

δ t s δ t e dt e

−

− = ∆ = = ∫

(2.13)

∆( ) s = 1 (2.14)

2.3.3. Função Exponencial

Outra função importante no estudo de sistemas dinâmicos é a função exponencial, que é uma função unilateral á

direita dada por:

t

f t t

f t Ae t

− α

⎧ =^ <

⎩ =^ ≥

(2.15)

onde A e α são constantes. A Figura 2.4 ilustra a função exponencial.

Fig. 2.4 – A função exponencial

Aplicando-se Transformada de Laplace a essa função tem-se:

L (^) [ ]

( )

0 0

t st s t f t F s Ae e dt A e dt

α α

∞ ∞ − − − + = = = ∫ ∫

(2.16)

0

0 0

( ) [ ]

A (^) x A (^) x A F s e dx e e e

s α s α s α

−∞ (^) −∞ −∞ = = ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ − + − + − +

∫

(2.17)

Portanto, ( )

A

F s

s α

(2.18)

Note que a função degrau é um caso particular da função exponencial para α = 0.

2.3.4. Função Rampa

Também a função rampa é importante no estudo de sistemas dinâmicos. Ela é definida como:

r t t

r t At t

⎧^ =^ <

⎩ =^ ≥

(2.19)

onde A é constante. A Figura 2.5 ilustra a função rampa.

2.4. Propriedades da Transformada de Laplace

2.4.1 Atraso no tempo

Considere a função f(t) unilateral à direita atrasada de α no tempo, dando origem à função f(t- α ). Para essa

função tem-se

L [ ( )] ( ), 0

s f t e F s

α

− − = ≥ (2.27)

Por exemplo, a Transformada de Laplace de um degrau atrasado de α será:

L [ ( )] ( ) , 0

s s e u t e U s s

α α

− − − = = ≥ (2.28)

2.4.2 Diferenciação real

L^ df t ( )^^ sF s ( ) f (0)

dt

⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(2.29)

Essa propriedade é muito importante devido ao fato que permite transformar equações diferenciais em simples

equações algébricas, como veremos.

onde os termos a 1 e a 2 , chamados de resíduos dos pólos s = − 1 e s = − 2 , podem ser calculados da

seguinte forma:

1

1 1

s s

s s a s s s s =− =−

⎣ +^ +^ ⎦ ⎣ + ⎦

(2.38)

2 2 2

s s

s s a s s s s =− =−

⎣ +^ +^ ⎦ ⎣ + ⎦

(2.39)

Logo,

f ( ) t = L-1^ [ F s ( ) (^) ]= L-^

s 1

+L-^

( s 2)

(2.40)

2 ( ) 2 ( 0)

t t f t e e t

− − = − ≥ (2.41)

2.5.2 Método da Expansão em Frações Parciais com pólos múltiplos

Exemplo: Achar a transformada de Laplace inversa de

2

3

s s F s s

(2.42)

A expansão de F s ( ) em frações parciais agora envolve três termos:

2 3 2 1 3 3 2

s s^ b^ b b F s s s s s

(2.43)

Os resíduos b 1 , b 2 e b 3 podem ser calculados através de identidade polinomial:

2 2 3 2 1 3 3

2 3 (^ 1)^ (^ 1)

s s^ b^ b^ s^ b^ s F s s s

+ +^ +^ +^ +^ +

(2.44)

2 2 1 1 2 1 2 3 3 3

s s b s b b s b b b F s s s

(2.45)

Dessa forma tem-se:

1 1

1 2 2

1 2 3 3

b b

b b b

b b b b

⎨ +^ =^ ⇒^ ⎨ =

⎩ +^ +^ =^ ⎩ =

(2.46)

Assim,

f ( ) t = L

• [ F^ ( ) s^ ]=^ L -

( )

3

s 1

• L

( )

2

s 1

• L

( s 1)

(2.47)

( )

2 2 ( ) 1 ( 0)

t t t f t t e e t e t

− − − = + = + ≥ (2.48)

2.5.3 Resolução de Equações Diferenciais Lineares Invariantes no Tempo

Estudaremos este tópico também através de exemplos.

Exemplo 1 : Achar a solução x(t) da equação diferencial:

x &&^ + 3 x &^ + 2 x = 0, x (0) = 1, x &^ (0) = 0 (2.49)

Aplicando-se Transformada de Laplace à (2.49) tem-se:

L [ ]&& x^ + 3 L [ ] x &^ + 2 X s ( ) = 0 (2.50)

A partir da propriedade (2.29) tem-se:

L [ ] x &^ = sX s ( ) − x (0) (2.51)

L [ ]&& x^ = s L

2 [ ] x &^ − x &^ (0) = s X s ( ) − sx (0) − x &(0)^ (2.52)

Usando-se (2.51) e (2.52) a (2.50), tem-se

[ ]

2 ⎡ (^) s X s ( ) − sx (0) − x (0) ⎤+ 3 sX s ( ) − x (0) + 2 X s ( ) = 0 ⎣ ⎦

ou 2 ( s + 3 s + 2) X s ( ) = s + 3 (2.54)

Daí resulta

2

s s X s s s s s s s

(2.55)

ou 2 ( ) 2 ( 0)

t t x t e e t

− − = − ≥ (2.56)

Exemplo 2 : Achar a solução x(t) da equação diferencial:

x && + 3 x & + 5 x = 3, x (0) = 0, x & (0) = 0 (2.57)

Aplicando-se Transformada de Laplace à (2.54) tem-se:

s X s ( ) 3 sX s ( ) 5 X s ( ) s

Daí resulta

2

X s s s s

(2.59)

Usando-se a linha 24 da tabela de Transformada de Laplace com ω n = 5 e

ξ = tem-se:

2 1

2

n t x t e sen (^) nt tg

(2.60)

Exercício : Usar o Matlab para visualizar a equação (2.60).

t=0:0.1:10; % Definição da variável tempo

wn=sqrt(5);

q=3/(2*wn) ;

x=3/5(1-1/sqrt(1-q^2)exp(-qwnt).sin(wnt+atan(sqrt((1-q^2)/q))));

plot(t,x)

3.2. Função de Transferência e Blocos Funcionais

A partir da definição da Função de Transferência G s ( ) em (3.3) pode-se escrever

Y(s) = G(s) U(s) (3.10)

Em forma de bloco funcional, a equação (3.10) fica como apresentado pela Figura 3.1,

Fig. 3.1 – Bloco da Função de Transferência G(s)

A função de Transferência é portanto uma outra maneira de se representar sistemas lineares invariantes no tempo

causais e em repouso (condições iniciais nulas).

3.3. Operações com Blocos

3.3.1 Blocos em Cascata

A Figura 3.2 ilustra um sistema com dois sub-sistemas em cascata, onde a saída do primeiro sub-sistema é a

entrada do segundo sub-sistema

Fig. 3.2 – Blocos em Cascata

A Função de Transferência para esse sistema vale:

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Y s G s G s G s U s

= = (3.11)

3.3.2 Blocos em Soma

A Figura 3.3 ilustra um sistema com dois sub-sistemas sendo somados.

Fig. 3.3 – Blocos sendo somados

A Função de Transferência para esse sistema vale:

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Y s G s G s G s U s

= = ± (3.12)

3.3.3 Realimentação

A Figura 3.4 ilustra um sistema com dois sub-sistemas, sendo um no caminho direto e o outro realizando uma

realimentação.

Fig. 3.4 – Sistema realimentado

A Função de Transferência para esse sistema pode ser calculada da forma

C s ( ) = G s E s ( ) ( ) (3.13)

Mas,

E s ( ) = R s ( ) − H s C s ( ) ( ) (3.14)

Usando-se (3.13) e (3.14) resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )

C s G s G s R s G s H s

= =

(3.15)

Exercício: Um determinado sistema de controle apresenta o diagrama de blocos apresentado na Figura 3.5.

Determinar as funções de transferência:

a) (^1)

C s G s R s

= b) (^2)

C s G s N s

Fig. 3.5 – Sistema de controle realimentado

3.4. Modelamento Matemático de Sistemas Mecânicos

3.4. 1 Sistemas Mecânicos Translacionais

Considere a Figura 3.6, que mostra um corpo de massa m , sujeito a uma força F, se movendo em uma superfície

que proporciona atrito viscoso com coeficiente de atrito b , e preso a uma mola com Constante de Hooke k.

A variável y representa a posição da massa em relação a um referencial fixo, quando a mola está em repouso.

Fig. 3.6 – Sistema mecânico translacional