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Apostila Completíssima de controle e servomecanismos (Servo motores) Tudo sobre, muito boa!
Tipologia: Notas de estudo
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Compartilhado em 13/05/2011
4 documentos
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Introduc¸ ˜ao ao Controle Autom ´atico
Terminologia b´asica Malha aberta × malha fechada Exemplos ilustrativos
Sistema. O termo sistema designa um arranjo, conjunto ou colec¸ ˜ao de compo- nentes conectados ou relacionados de maneira a formar ou agir como uma uni- dade. Um sistema n˜ao ´e algo necessariamente f´ısico. O termo pode ser usado em referˆencia a sistemas econˆomicos, biol´ogicos ou mecˆanicos, entre outros;
Controle. O termo controle e usualmente empregado no sentido de regulac´ ¸ ˜ao, direcionamento ou comando. Um sistema de controle seria um arranjo de com- ponentes conectados ou relacionados de maneira a se auto-regular (direcionar, co- mandar), ou regular (direcionar, comandar) um outro sistema.
Planta. O termo planta (ou processo , ou sistema controlado ) ´e usado para de- signar o sistema que ´e objeto da ac¸ ˜ao do sistema de controle.
dor poderia ser simplesmente um transdutor , que converteria a posic¸ ˜ao desejada (vari´avel de referˆencia) em radianos ou graus na tens˜ao necess´aria para produz´ı-la. Num tanque para aquecimento de ´agua (planta), as vari´aveis de controle e con- trolada s˜ao, respectivamente, a quantidade de calor transferida ao tanque e a tem- peratura resultante da ´agua. Um controlador converteria a temperatura desejada (vari´avel de referˆencia) na quantidade de calor necess´aria para atingi -la.
r u y Controlador Planta
Figura 1.2: Sistema em malha aberta.
PSfrag replacements
r e u y Controlador Planta
Sensor
Comparador
Figura 1.3: Sistema em malha fechada.
de que a sa´ıda y e medida e comparada com a sa´´ ıda desejada, indicada atrav´es da referˆencia r, para processamento atrav´es do controlador e a consequente definic¸ ˜ao da ac¸ ˜ao de controle u.
pons´avel pela atuac¸ ˜ao na planta, como na Figura 1.4, atrav´es do bloco **Atuador**. Em sistemas f´ısicos, o atuador ´e o componente que gera a potˆencia necess´aria para produzir a sa´ıda do sistema. A descric¸ ˜ao do atuador pode ser incorporadaa do controlador ou `a da planta. Neste curso, optamos por designar de controlador ape- nas a parte do sistema que ´e efetivamente projet´avel, sendo o atuador geralmente considerado como parte integrante da planta.PSfrag replacements
r e (^) y Controlador Planta
Sensor
Atuador
Figura 1.4: Sistema explicitando o atuador.
sideradas. O diagrama da Figura 1.5 involve dois grupos de trˆes vari´aveis com caracter´ısticas distintas. As vari´aveis r, w e v s˜ao entradas externas (independen- tes), no sentido de que afetam, mas n˜ao s˜ao afetadas pelas vari´aveis e, u e y. As vari´aveis e, u e y representam sa´ıdas controladas (dependentes).
Controle manual. Tipo de controle em malha fechada no qual a realimentac¸ ˜ao ´e implementada atrav´es de um operador humano, que realiza uma ou mais das func¸ ˜oes de comparador, controlador ou sensor.
Controle autom´atico. Tipo de controle em malha fechada no qual as func¸ ˜oes de comparador, controlador e sensor s˜ao executadas sem a intervenc¸ ˜ao humana, atrav´es de sistemas eletrˆonicos, hidr´aulicos ou pneum´aticos, por exemplo.
Servomecanismo. O termo servomecanismo surgiu no contexto do desenvolvi- mento de certos mecanismos de controle de posic¸ ˜ao. O termo problema do servo- mecanismo serve atualmente para designar o problema de fazer a sa´ıda do sistema seguir ( acompanhar, rastrear ) uma referˆencia especificada.
Regulac¸ ˜ao. O termo regulac¸ ˜ao e empregado para designar a func´ ¸ ˜ao de controle que visa manter a sa´ıda do sistema razoavelmente pr ´oxima `a uma referˆencia espe- cificada. O termo problema da regulac¸ ˜ao designa o problema de regular a sa´ıda do sistema.
do eixo comec¸ar a seguir uma func¸ ˜ao tipo degrau, de amplitude igual a posic¸ ˜ao desejada) constitui um problema de servomecanismo. Manter a posic¸ ˜ao do eixo suficentemente pr´oxima `a posic¸ ˜ao desejada, a despeito de poss´ıveis dist´urbios que possam afetar o sistema, constitui um problema de regulac¸ ˜ao.
O sinal de erro de posic¸ ˜ao ´e transmitido ao amplificador, o qual por sua vez gera uma entrada de controle para um motor DC de im˜a permanente, respons´avel pelo posicionamento do brac¸o da leitora. PSfrag replacements
Amplificador Motor e Brac¸o
Posic¸ ˜ao Posic¸ ˜ao
Desejada Leitura
Sensor
Figura 1.7: Sistema de controle da posic¸ ˜ao de leitura.
Biomedicina
insulina como pr´e-programado num gerador de sinal.
PSfrag replacements
Insulina
Glicose
Concentrac¸ ˜ao
Caf´e Almoc¸o Jantar tempo
Figura 1.8: Perfis normais de glicose e insulina.
PSfrag replacements
Gerador de Sinal (Programado)
Motor, Bomba e V´avula
v(t)
(tens˜ao)
u(t)
Taxa de Insullina
Figura 1.9: Controle em malha aberta de glicose.
Economia
Resposta Temporal
Func¸ ˜ao de transferˆencia Ganho DC Sistemas de primeira ordem Sistemas de segunda ordem
y(n)^ + an− 1 y(n−1)^ + · · · + a 1 y˙ + a 0 y = bmu(m)^ + bm− 1 u(m−1)^ + · · · + b 1 u˙ + b 0 u (m ≤ n),
na qual y e u s˜ao as vari´aveis de sa´ıda e de entrada do sistema e a 0 , a 1 ,... , an− 1 , b 0 , b 1... , bm s˜ao coeficientes constantes. A sa´ıda y fica completamente caracte- rizada a partir do conhecimento da entrada u, e das condic¸ ˜oes iniciais y(0), y˙(0),
... , y(n−1)(0). Aplicando a Transformada de Laplace (L) a ambos os lados da equac¸ ˜ao diferencial supondo condic¸ ˜oes iniciais nulas e dividindo Y (s) = L[y(t)] por U (s) = L[u(t)], obtemos a func¸ ˜ao de transferˆencia do sistema:
G(s) =
Y (s) U (s)
bmsm^ + bm− 1 sm−^1 + · · · + b 1 s + b 0 sn^ + an− 1 sn−^1 + · · · + a 1 s + a 0
G(s) = k(s − z 1 )(s − z 2 ) · · · (s − zm) (s − p 1 )(s − p 2 ) · · · (s − pn)
na qual k e uma constante,´ z 1 , z 2 ,... , zm s˜ao as ra´ızes do numerador e p 1 , p 2 ,
... , pn s˜ao as ra´ızes do denominador de G(s). Se a func¸ ˜ao de transferˆencia for irredut´ıvel , isto ´e, se zi 6 = pj para todo i e todo j, dizemos que z 1 , z 2 ,... , zm s˜ao
os zeros e que p 1 , p 2 ,... , pn s˜ao os p´olos de G(s). Ao lidarmos com sistemas re- presentados pelas suas func¸ ˜oes de transferˆencia devemos atentar para as seguintes propriedades b´asicas:
Passo 1: Obtenha a Transformada de Laplace da entrada: U (s) = L[u(t)];
Passo 2: Calcule Y (s) = G(s)U (s). Expresse Y (s) como soma de frac¸ ˜oes par- ciais : Y (s) = Y 1 (s) + Y 2 (s) + · · · + Yn(s);
Passo 3: Obtenha as anti-transformadas de Laplace das frac¸ ˜oes de Y (s). A soma dos termos resultantes ´e a reposta temporal do sistema:
y(t) = L−^1 [Y 1 (s)] + L−^1 [Y 2 (s)] + · · · + L−^1 [Yn(s)], t ≥ 0.
Os Passos 1 e 3 s˜ao normalmente executados com o aux´ılio de uma Tabela de Transformadas de Laplace. O Passo 2 envolve o c´alculo dos res´ıduos associados `as frac¸ ˜oes parciais de Y (s), atrav´es de regras dependentes da natureza dos p ´olos de G(s) (distintos, m´ultiplos, complexos).
O termo k da resposta ao degrau unit´ario (2) ´e devido ao p´olo na origem de U (s), e ´e chamado de resposta forc¸ada ou resposta em regime do sistema, porque o termo permanece quando t tende ao infinito. O termo ke−t/τ^ e devido ao p´´ olo de G(s), e ´e chamado por sua vez de resposta transit ´oria ou resposta natural do sistema, porque o termo desaparece quando t tende ao infinito. A Figura R1. ilustra a resposta t´ıpica de um sistema de primeira ordem `a entrada degrau unit´ario. Para obter a resposta a um degrau de amplitude A, basta multiplicar a sa´ıda por A.
Time (sec.)
Amplitude
Step Response
(^00) 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1 From: U(1)
To: Y(1)
Figura R1.1: Resposta ao degrau unit´ario (k = 1, τ = 0. 5 s).
t e−t/τ 0 1 τ 0. 2 τ 0. 3 τ 0. 4 τ 0. 5 τ 0.
permanecer igual a A por um per´ıodo superior a 4 τ s, o valor da sa´ıda tender´a `a constante G(0)A.
Y (s) =
k s^2 (τ s + 1)
(k/τ ) s^2 (s + 1/τ )
kτ s
k s^2
kτ s + (1/τ )
A anti-transformada de Y (s) (resposta `a rampa) ´e
y(t) = kt + kτ e−t/τ^ − kτ, t ≥ 0.
O fator que multiplica a exponencial agora depende de τ. Quanto maior τ , mais prolongada ser´a a resposta transit´oria do sistema. A resposta em regime a rampa unit´aria, isto ´e, a parte da respostaa rampa que permanece quando t tende ao infinito, ´e y(t)re = kt − kτ (t → ∞). Observamos que a resposta a rampa tende a uma reta de inclinac¸ ˜ao k. A Figura R1.2 ilustra a resposta t´ıpica de um sistema de primeira ordema entrada rampa unit´aria. Do mesmo modo, para obter a resposta a uma rampa de inclinac¸ ˜ao A (s−^1 ), basta multiplicar a sa´ıda por A.
(^00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PSfrag replacements
t (s)
u
y
Figura R1.2: Resposta do sistema `a rampa unit´aria (k = 1, τ = 0. 5 s).
Y (s) =
s
s + 2ξωn s^2 + 2ξωns + ω^2 n
s
s + ξωn (s + ξωn)^2 + ω^2 d
ξωn (s + ξωn)^2 + ω^2 d
Anti-transformando Y (s) com o aux´ılio de uma Tabela de Transformadas, ob- temos ent˜ao
y(t) = 1 − e−ξωnt
cos ωdt + ξ √ 1 − ξ^2
sen ωdt
e−ξωnt √ 1 − ξ^2
sen
ωdt + tg−^1
1 − ξ^2 ξ
, t ≥ 0.
A resposta oscila com freq¨uˆencia amortecida ωd e tende a 1 (amplitude do degrau unit´ario) quando t tende ao infinito. Se ξ = 0 (ωd = ωn), obtemos
y(t) = 1 − cos ωnt, t ≥ 0.
A resposta oscila sem amortecimento em torno de 1 na freq ¨uˆencia natural ωn. Dizemos neste caso que a resposta ´e n˜ao-amortecida.
Resposta criticamente amortecida. Se ξ = 1, ent˜ao
s^2 + 2ξωns + ω^2 n = (s + ωn)^2
e as ra´ızes s˜ao reais e m´ultiplas. A resposta correspondente, n˜ao-oscilat´oria, ´e
y(t) = 1 − e−ωnt(1 + ωnt), t ≥ 0 ,
sendo chamada de criticamente amortecida.
Resposta super-amortecida. Se ξ > 1 , ent˜ao
s^2 + 2ξωs + ω^2 n =
−ξωn + ωn
ξ^2 − 1
−ξωn − ωn
ξ^2 − 1
e as ra´ızes s˜ao reais e distintas. A resposta correspondente, n˜ao-oscilat´oria, ´e
y(t) = 1 + ωn 2
ξ^2 − 1
es^1 t s 1
es^2 t s 2
, t ≥ 0 ,
na qual s 1 , 2 = −ξωn ± ωn
ξ^2 − 1 , sendo chamada de super-amortecida. Se |s 1 | << |s 2 |, ent˜ao es^2 t^ decai muito mais r´apido do que es^1 t^ e a resposta pode ser aproximada por
y(t) ' 1 +
ωn 2
ξ^2 − 1
es^1 t s 1 , t ≥ 0.
Dizemos que a ra´ız s 1 ´e dominante em relac¸ ˜ao a s 2. A resposta obtida ´e tipicamente a de um sistema de primeira ordem.