CONTROLO DE SISTEMAS DINÂMICOS, Trabalhos de Sistemas de Controle Avançados

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CONTROLO DE

SISTEMAS DINÂMICOS

Tempo contínuo e tempo discreto

Rui Neves-Silva

1. Introdução

As disciplinas de Controlo de Sistemas Dinâmicos atravessam horizontalmente as diversas engenharias tradicionais - como a eletrotecnia, mecânica ou química - e ainda outras áreas do conhecimento como, por exemplo, a biologia ou a economia.

A Teoria do Controlo tem dois objetivos de base:

 Permitir compreender a natureza dinâmica dos sistemas;  Fornecer métodos para modificar o desempenho dinâmico dos sistemas.

Mas antes de mergulharmos nestas abordagens, vamos definir alguns dos conceitos importantes para a sua compreensão.

Com generalidade, define-se sistema contínuo como uma estrutura organizada de transferência de um sinal 𝑢(𝑡) noutro sinal 𝑦(𝑡), ambos existentes no tempo contínuo 𝑡. Se T[. ] representar simbolicamente o operador de transferência, então escreve-se

𝑦(𝑡) = T[𝑢(𝑡)]

A 𝑢(𝑡) dá-se o nome de entrada, excitação ou estímulo; e a 𝑦(𝑡) de saída, resposta ou reacção. Para início, neste curso, pensemos apenas em sistemas univariáveis, ou seja, com apenas uma entrada e uma saída. Estes sistemas são habitualmente designados por SISO (de Single-Input Sigle-Output ). Mais tarde, veremos que todos estes conceitos são generalizáveis para o caso de múltiplas entradas e saídas (MIMO de Multiple-Input Multiple- Output ).

O sistema pode ainda ser representado de uma forma esquemática através de um bloco que opera a entrada 𝑢(𝑡) na saída 𝑦(𝑡). Os percursos dos sinais são representados por setas como se observa na Figura 1.1.

Figura 1.1 – Representação esquemática de um sistema.

O conceito mais importante associado à teoria dos sistemas dinâmicos é exatamente o conceito de dinâmica. Um sistema é dinâmico se a sua saída atual depende também das entradas passadas, i.e. se tem memória. Em oposição, se depender apenas da entrada atual, o sistema diz-se estático. A dinâmica de um sistema é a sua riqueza, ou melhor, a sua personalidade. Mais do que a forma como o sistema responde aos estímulos exteriores (a

Um dos objetivos deste texto é introduzir o conceito de controlo automático. O controlo prende-se com a modificação do desempenho dinâmico de sistemas físicos que iremos designar por instalações.

A instalação é um sistema físico cliente. O engenheiro responsável pelo projeto de um sistema de controlo não tem, normalmente, acesso a modificar a instalação. Esta instalação pode ser, por exemplo, uma máquina elétrica, ou um processo químico, ou uma caldeira a gás. O controlador é o sistema a projetar, exterior à instalação, que agregado com aquela resultará num sistema de controlo com o comportamento dinâmico desejado.

A Figura 1.2 representa um sistema de controlo por retroação para regulação.

Figura 1.2 – Sistema de controlo por retroação.

A ação de controlo por retroação será desenvolvida mais à frente neste texto, mas realiza uma função básica que é natural para o ser humano. No caso da figura, se o nível do tanque 2 está mais alto que o valor desejado, reduz-se o caudal na bomba através do seu comando; se o nível se encontra abaixo do valor desejado aumenta-se a entrada de água. Fácil de apresentar, mas existe uma infinidade de comportamentos dinâmicos diferentes que uma instalação pode apresentar e a forma de compreender esses comportamentos e o subsequente projeto da unidade controladora serão o objeto deste texto.

Os passos para a construção de um modelo de um sistema físico são os apresentados nos parágrafos seguintes.

Inicia-se pelo desenho de um esquema da instalação, definindo as variáveis físicas relevantes, nomeadamente, as entradas de atuação, saídas medidas por sensores e outras variáveis que representem a acumulação de energia nos diversos componentes.

De seguida, escrevem-se as equações para cada componente usando as leis físicas adequadas (e.g. a lei de Newton para uma massa sob a ação de uma força ou a lei característica de um componente eletrónico).

Combinam-se as equações obtidas de acordo com o primeiro esquema de forma a obter o modelo matemático completo.

Se possível, verifica-se a validade do modelo, comparando resultados obtidos experimentalmente na instalação com a solução das equações do modelo matemático sujeitos aos mesmos sinais de excitação.

Se o resultado final não for satisfatório devemos reiniciar o processo realizando uma descrição mais detalhada das componentes dominantes.

No entanto, nem sempre é possível ou praticável realizar a modelação a partir de leis físicas de todas as componentes. Podemos, nesses casos, socorrer-nos de modelos fornecidos pelos fabricantes das partes ou pela análise direta dos sinais de excitação-reação. Este último processo é designado por identificação do modelo.

Os exemplos seguintes ilustram o processo de modelação em algumas áreas diferentes da engenharia.

Exemplo 2.

Considere a instalação para o comando da posição φ de uma antena cujo esquema tecnológico está representado na Figura 2.2.

Figura 2.2 – Esquema tecnológico da instalação do Exemplo 2.1.

O primeiro passo será então identificar as principais variáveis físicas que intervêm no funcionamento da instalação. São estas (ver Figura 2.2):

 a tensão de comando 𝑢(𝑡) à entrada da fonte de potência;  a potência elétrica 𝑃(𝑡) que é fornecida ao motor;  o binário mecânico 𝐵(𝑡) que é transmitido do motor para a estrutura móvel da antena;  a posição azimutal φ(𝑡) da antena.

Figura 2.3 – Esquema funcional da instalação do Exemplo 2.1.

Os passos seguintes passariam por encontrar, para cada um dos três componentes, a relação entre as variáveis físicas à entrada e à saída. Este exemplo será deixado por aqui. No entanto, existe uma questão fundamental ilustrada neste exemplo. Embora as variáveis 𝑢, 𝑃, 𝐵 e φ estejam presentes nas Figura 2.2 e Figura 2.3, são em cada uma das figuras entidades diferentes! Na primeira, são variáveis físicas: uma tensão de comando 𝑢 , em volt, uma potência eléctrica 𝑃, em watt, etc. Na segunda figura, as variáveis, que representam as variáveis físicas, são funções, ou melhor, são sinais, no tempo contínuo. Os sinais são transmitidos entre os blocos funcionais sem carregarem os blocos que os transmitem e não representam a fluidez de qualquer entidade física como e.g. massa ou energia. A fluência é apenas de informação.

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onde ρar é a densidade do ar, em kgm−3^ , e 𝑆ar é o calor específico do ar, em Jkg−1K−^. Substituindo esta relação na equação de conservação anterior, resulta (verifique como exercício) ρar𝑉𝑆ar 𝜅𝐴 ∙

d𝑇i(𝑡) d𝑡 + 𝑇i(𝑡) = 𝑇o(𝑡)

tal que, para que esta equação seja dimensionalmente correta, a constante

τ = ρar 𝜅𝐴𝑉𝑆ar

tem a dimensão de um tempo. O parâmetro τ é a constante de tempo da habitação e é uma quantificação de quão rápida será a evolução da temperatura interior face a uma variação no exterior. Assim, o modelo da instalação é dado na forma de uma equação diferencial (linear) de 1º grau, dada por

τ ∙ d𝑇d𝑡i(𝑡) + 𝑇i(𝑡) = 𝑇o(𝑡)

No capítulo seguinte teremos oportunidade de estudar a evolução temporal deste sistema e assim, estarmos habilitados a comparar a solução desta equação com resultados experimentais disponíveis.

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Exemplo 2.

Este outro exemplo considera um sistema clássico massa, mola e amortecedor, como o existente na suspensão de um automóvel vulgar (Figura 2.6). Por simplicidade, considere-se que o pneu faz uma ligação rígida ao solo.

Figura 2.6 – Esquema da instalação do Exemplo 2.3.

As características dos elementos mola e amortecedor são conhecidas e dadas, respetivamente, pelas expressões das forças 𝐹m = −𝐾(𝑥 − 𝑥 0 ) 𝐹a = −𝐵 (d𝑥d𝑡 − d𝑥 d𝑡^0 ) = −𝐵 d𝑥d𝑡

onde 𝑥 0 é a posição em repouso (equilíbrio entre a força gravítica 𝐹g e a tensão na mola); 𝐾 é

a constante da mola em Nm−1; e 𝐵 é a constante do amortecedor em Nsm−1. Agora, podemos utilizar a lei de Newton para escrever

𝑀 d

d𝑡^2 = 𝐹m(𝑡) + 𝐹a(𝑡) − 𝐹g(𝑡)

ou, por substituição,

𝑀 d

d𝑡^2 = −𝐾(𝑥(𝑡) − 𝑥^0 ) − 𝐵

d𝑥(𝑡) d𝑡 − 𝑀g

Mas, como pela condição do repouso, 𝐾𝑥 0 = 𝑀g, obtém-se

𝑀 d

d𝑡^2 = −𝐾𝑥(𝑡) − 𝐵

d𝑥(𝑡) d𝑡

resultando no modelo final de 2ª ordem d^2 𝑥(𝑡) d𝑡^2 +

B

M ⋅

d𝑥(𝑡) d𝑡 +

K

M ⋅ 𝑥(𝑡) = 0

Note-se que o sistema do exemplo anterior não é excitado por qualquer variável exterior (à parte da força da gravidade que é constante e, portanto, não realiza excitação). Um sistema sem excitação exterior diz-se autónomo.

Exemplo 2.

Mudemos agora para algo tecnologicamente muito diferente. Consideremos o comportamento elétrico de uma antena que tem no circuito RLC série um esquema equivalente (Figura 2.7).

Figura 2.7 – Esquema da instalação do Exemplo 2.4.

As características dos elementos indutor, resistência e condensador são dadas, respetivamente, pelas expressões

𝑉L = 𝐿 d𝐼 d𝑡L

𝑅 𝐿 = 10^3

𝐵 𝑀 e^

1 𝐿𝐶 = 10^6

𝐾 𝑀

O ponto importante é que através da modelação matemática podemos estabelecer uma plataforma comum de análise de sistemas, independentemente da sua origem tecnológica. No entanto, o engenheiro nunca deve perder a distância ao sistema físico original e das limitações inerentes ao processo de modelação. O modelo matemático não é a instalação física, tal como uma maquete realizada por um arquiteto não é o edifício construído pelo engenheiro civil.

2.2. Linearização de sistemas físicos

Um sistema linear em tempo contínuo pode ser sempre colocado na forma de uma equação diferencial como

d𝑛𝑦(𝑡) d𝑡𝑛^ + 𝑎^1

d𝑛−1𝑦(𝑡) d𝑡𝑛^ + ⋯ + 𝑎𝑛−

d𝑦(𝑡) d𝑡𝑛^ + 𝑎𝑛𝑦(𝑡) = 𝑏 0 d

d𝑡𝑛^ + 𝑏^1

d𝑚−1𝑢(𝑡) d𝑡𝑛^ + ⋯ + 𝑏𝑚−

d𝑢(𝑡) d𝑡𝑛^ + 𝑏𝑚𝑢(𝑡)

ou seja, uma combinação linear das derivadas da ordem 0 até à ordem 𝑛 para a saída 𝑦; e uma combinação linear das derivadas da ordem 0 até à ordem 𝑚 para a entrada 𝑢.

No entanto, os sistemas físicos não são, em geral, lineares. É vasta a literatura que se dedica ao seu estudo. Qual é então o interesse do estudo dos sistemas lineares e o que fazer quando o sistema físico resultar num modelo não linear?

O interesse advém de duas razões. A primeira prende-se com a relativa facilidade com que desenvolvem ferramentas para tratar os sistemas lineares, que resultam da própria característica linear (sobreposição e escalamento). No entanto, não chega termos um martelo na mão para que todos os problemas sejam pregos. O segundo motivo, mais importante, está relacionado com a finalidade deste texto, o controlo. O controlo por retroação realiza uma linearização do sistema, ou seja, uma instalação não linear colocada em anel fechado será mais linear. Assim, parte-se do modelo para a instalação não linear; lineariza-se em torno de um ponto de operação adequado; projeta-se o controlador para o modelo linearizado e, no final, o controlador garantirá a manutenção do funcionamento da instalação em redor do ponto de operação em que o modelo foi linearizado.

Exemplo 2.

Considere-se a instalação esquematizada na Figura 2.8. Uma bomba comandada pelo sinal de atuação 𝑢(𝑡) fornece água, através do tanque 1, a um sistema de dois tanques ligados por um tubo de ligação de secção conhecida. O tanque 2, à direita, tem ainda um tubo de extração,

por onde a água escoa livremente. Este tanque está instrumentado com um sensor de nível de água, produzindo o sinal de saída 𝑦(𝑡). Os tanques têm ambos área da base 𝐴.

Figura 2.8 – Esquema da instalação do Exemplo 2.5.

A primeira tentação para identificar a entrada e a saída da instalação é observar por onde a água entra e sai! No entanto, como não somos canalizadores, devemos identificar as entradas e saídas, não de água, mas de sinal. À análise do comportamento dinâmico dos sistemas interessa a relação entre sinais. Sinais de entrada (comando de velocidade da bomba) que provocam variações no sinal de saída (medida do nível no tanque). Esta distinção é crucial ao entendimento dos sistemas dinâmicos.

Façamos então o modelo matemático desta instalação começando por desenhar o respetivo esquema funcional (ver Figura 2.9). Explicando o esquema, temos uma função, representada pelo bloco Bomba que relaciona o sinal de comando da bomba 𝑈(𝑡) com o caudal volumétrico 𝐶i(𝑡) que entra no tanque 1. Por outro lado, existirá um caudal 𝐶 12 (𝑡) no tubo de ligação do tanque 1 para o tanque 2, positivo se for do tanque 1 para o tanque 2, negativo se for no sentido inverso. A diferença entre aqueles caudais 𝐶i(𝑡) − 𝐶 12 (𝑡) é o balanço do volume de água que entra no tanque 1 por unidade de tempo. Integrando esta diferença e dividindo pela área do tanque 1 (uniforme ao longo da altura do tanque) obtém-se o nível de água no tanque, ou seja

𝐻 1 (𝑡) =^1 𝐴 ∫ (𝐶i(𝜎) − 𝐶 12 (𝜎))

𝑡 −∞

d𝜎

ou na versão diferencial

d𝐻 1 (𝑡) d𝑡 =

𝐴 (𝐶i(𝑡) − 𝐶^12 (𝑡))