Conversores, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Dispositivos Conversores

Eletromagnéticos de Energia

• 2.1 Introdução................................................................................................................................................................
• 2.2 Conservação de Energia.......................................................................................................................................
• 2.3 SISTEMA MAGNÉTICO DE EXCITAÇÃO ÚNICA............................................................................................
  • 2.3.1 TENSÃO INDUZIDA E ENERGIA MAGNÉTICA ARMAZENADA EM UMABOBINA...........................
  • 2.3.2 FORÇA MECÂNICA E ENERGIA EM UM RELÉ.......................................................................................
• 2.4 FUNÇÃO DE ESTADO, VARIÁVEIS, CO-ENERGIA........................................................................................
• 2.5 Sistemas de Campo Elétrico de Excitação Única..........................................................................................
  • 2.5.1 Balanço de Energia
  • 2.5.2 VARIÁVEIS, CO-ENERGIA........................................................................................................................
  • 2.5.3 FORÇA...........................................................................................................................................................
• 2.6 SISTEMA COM DUPLA EXCITAÇÃO..............................................................................................................
  • 2.6.1 ENERGIA ARMAZENADA NO CAMPO...................................................................................................
  • 2.6.2 TORQUE ELETROMAGNÉTICO.............................................................................................................
• EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Ação geradora:

Energia Perdas Energia Energia

Mecânica = de + Armazenada + Elétrica

de Energia no de

Entrada Campo Saída

We = Wp + Wcmp + Wmec 2.

Pode-se classificar, ou melhor, enumerar as perdas da seguinte forma:

a) Perdas elétricas – através da resistência dos enrolamentos (reqi

2 );

b) Perdas no acoplamento magnético – através do núcleo (Histerese e Foucaut);

c) Perdas Mecânicas – através dos atritos (mancais) e ventilação.

Uma outra representação do sistema anterior, pode ser obtido, levando-se em conta as

perdas de energia de acordo com sua procedência, onde o primeiro membro da equação 2.1 é

expresso em termos das correntes e tensões no circuito elétrico do dispositivo. A fig. 2.1 mostra

essa configuração.

Calor (reqi

2 ) Calor Perdas Perdas

Magnéticas Calor Mecânicas

req

• i -

vf e

Ação motora Ação geradora

Fig.2.

Considerando-se o sistema anterior operando como ação motora, o diferencial de

energia da fonte elétrica no tempo dt é vf idt e, a perda de energia na resistência do dispositivo

será reqi

2 dt.

A energia líquida de entrada será:

dWe=vf idt-reqi

2 dt

dWe=(vf -reqi)i

2 dt 2.

E, pela Lei de Kirchhorff, tem-se:

vf -reqi=e (f.c.e.m ou f.e.m.) 2.

Substituindo-se 2.4 em 2.3, tem-se:

dWe=eidt 2.

Pode-se expressar a equação 2.5, levando-se em consideração a energia de

acoplamento magnético mais a energia mecânica, da seguinte forma:

Suponha-se que o sistema seja ideal (sem perdas), então pode-se escrever:

dWele = dWcmp + dWmec 2.

A equação 2.6 juntamente com as Leis de Faraday e a mecânica Newtoniana são a base

fundamental para a análise dos dispositivos conversores de energia.

Campo de

Acoplamento

Sistema

Mecânico

Sistema

Elétrico

2.3 SISTEMA MAGNÉTICO DE EXCITAÇÃO ÚNICA

Estudar-se-á neste tópico os dispositivos bobinados com entreferro, entre uma parte fixa

e outra móvel, no qual é armazenada considerável energia no campo magnético.

Ex.: relés eletromagnéticos.

2.3.1 TENSÃO INDUZIDA E ENERGIA MAGNÉTICA ARMAZENADA EM

UMABOBINA

Seja a fig.3.

I φ

vf e

• • N

fig.3.

Pela Lei de Faraday, tem-se:

e = dλ /dt= N dφ/dt 3.

O diferencial de energia elétrica de entrada é dado por:

dWele = e.i.dt = i.dλ 3.

Supondo-se que, não haja perdas, toda energia de entrada é armazenada no campo

magnético.

λ λ

Wele = Wcmp = i’.dλ’ = ℑ/N. dλ’

0 0

A relação entre o fluxo “φ” e a f.e.m. é dada pela relutância ℜ, definidas no cap. I.

2.3.2 FORÇA MECÂNICA E ENERGIA EM UM RELÉ

A fig. 3.2 apresenta um esquema de um relé, onde é mostrado uma fonte elétrica

alimentando o dispositivo, bem como, uma força mecânica externa, agindo para manter a

armadura no deslocamento “X”.

A força produzida pelo campo magnético fcmp é também mostrada na fig. 3.2 e, procura

mover a armadura na direção “X”.

X

S

I fcmp

e

Vf armadura

Fig. 3.

Esta equação mostra a energia no campo magnético do dispositivo sem perdas e de excitação

única, como função de duas variáveis independentes λ e x. O diferencial da energia dWcmp

pode ser expresso matematicamente em termos das derivadas parciais, ou seja:

dWcmp(λ,x) = x

Wcmpd Wcmp dx

λ

λ 3.3.

Como as variáveis λ e x são independentes, os coeficientes das equações 3.2.4 e 3.3.1 devem

também serem iguais, levando às equações paramétricas:

i = λ

λ

∂ Wcmp ( , x ) 3.3.2 e fmec = fcmp = - x

Wcmp x

∂ ( λ , ) 3.3.

A eq. 3.3.2 corresponde à corresponde à eq. 3.2.5 para a energia do campo quando armadura é

fixa e dx = 0. A eq. 3.3.3 corrresponde à eq. 3.2.6 para a energia do campo quando o fluxo

concatenado é fixo e

dλ = 0. Note-se que a energia sempre foi expressa até agora em termos da variável elétrica “λ”.

A força na eq. 3.3.3 é obtida como uma função do fluxo concatenado “λ”. Uma outra forma de

expressar a força é através de outra função de estado, ou seja, a co-energia magnética. A

escolha da função de estado é questão de conveniência, ela depende das variáveis que se quer

obter no resultado e, da descrição incial do sistema.

A co-energia W’cmp é definida como uma função de i e x tal que:

W’cmp(i,x) = i.λ - Wcmp(λ,x) 3.3.

Esta expressão é obtida a partir da equação de energia “i.dλ”, ou seja:

d(i.λ) = i.dλ + λ. di 3.3.

Aplicando-se o diferencial em 3.3.4, tem-se:

dW’cmp(i,x) = d(i,λ) – dWcmp(λ,x) 3.3.

Substituindo-se as equações 3.3.5 e 3.2.4 em 3.3.6, tem-se:

dW’cmp(i,x) = λ.di + fmec.dx 3.3.

Expressando-se o diferencial da co-energia em função de suas derivadas parciais, tem-

se:

dW’cmp(i,x) = dx x

Wcmpix di i

Wcmpix

3.3.

Como as variáveis i e x são independentes, os coeficientes das equações 3.3.7 e 3.3.

devem ser iguais, resultando nas equações paramétricas.

λ = i

Wcmpi x

3.3.

fmec = fcmp + x

Wcmpi x

3.3.

Comparando-se as equações 3.3.3 e 3.3.10, vê-se que a primeira dá a força em termos

do fluxo concatenado e a Segunda dá a força em termos de corrente. A escolha da energia ou

co-energia para determinação da força, depende geralmente das variáveis que se desejam nas

expressões finais.

A co-energia para um sistema de excitação única, quando a posição da armadura é fixa

de dx = 0, é obtida da eq. 3.3.7, ou seja:

W’cmp= ∫

1

0

λ. di 3.3.

Para um sistema linear, no qual λ é proporcional a L, a co-energia é dada por:

2

(^0 )

W _cmp Wcmp L i_ di ` L i

i = = ⋅ ⋅ = ⋅ ∫

3.3.

Exemplo 1

O circuito magnético mostrado na fig. 3.3 é feito de aço fundido.O rotor é livre para girar em torno

de um eixo vertical, as dimensões são mostradas na figura.

Deduzir uma expressão, em unidades MKS, para o conjugado no rotor, em termos das

dimensões e do campo magnético nos dois entreferros. Desprezar os efeitos de espraiamento.

A indução magnética máxima nas porções dos entreferros é limitada a aproximadamente 130

kilolinhas\pol

2 , devido à saturação no aço. Calcular o conjugado máximo em N.m para as

seguintes dimensões: r 1 = 1,00pol. , h = 1,00pol. , g = 0,10pol..

fig.3.

Apêndice A

No sistema dinâmico com deslocamento linear, a relação entre forças e aceleração é dado por :

fD – fr = M dt

dve 3.3.

W’cmp = (2g.A). μ 0 .Hg

2 /

Solução

TD → W’cmp

W’cmp = [densidade de W’cmp] x [volume entreferro (VE )]

Cálculo do volume do entreferro

Trabalhar-se-á com a área média (AM).

AM = Arco.h = (r+0,5 g).θ. h

VE = AM.2g → VE–(r+0,5g).θ. h.2g

VE = 2g.h.θ.(r +0,5g)

W’cmp = 0,5. μ 0 .Hg

2 .(2g.h.θ).(r+0,5g)

Finalmente:

TD = ∂ω’cmp(H,θ) = g.h.Hg

2 .(r+0,5g). μ 0

∂θ

b) Converter a indução magnética e dimensões do dispositivo em unidades MKS.

Bg = 130000.

• = 2,02 [Weber/m

2 ]

(2,54.

• )

2

g = 0,1.2,54.

• = 0,00254 [m]

h = r 1 = 1,00.2,54.

• = 0,0254 [m]

μ 0 = 4π.

Substituindo estes valores tem-se:

0,00254.0,0254.(2,02)

2 .(0,0254+0,5.0,00254)

TD =

4 π.

TD = 5,59 [N.m]

2. 5 S i s t e m a s d e C a m p o E l é t r i c o d e E x c i t a ç ã o Ú n i c a

Um sistema de conversão de energia de campo elétrico pode ser tratado de modo análogo ao

caso de campo magnético, na obtenção da força produzida pelo campo elétrico em função da

carga ou tensão nos terminais elétricos. A escolha das variáveis independentes determina se a

função de estado será a energia ou a co-energia e, também, a forma das equações

paramétricas.

2.5.1 Balanço de Energia

Arepresentação de um dispositivo de campo elétrico é mostrado na fig. 4.1. Os terminais

elétricos do dispositivo são supridos por uma fonte de conrrente, com um elemento de perda em

derivação. A placa móvel é ligada a um sistema mecânico. O fluxo de energia para qualquer

variação do sistema pode ser expresso pela eq. 2.

dWele = dWcmp+dWmec

Como i e q representam a corrente e a carga para o dispositivo, a energia elétrica entrando nos

terminais é:

dWele = v.i.dt = dq 4.

A energia mecânica do dispositivo é dada por:

dWmec = fmec.dx = fcmp.dx 4.

Reescrevendo-se a equação 2.6 e levando-se em consideração as equações 4.1 e 4.2, tem-se:

v.dq = dWcmp + fmec.dx ,

ou

dWcmp = v.dq-fmec.dx 4. 3

A energia do campo elétrico pode ser introduzida através dos terminais elétricos ou mecânicos.

Se a energia é introduzia pelos terminais elétricos, com terminal mecânico fixo, dx=0, obtém-se:

dWcmp = v.dq 4.

Se o terminal elétrico for aberto para manter dq=0, a energia será:

dWcmp = -fmec.dx 4.

Em um sistema linear de campo elétrico, no qual q é proporcional a v, isto é, a

permissividade å é constante, a relação entre q e v é definida pela capacitância.

C=q/v

A co-energia para o sistema anterior, pode ser calculada mantendo-se o terminal mecânico fixo,

dx = 0 e, trazendo o sistema até a tensão v, tal que toda co-energia entra através dos terminais

elétricos.

W’cmp(v,x) = (^) ∫

V

q dv

0

Para um sistema linar v é proporcional a q e, å é constante, então a eq. 4.13, fica:

W’cmp(v,x) = ∫

V

Cvdv C v

0

2

. ' ' 0 , 5.. 4.

2.5.3 FORÇA

A energia no campo é uma função de q e x, seu diferencial em termos das derivadas parciais é:

dWcmp(q,x) = dq dx

x

Wcmp

q

Wcmp

Os coeficientes das equações 4.3 e 4.15 devem ser iguais, resultando nas equações

paramétricas:

v = ( , )

q

Wcmp qx ∂

e

fmec = fcmp = - ( , )

x

Wcmp q x ∂

A co-energia é função de v e x, seu diferencial em termos das derivadas parciais é:

dW’cmp(v,x) = dv

v

W' cmp

• dx ∂ x

∂W' cmp

Os coeficientes das equações 4.12 e 4.18 devem ser iguais, resultando nas equações

paramétricas.

(v,x ) v

W'cmp q ∂

e

x

W'cmp(v,x ) fmec fcmp ∂

Exemplo 2:

Determine a força entre duas placas paralelas, cada uma de área A = 1m

2 e

com um campo elétrico entre elas igual a rigidez dielétrica do ar, isto é 3x

6 [V/m]. Utilizar a co-

energia e a energia.

Solução:

Usando-se o modelo da fig. 4.1, o espaçamento entre a placas pode ser tomado

como (xo – x) e a capacitância como

(xo x)

A o C −

⋅ε = logo, a energia é dada por:

A o

(xo x ) q 2

C

q

Wcmp (q,x)

2

2

⋅ ε

Cálculo da força em relação à energia:

Da eq. 4.17, tem-se:

x

Wcmp(q,x ) fmec fcmp ∂

o

( o E ) A 2

A o

(A D)

A o

q

fcmp

2 2 2

ε

ε ⋅

⋅ε

⋅ε

2 A o E 2

fcmp = ⋅ε ⋅

6 6 2 10 ( 310 ) 36

fcmp (^) ⋅ ⋅



π

−

9 10 8

fcmp ⋅ π

= [N]

Cálculo da força em relação à co-energia:

2 2 v (xo x)

A o

Cv 2

W' cmp(v,x) −

⋅ε = =

Da eq. 4.20, tira-se:

2

2

xo x

A v x

cmpvx fmec −

ω εο

A tensão v é dada por v = E (xo – x)

2 9 10 8

E o A 2

fmec ⋅ π

= ⋅ε ⋅ = [N]

As duas funções de estado produzem a mesma força, como era esperado.

É interessante comparar a força produzida sobre um metro quadrado da superfície que limita um

campo magnético, com o exemplo anterior. O valor do campo magnético pode ser tomado como

B=1,6 [Weber/m

2 ], que é um nível de saturação típico para material ferromagnético. A energia

em um volume de A = 1m

2 de área e (xo – x) de comprimento, é dada por:

o

A xo x cmp x B μ

ω

B =

O torque desenvolvido será:

TD (i, θ) = (∂/∂θ) [w’cnp (i, θ)]

i= ctc.

TD (i, θ) = [∂ (0.5. L. i

2 )]/ ∂θ

TD =1/2 i

2 ∂L/∂θ = 1/2 i

2 d(L 1 + L 2. cos 2θ)/∂θ

TD (i, θ) = -i

2 L 2 sen 2θ

Obs.: O torque oscila senoidalmente.

Pergunta-se:

Para qual “θ” o torque é máximo?

Resposta:

dTD/dθ = θ cos2θ = θ

Para θ = π/4 , 3π/4 , 5π/4, o torque será máximo.

2. 6 S I S T E M A C O M D U P L A E X C I T A Ç Ã O

No sistema com dupla excitação, existem duas bobinas independentes nos quais apresentam

em cada qual um fluxo concatenado próprio e, um fluxo concatenado mútuo entre elas.

A fig. 5.1 apresenta o dispositivo magnético de dupla excitação.

fig. 5.

Considerar-se-à o sistema totalmente linear, pois caso contrário, um tratamento

dessa natureza seria extremamente dificultoso.

Admitindo-se que o sistema seja linear e, sendo o fluxo proporcional à corrente,

pode-se aplicar o princípio da superposição.

A fig 5.1 apresenta as correntes, tensões, etc., para um transdutor típico de

dupla excitação.

As equações dos fluxos concatenados totais para as duas bobinas são dadas

pelas equações 5.1 e 5.2.

λ 1 = L 1. i 1 + M. i 2 5.

λ 2 = L 2. i 2 + M. i 1 5.

V 2

i 2

i 1

V 1

As equações instantâneas das tensões dos enrolamentos serão:

v 1 = R 1. i 1 + dλ 1 /dt 5.

v 2 = R 2. i 2 + dλ 2 /dt 5.

Substituindo-se 5.1 e5.2 em 5.3 e 5.4, tem-se

v 1 = R 1. i 1 + d(L1.. i 1 ) /dt+ d(M.. i 2 ) /dt 5.

v 2 = R 2. i 2 + d(L2.. i 2 ) /dt+ d(M.. i 1 ) /dt 5.

As indutâncias são independentes das correntes, mas dependem da posição “θ”, a qual

é função do tempo. Simultaneamente, as correntes são dependentes do tempo.

Expandindo-se 5.5 e 5.6, tem-se:

v 1 = R 1. i 1 + L 1 di 1 /dt + i 1 dL 1 /dt + M di 2 /dt + i 2 dM/dt 5.

v 2 = R 2. i 2 + L 2 di 2 /dt + i 2 dL 2 /dt + M di 1 /dt + i 1 dM/dt 5.

Multiplicando-se 5.7 e 5.8 pôr i 1 e i 2 respectivamente, darão as equações de potência

para os enrolamentos.

v 1 i 1 = R 1. i 1

2

• L 1 i 1 di 1 /dt + i 1

2 dL 1 /dt + i 1 M di 2 /dt + i 1 i 2 dM/dt 5.

v 2 i 2 = R 2. i 2

2

• L 2 i 2 di 2 /dt + i 2

2 dL 2 /dt + i 2 M di 1 /dt + i 1 i 2 dM/dt 5.

Somando-se 5.9 e 5.10 e integrando em relação ao tempo e, dando-a um aspecto de

balanço de energia, tem-se:

∫(v 1 i 1 + v 2 i 2 )dt = ∫(R 1. i 1

2

• R 2. i 2

2 )dt+∫[(L 1 i 1 )di 1 + (L 2 i 2 )di 2 + (i 1 M) di2 + +2( i 1 i 2 )dM + i 1

2 dL1 +

i 2

2 dL 2 + (i 2 M) di 1 ] 5.

A energia líquida de entrada é dada pôr :

Wele = ∫(v 1 i 1 + v 2 i 2 )dt - ∫(R 1. i 1

2

• R 2. i 2

2 )dt 5.

A Energia armazenada no campo mais a Energia mecânica, fica:

Wcmp + Wmec =∫ [(L1 * i1)di1 + (L2 * i2)di2 + (i1 * M)di2 + 2(i1 * i2)dM + (i2)²dL1 + (i2 * M)di1]

2.6.1 ENERGIA ARMAZENADA NO CAMPO

O valor da energia armazenada instantaneamente no campo magnético depende dos

valores das indutâncias e correntes no instante considerado. Esta energia pode ser obtida,

considerando-se o transdutor estacionário e, o sistema a ser energizado desde o valor zero até

da corrente instantânea requerida. Nesta situação não há energia mecânica (Wmec = 0), ou seja

d = 0 os valores das indutâncias são constantes e os termos em dL1, dl2 e dM desaparecem.

Da equação 5.13, obtém-se:

∫ ∫ ∫ ∫

1 * 2

0

2 1 2

2

0

2 2 2 0

1

0

t i i i i

dWcmp Li di Li di Mdi i

12

2 22

2 Wcmp = 0 , 5 L 1 i 1 + 0 , 5 Li + Mii 5.

[ ]

[ ]

[ ]

i i [ A ]

M H

L H

L H

0 , 2 cos

1 2

2

1

θ

θ

θ

30 20 cos

0 , 510 0 , 4 0 , 5 10 0 , 2 1010 0 , 2 cos

2 2

2 12

2 1 2

2 1

Wcmp

Wcmp

Wcmp i L i L iiM

θ θ θ d θ

dM ii d

dL i d

dL i d

dWcmp Te 12

(^22) 2

(^21) 1 2

2

1

θ

θ

d

dL

d

dL

Te = − i 1 i 2 ⋅ 0 , 2 sen θ

Te =− 20 sen θ

Para

Te = 10 [ N ⋅ m ]

Obs: Quando as correntes são constantes:

Wcmp = Wmec

Exemplo 4

Um transdutor de dupla excitação, fig. 5.2 tem um rotor cilindro apresentando

uma velocidade angular W = 100 [rad/s]. O rotor é energizado através de anéis coletores, tendo

uma resistência de 1 ohms e indutância de 0,02 + 0,01 * cos2¬[H], onde  é o ângulo entre os

eixos. O estator tem uma resistência de 100 ohms e uma indutância de 0.12[H]. A indutância

mútua varia com cos θ e apresenta um valor máximo de 0,06[H]. sendo as correntes do rotor e

estator constantes e iguais a 10 e 1 Ampères respectivamente, (obtenha) as expressões

instantâneas das tensões, torque e potência de entrada para ângulo de 90° e 45°.

Fig. 5.2 Sistema com dupla excitação

Solução:

Dados:

 = 100 [rad/s]

Le = 0,12 [H]

Lr = 0,02 + 0,01cos2θ[H]

Re = 100 [Ω]

Rr = 1 [Ω]

ie = 1 [A]

ir = 10 [A]

M = 0,06cosθ [H] = 0,06cos(θt)

LKV nas malhas, obtém-se:

dt

dL i dt

dM i

dt

di M

dt

di v R .i L

e r e

e r e e e e

dt

dL i dt

dM i

dt

di M

dt

di v R.i L

r e r

r e r r r r + +

v 10 6 .senè- 20 .sen 2è

v 1. 10 1 .ù.-0,06.senè 10. 2 .ù. 0 , 01 .sen 2 è

v 100 60 .senè

v 100. 1 ù. 10 .-0,06.senè

r

r

e

e

Para è =ð/2:

( ) [ ]

( ) ( ) v 4 [V ] 2

v 10 6 .sen ð/2 20 .sen^2

v 100 60 .sen ð/2 v 40 V

r r

e e

π

Para è =ð/4:

( ) [ ]

( ) ( ) v 14 , 23 [ V] 4

v 10 6 .sen ð/4 20 .sen^2

v 100 60 .sen ð/4 v 57 , 7 V

r r

e e

π

Cálculo do torque para correntes constantes:

dè

dM i .i dè

dL i 2

dè

dL i 2

dè

dWmec T (^) e r

(^2) r r

(^2) e e e + +