Corda vibrante, Notas de estudo de Engenharia Civil

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

CORDA VIBRANTE

Curso de Engenharia Química Física Geral e Experimental II, Turma II

Maringá, 16 de outubro de 1998.

1 INTRODUÇÃO

Nesta prática tem-se por objetivo estudar os fenômenos de ressonância, gerar ondas estacionárias em uma corda, analisar a dependência da freqüência da vibração da corda, com o nº de ventres, comprimento e tensão aplicada, além de determinar a densidade linear da corda.

1. PRINCÍPIOS TEÓRICOS

Consideremos uma corda fixa nas suas extremidades e sujeita a uma certa tensão. Se excitarmos um ponto desta corda através de um vibrador de freqüência qualquer, toda a extensão da corda entrará em vibração. São as chamadas Oscilações Forçadas. Quando a freqüência do vibrador é igual a uma das freqüências próprias da corda, dizemos que o vibrador e a corda estão em ressonância. Neste caso, a amplitude de vibração da corda é máxima, e além disso, formam-se na mesma, ondas estacionárias. Quando uma onda se propaga através de um meio, as partículas deste realizam um movimento oscilatório, que pode ser representado pela equação:

y – deslocamento de partícula, em relação à posição de equilíbrio; y (^) m – deslocamento máximo (amplitude); k – número de onda; F 06 C – comprimento de onda; F 07 7 – freqüência angular; f – freqüência; T – período. A onda estacionária se forma pela superposição de duas ondas que tenham a mesma freqüência, velocidade e amplitude e que se propaguem em sentidos opostos. Consideremos duas ondas progressivas:

A onda resultante pelo princípio da superposição é: que é uma equação de onda estacionária. Na onda estacionária, cada ponto tem sua amplitude dada por:

Por estas equações observamos que a amplitude será máxima, e igual a 2y (^) m, para:

tempo igual ao período (T). Dessa forma a relação entre a freqüência (f), o comprimento de onda (F 06 C ), e a velocidade (v) de uma onda harmônica é:

Combinando estas equações pode-se obter uma expressão geral para as freqüências de vibração da corda, também chamados de harmônicos. Esta expressão é conhecida como fórmula de Lagrange.

2 MÉTODO DE INVESTIGAÇÃO

Material utilizado – Gerador de função, amplificador, freqüencímetro, alto-falante, trena, pesos, corda, suporte com roldana, balança.

PARTE 1 De início montou-se o sistema de acordo com o diagrama 2, sempre utilizando boas escalas dos instrumentos, e começando a medir com a presença do menor peso num total de cinco. Mediu-se o comprimento (L) da corda entre o alto-falante e a polia e ligou-se o freqüencímetro, começando o zero até obter uma freqüência equivalente ao 1º harmônico, feito isto, anotou-se numa tabela. Depois obteve-se as freqüências de ressonância para os próximos harmônicos e anotou-se também. Repetiu-se a experiência para os outros pesos, sempre registrando seus resultados na tabela. Também determinou-se a densidade linear média de 3 amostras de cordas para se fazer os devidos cálculos posteriormente. Tudo isto foi feito com a devida precaução de se obter a máxima amplitude em cada caso.

Diagrama 2: Configura ção do

experimen to.

f (s-1^ )

f 2 (s -2)

F (N) 5 6

3 136

0 , 7 2

5 184

0 , 7 4

5 476

0 , 7 8

6 084

1 , 8 3

6 889

1 ,

c) Tabela 4:

Esta tabela refere-se aos valores das densidades lineares de três cordas a fim de achar uma densidade média usada nos cálculos desta experiência: nº de cordas

m (g) L (m)

F 0 7 2(g/cm) 1 0, 22

9 2,

2,37.10- 2 0, 30

1 27, 2,35.10- 3 0, 18

7 3,

2,14.10- =2,39.10-4^ (Kg/m)

GRÁFICOS

CÁLCULO

Exercício 2, considerando o gráfico 1, temos: K (^) 1 = F 04 4 f/F 04 4 n = 89/4 = 22,25 Hz/ventre

Exercício 5, considerando o gráfico 2, temos: K (^) 2 = F 04 4 f/F 04 4 (1/L (^) n) = 78/3,14 = 24,84 Hz.m

Exercício 8, considerando o gráfico 3, temos: K (^) 3 = F 04 4 (f 2 )/F 04 4 F = 3753/0,81 = 4633,3 Hz 2 /N

Exercício 9, as equações (6), (7) e (8) são, respectivamente: L = n(F 06 C /2) ; v = (F/ F 07 2 ) 1/2^ ; F 06 C = v/f = vT De (6), temos que (1/F 06 C ) = (n/2L); de (8), f = v/F 06 C. Portanto: f = (n/2L).v F 0D E f = (n/2L). (F/ F 07 2 ) 1/2, que é a fórmula de Lagrange (equação (9)).

Exercício 10, na tabela abaixo, as freqüências estão medidas em Hz: Freqüê ncia

Experime ntal

f = K 1****. n Fórmula de Lagrange f (^) 1 24 22,25^ 24, f (^) 2 52 44,5 48. f (^) 3 74 66,75^ 72, f (^) 4 94 89 97, f (^) 5 113 111,25 121.

A tabela indica que a concordância entre os resultados experimentais, e os previstos pela teoria, torna-se menor à medida que se aumenta o número de ventres.

Exercício 12, da fórmula de Lagrange, e das argumentações desenvolvidas nas questões 2, 4, 5, 7 e 8, segue que: K (^) 1 = (1/2L) (F/ F 07 2 ) 1/2^ , F fixo ; K (^) 2 = (1/2)(F/ F 07 2 ) 1/2^ , F fixo ; K (^) 3 = n 2 /(4L^2 / F 07 2 ), n fixo Tais igualdades implicam, respectivamente, que:

4 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Analisando os resultados obtidos do experimento, permitiu verificar que a freqüência de vibração de uma corda varia linearmente com o número de ventres e com o comprimento; seu quadrado tem dependência similar com a tensão aplicada. Foi possível verificar a ressonância em ondas estacionárias, assim como determinar, com aproximação rudimentar, a densidade linear da corda utilizada.

5 RESPOSTAS ÀS PERGUNTAS FEITAS

1- Há dependência linear entre a freqüência e o número de ventres, se a força for constante. 2- (feito, ver cálculos). K (^) 1 representa a razão entre a freqüência e o número de ventres; teoricamente, deve ser o valor obtido através da expressão (1/2L).(F/ F 07 2 ) 1/2 (^). Desprezados os erros experimentais, pode-se escrever: f = (22,25 Hz/ ventre).n. 3- (feito). 4- Existe uma relação linear entre a freqüência e a grandeza 1/L (^) n. 5- (feito, ver cálculos). Desprezando-se os erros experimentais, pode-se escrever: f (^) n =(24,84 Hz.m)/L (^) n. 6- (feito) 7- O quadrado da freqüência varia linearmente com a força tensora. 8- Desprezando-se os erros experimentais, pode-se escrever: f^2 = (4633,3 Hz 2 /N).F. 9- (feito, ver cálculos). 10- (feito, ver cálculos). 11- Sim; as elevadas discrepâncias exibidas na questão anterior ocorreram justamente quando a variável n aumentava. Durante a experiência, a amplitude da oscilação diminuía com o aumento de n ; isto pode ter acarretado observações incorretas das ondas estacionárias.

12- (feito, ver cálculos). 13- (feito, ver cálculos). 14- Isso indica que houve pequena interferência de erro experimental. 15- (feito, ver cálculos).

6 BIBLIOGRAFIA

MATEUS, Ester Ávila; HIBLER, Irineu; WEINAND, Wilson Ricardo. Ótica e Ondas. Parte III (apostila). UEM – Maringá. HALLIDAY, David et al. Fundamentos de Física. 4. ed. vol. 4. Rio de Janeiro : LTC, 1996.