criptografia, Notas de estudo de Análise de Sistemas de Engenharia

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Universidade de Lisboa

Faculdade de Ciências

Departamento de Matemática

Criptografia e Matemática

Victor Manuel Calhabrês Fiarresga

Mestrado em Matemática para Professores

Setembro de 2010

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Aos meus pais, à Berta e Isabel

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Agradecimentos

Agradeço:

Ao meu orientador, Professor Doutor Jorge Nuno Silva, todo o apoio na elaboração desta tese.

À Isabel Fiarresga, minha mulher, pela paciência e por não ter deixado, na parte não científica, que algumas gralhas grasnassem.

À escola básica 2, 3 Sophia de Mello Breyner Andresen pelo facto de ter proporcionado a frequência da parte curricular deste mestrado.

Aos meus pais e sogra por todo o apoio prestado.

Victor Manuel Calhabrês Fiarresga

Belas, Setembro 2010

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Cryptography and Mathematics Abstract

In this work, we do a small study on the origins of some cryptography and cryptosystems.

In the first chapter, we define encryption and introduce some concepts that would arise, namely, alphabet cipher and substitution, transposition, and monoalphabetic and polyalphabetic ciphers.

In the second chapter, we present a brief history of cryptography; we seek to address its origins, as well as their most memorable moments over time.

The main tool of cryptography is the mathematics, so in the third chapter, are studied some results of mathematics, which are of extreme importance for the purpose of cryptography. Here we can not fail to emphasize the current importance of the Theory of Numbers.

In the fourth chapter, we study the symmetric and asymmetric cryptosystems. We define each one of the ciphers and through simple examples show how they are applied.

In the fifth chapter we discuss the digital signatures. Here we study three schemes of digital signatures: RSA, ElGamal and Digital Standard. Again, we resort to simple examples to show its applicability.

Finally, in chapter six, we conclude this work, where we mentioned that cryptography can be used to create enjoyment, work habits and persistence in students of basic and secondary school in a different way.

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• Introdução Índice
• 1 Criptografia
• 2 Uma Breve História da Criptografia
• 3 Matemática
  • 3.1 Grupos, anéis e corpos
  • 3.2 Divisibilidade e algoritmo de Euclides
  • 3.3 Congruências
  • 3.4 Matrizes
  • 3.5 Teorema de Euler
    • 3.6 Raízes primitivas
  • 3.7 Pequeno Teorema de Fermat
  • 3.8 Resíduos quadráticos
  • 3.9 Problema do Logaritmo Discreto
  • 3.10 Curvas elípticas
  • 3.11 Testes de primalidade
  • 3.12 Algoritmos de factorização
• 4 Cifras
• 4.1 Cifras simétricas - 4.1.1Definição - 4.1.2 A cifra Shift - 4.1.3 A cifra Afim xii - 4.1.4 A cifra por permutação - 4.1.5 A cifra de Hill - 4.1.6 A cifra de Vigenère - 4.1.7 A cifra de One-Time Pad - 4.1.8 As cifras de Fluxo - 4.1.8.1 A cifra autokey
  • 4.2 A troca de chaves
  • 4.3 Cifras Assimétricas
    • 4.3.1 O criptosistema RSA
    • 4.3.2 O criptosistema ELGamal
    • 4.3.3 O criptosistema Massey-Omura
    • 4.3.4 O criptosistema Menezes-Vanstone
• 5 Assinaturas Digitais
  • 5.1 Definição
  • 5.2 Esquema da assinatura RSA
  • 5.3 Esquema da assinatura ELGamal
  • 5.4 Esquema da assinatura Digital Standard
• 6 Conclusão
• Bibliografia
• 2.1 Scytale ou bastão de Licurgo Lista de Figuras
• 2.2 Cifra dos templários
• 2.3 Disco de Alberti
• 2.4 Tabula recta Caesar
• 2.5 Alfabetos de cifra utilizados por Della Porta
• 2.6 Cilindro de Jefferson
• 2.7 Máquina Enigma
• 2.8 Maqueta da máquina Enigma
• 3.1 (a) y^2 + xy = x^3 + 1, (b) y^2 = x^3 – 4x +
• 4.1 Cifra de Vigenère

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simétrica, fazemos a distinção entre cifra de substituição e cifra de transposição. Falamos também das distinções entre o trabalho do criptógrafo e do criptanalista. Serão dadas, como exemplo, algumas cifras para nos familiarizarmos com o verdadeiro papel da criptografia – ocultar a informação! Esclarecemos ainda quais os objectivos da criptografia.

No capítulo dois, fazemos uma breve, mas esclarecedora, História da Criptografia. A compreensão da evolução histórica de um tema, ajuda-nos não só a entender a sua importância para a Humanidade; como também, o seu desenvolvimento ao longo do tempo. E neste caso, a criptografia adaptou-se sempre ao sucesso dos criptanalistas.

No terceiro capítulo, expomos algumas partes da Matemática, que contribuíram para o desenvolvimento da Criptografia: estruturas algébricas, teoria dos números, problema do logaritmo discreto, testes de primalidade, algoritmos de factorização, etc. Embora a maior parte da Matemática, não fosse criada para esse efeito; a Criptografia viu nela e continua a ver, uma aliada insubstituível!

No quarto capítulo, falamos de alguns criptosistemas que nos pareceram ser os mais importantes; não só pela sua importância histórica, como também, alguns, pela segurança revelada ao longo do tempo.

No capítulo cinco, as assinaturas digitais são abordadas, de modo, a explicar um futuro para todos, que está já ao virar da esquina! Assinar um contrato, com números e não com a nossa querida assinatura que era reconhecida pelo notário, será motivo de desconfiança mesmo para quem ensina Matemática, quanto mais, para o cidadão comum!

Por último, fazemos um balanço do que foram estes dois anos de trabalho e tecemos algumas considerações sobre o Ensino da Matemática, neste momento, no nosso país. Lançamos ainda um desafio, por analogia com um outro, que a criptografia, embora pareça de enorme complexidade, tem muitos assuntos, que com as devidas adaptações podem ser abordados quer no Ensino Básico quer no Secundário, o que permitiria desenvolver nos nossos jovens, não só o gosto pela matemática, como ajudar a estimular a capacidade de resiliência.

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Capítulo 1

Criptografia

A necessidade de sigilo na comunicação escrita deve ser tão velha como a própria escrita.

Ao longo dos tempos, com a evolução da tecnologia e consequentemente dos meios de comunicação, a complexidade de ocultar a mensagem escrita tem vindo a aumentar de uma forma exponencial. Se há necessidade de guardar um segredo, então, em princípio, existe alguém que o quer saber. É este jogo do gato e do rato que a humanidade vem praticando desde há muito tempo.

A ocultação de uma mensagem pode ser feita através da esteganografia, nome que deriva de duas palavras gregas: steganos que significa coberto e graphien que significa escrever. Ou seja, como a origem do próprio nome indica, esta técnica consiste em ocultar a existência de uma mensagem. Esta técnica já era praticada no século V a. C. e continua a sê-lo nos nossos dias. No entanto, padece de uma enorme fragilidade – se for interceptada, o seu conteúdo, logo no momento, fica claro como água.

Um dos exemplos mais caricatos da esteganografia, foi relatado por Heródoto que registou o modo como Histieu transmitiu uma mensagem a Aristágoras de Mileto. Histieu rapou a cabeça de um indivíduo, escreveu no seu couro cabeludo a mensagem que queria enviar, esperou que o cabelo voltasse a crescer e, enviou-o em viagem até ao seu destinatário. Este quando chegou, rapou novamente a cabeça e mostrou a mensagem a Aristágoras de Mileto.

Tão velha, mas com o mesmo objectivo primordial, ocultar a mensagem, – a criptografia - que também deriva de dois vocábulos gregos: kryptos , que significa oculto e graphien cujo significado já é conhecido, não esconde a existência da mensagem, apenas oculta o seu significado. De um modo geral, se a mensagem cair nas mãos de um intruso, este ao lê-la, não a compreenderá. Só o remetente e o destinatário, em princípio, através de um acordo pré-estabelecido, é que têm acesso ao significado da mensagem. O termo criptografia é usado muitas vezes como sinónimo de criptologia,