Cursinho de derivadas, Notas de estudo de Cálculo Diferencial e Integral

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Apostila para os Cursos de Engenharia

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Embora os recursos gráficos computacionais sejam úteis na determinação do aspecto geral do gráfico, muitos problemas requerem uma precisão maior do que aquela que eles são capazes de produzir. O propósito desta apostila é desenvolver ferramentas matemáticas que possam ser usadas para determinar a forma exata do gráfico e da localização precisa de seus aspectos-chaves.

Em muitos problemas, as propriedades de interesse no gráfico de uma função são os seguintes: (a) Domínio, (b) cortes nos eixos 𝑥 𝑒 𝑦, (c) intervalos de crescimento e decrescimento, (d) extremantes (e) pontos de inflexão, (f) concavidade, (g) comportamento no infinito (assíntotas), (h) periodicidade (quando for o caso), (i) gráfico.

Algumas dessas propriedades podem não ser relevantes em certos casos. Assim, quando analisamos o gráfico de uma função 𝒇, é útil saber algo a respeito das propriedades gerais da família à qual a função pertence.

A derivada de uma função em um ponto mede não só a declividade da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto, como também a taxa de variação da função no mesmo ponto.

Na verdade, em um ponto onde a derivada é positiva, a declividade (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico é positiva e a função é crescente.

Em um ponto onde a derivada é negativa, a declividade (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico é negativa e a função é decrescente (figura 1).

Essas observações conduzem-nos ao seguinte teorema importante:

TEOREMA:

a) Se 𝒇′(𝒙) > 0 para cada valor de 𝑥 em um intervalo ( a, b ), então 𝒇 é crescente em ( a, b ).

b) Se 𝒇′(𝒙) < 0 para cada valor de 𝑥 em um intervalo ( a, b ), então 𝒇 é decrescente em ( a, b ).

c) Se 𝒇′(𝒙) = 𝟎 para cada valor de 𝑥 em um intervalo ( a, b ), então 𝒇 é constante em ( a, b ).

, para determinar o intervalo em que uma função 𝑓 é crescente ou decrescente, estudamos o sinal da derivada de 𝑓, 𝑓′, em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.

Números críticos são aqueles onde a função pode passar de crescente para decrescente.

𝑐 é um número crítico da função 𝑓 se 𝒇′(𝒄) = 𝟎(𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑐 é 𝑟𝑎í𝑧 𝑜𝑢 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓′), ou 𝒇′(𝒄) não for definida (não existe ou a função é descontínua em c). O ponto (𝒄; 𝒇(𝒄)) é denominado ponto crítico de 𝑓. Uma função de grau 𝑛 pode ter de 0 a 𝑛 − 1 ponto(s) crítico(s). Para distinguir entre dois tipos de pontos críticos, dizemos que 𝑐 é um ponto estacionário de 𝒇 se 𝑓′(𝑐) = 0.

Crescente Decrescente Crescente Constante (^0 2 )

x



 

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Os máximos e mínimos relativos são os pontos mais altos e mais baixos, respectivamente, de uma vizinhança próxima. Observe que nem o máximo relativo é necessariamente o ponto mais alto, nem o mínimo relativo é o ponto mais baixo, eles são tão somente pontos altos e baixos relativos à vizinhança imediata. Essas ideias estão relacionadas na seguinte definição.

Dizemos que uma função f tem um máximo relativo em c se houver um intervalo aberto contendo 𝑐 no qual 𝑓(𝑐) é o maior valor, isto é, 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 no intervalo.

Analogamente, se diz que f tem um mínimo relativo em 𝑐 se houver um intervalo aberto contendo 𝑐 no qual 𝑓(𝑐) é o menor valor, isto é 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 no intervalo.

Quando 𝑓 tiver um máximo ou um mínimo relativo em 𝑐 , se diz que 𝑓 tem um extremo relativo em 𝑐 (𝑥 = 𝑐) ou 𝑓 tem um extremo local em 𝑐.

TEOREMA: Suponha que 𝑓 seja uma função definida em um intervalo aberto contendo o ponto c. Se 𝑓 tem

um extremo relativo em 𝑥 = 𝑐, então 𝑥 = 𝑐 é um ponto crítico de 𝑓; assim, ou 𝑓′(𝑐) = 0 ou 𝑓 não é diferenciável em 𝑐.

O Teorema anterior afirma que os extremos relativos devem ocorrer em pontos críticos, mas não diz que em cada ponto crítico deve ocorrer um extremo relativo. Assim podemos concluir que : Uma função 𝒇 tem extremos relativos naqueles pontos criticos em que 𝒇 troca de sinal.

Se 𝑓′(𝑥) muda de (+) para (−) na passagem por 𝑐 , então 𝒄 é máximo relativo e se muda de (−) para (+) 𝒄 é mínimo relativo. Se não houver mudança de sinal na passagem por 𝑐 , c não é extremo relativo. Isso pode ser conferido estudando o sinal de 𝑓′ nas proximidades de seus pontos críticos(c).

Interpretação gráfica do Teste da primeira derivada

c é mínimo relativo c é Máximo relativo c nem é Máximo e nem mínimo relativo

Dadas as funções, determine seus pontos críticos, seus extremantes e os intervalos onde as mesmas são crescente ou decrescente:

Resolução:

1º) Achar derivada de 𝑔: 𝑔′(𝑥) = 𝑥^2 − 5𝑥 + 6

2º) Achar os pontos críticos fazendo 𝑔′(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥^2 − 5𝑥 + 6 = 0 ⟹ 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒆 𝒙𝟐 = 𝟑

Para 𝑥 = 2 ⟹ 𝑔(2) =

5 ∙ 2^2

)

Para 𝑥 = 3 ⟹ 𝑔(3) =

5 ∙ 3^2

)

𝑓′(𝑥)^ > 0

c  ^ c^    

c

𝑓′(𝑥)^ < 0

c^ 

𝑓′(𝑥)^ > 0

𝑓′(𝑥)^ < 0

𝑓′(𝑥)^ > 0

𝑓′(𝑥)^ > 0

𝑓′(𝑥) < (^0) 𝑓′(𝑥) (^) < 0

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) são os pontos críticos da função

3º) Achar os extremantes e os intervalos de crescimento e de decrescimento, estudando o sinal de 𝑔′ na proximidades dos pontos críticos

De ]−∞; 𝟐[, vamos tomar 0. De ]𝟐; 𝟑[,

5 2 e de ]𝟑; +∞[, 4. Assim teremos:

𝑓′(0) = 𝑥^2 − 5𝑥 + 6 = +

𝑓′^ (

5 2

) = (

5 2

)

2 − 5 ∙

5 2

• 6 =

25 4

−

25 2

• 6 =

25 − 50 + 24 4

= −

𝑓′( 4 )^ = 42 − 5 ∙ 4 + 6 = 16 − 20 + 6 = +

Intervalo de crescimento: ]−∞; 𝟐[ ∪ ]𝟑; +∞[^ e

Intervalo de decrescimento: ]𝟐; 𝟑[

Pontos: 𝑷𝑴 (𝟐;

)

𝒃) 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙𝟓^ + 𝟓𝒙𝟑

Resolução:

1º) Achar derivada de 𝑓: 𝑓′(𝑥) = −15𝑥^4 + 15𝑥^2 = −15𝑥^2 (𝑥^2 − 1).

2º) Achar os pontos críticos fazendo 𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ −15𝑥^2 (𝑥^2 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 1 = 0, 𝑥 2 = 1 𝑒 𝑥 3 = −

Para 𝑥 = 0 ⟹ 𝑓(0) = 0 ⟹ 𝑷𝟏(𝟎; 𝟎)

Para 𝑥 = 1 ⟹ 𝑓(1) = −3 ∙ 1^5 + 5 ∙ 1^3 = −3 + 5 = 2 ⟹ 𝑷𝟐(𝟏; 𝟐)

Para 𝑥 = −1 ⟹ 𝑓(1) = −3 ∙ (−1)^5 + 5 ∙ (−1)^3 = 3 − 5 = −2 ⟹ 𝑷𝟑(−𝟏; −𝟐)

𝑷𝟏(𝟎; 𝟎), 𝑷𝟐(𝟏; 𝟐) 𝒆 𝑷𝟏(−𝟏; −𝟐) são os pontos críticos da função

3º) Achar os extremantes e os intervalos de crescimento e de decrescimento, estudando o sinal de 𝑓′ na proximidades dos pontos críticos

Inicialmente note que, os pontos críticos dividem a reta real em quatro intervalos: ]−∞; 𝟐[; ]𝟐; 𝟑[ 𝑒 ]𝟑; +∞[.

Em seguida, tomamos um valor de cada intervalo para estudar o comportamento da função 𝑓′(𝑥)^ = 𝑥^2 − 5 𝑥 + 6 em cada um deles:

𝑷𝒎

         















∎𝒈(𝒙)^ =

𝒙𝟑 𝟑 −^

𝟓𝒙𝟐 𝟐 +^ 𝟔𝒙 ∎ 𝒈′(𝒙)^ = 𝒙𝟐^ − 𝟓𝒙 + 𝟔

𝑷𝑴

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TEOREMA: Se 𝒇 é uma função derivável até segunda ordem em 𝐼 = ]𝑎, 𝑏[ e 𝑥 0 ∈ ]𝑎, 𝑏[ e 𝑥 0 é abscissa

de ponto de inflexão do gráfico de 𝑓, então 𝑓′′(𝑥 0 ) = 0.

Este Teorema mostra que a condição necessária para um número 𝑥 0 ser abscissa de um ponto de inflexão do gráfico de 𝑓 é anular 𝑓”, ou seja, tem que ser raiz da segunda derivada (𝑓”). Porém, um ponto de inflexão pode, também, ocorrer onde 𝑓” não está definida.

Ache o(s) ponto(s) de inflexão(ões) da função 𝑓(𝑥) =

𝑥^4 −

𝑥^3 −

𝑥^2 + 𝑥

Resolução:

1º) Achar segunda derivada de 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 𝑥^3 − 4𝑥^2 − 3𝑥 + 1 ⟹ 𝒇′′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐^ − 𝟖𝒙 − 𝟑.

2º) Achar os possíveis pontos de inflexão fazendo 𝑓′′(𝑥) = 0 ⟹ 3𝑥^2 − 8𝑥 − 3 = 0 ⟹ 𝑥 1 = 3, 𝑥 2 = − 1 3

Note com isso que, a reta real fica dividida em três intervalos: ]−∞; − 1 3 [ , ]−^

1 3 ; 3[ e ]3; +∞[

3º) Agora favos estudar o sinal de 𝑓′′ em cada um desses intervalos, tomando um valor de cada intervalo:

Concluímos, então que − 1 3 e 3^ são abscissas do ponto de inflexão de^ 𝑓. Para achar a ordenada do ponto calculamos 𝑓 (− 1 3 ) e 𝑓(3). Sendo 𝑓(𝑥) =^

1 4 𝑥

(^2) + 𝑥, temos:

4 −

3 −

2

• (−

(3)^4 −

(3)^3 −

(3)^2 + 3 =

Logo, os pontos de inflexão, são: 𝑃𝑖 1 (− 1 3 ; −^

145 324 ) 𝑒 𝑃𝑖^2 (3; −^

105 4 )

• (^) −

𝑓′′( 0 )^ ⟹ −

𝑓′′( 4 )^ = 3 ( 4 )^2 − 8 ( 4 )^ − 3 = 48 − 32 − 3 ⟹ +

𝑓′′(− 1 ) = 3 (− 1 )^2 − 8 (− 1 ) − 3 = 3 + 8 − 3 ⟹ + −^ 𝟑

1 3

Gráfico de 𝑓(𝑥)^ =

𝑥^4 −

𝑥^3 −

𝑥^2 + 𝑥

com os pontos de inflexão.

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Embora o sinal da derivada de 𝑓 revele onde o gráfico de 𝑓 é crescente ou decrescente, ele não revela a direção da curvatura do gráfico, todavia, é útil para determinar seu gráfico. Veremos que localizar os intervalos nos quais 𝑓′ é crescente ou decrescente pode determinar onde o gráfico de 𝑓 se curva para cima ou para baixo, propriedade essa que é definida como concavidade.

Sabemos que a parábola 𝑦 = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 , tem concavidade voltada para cima (CVPC) quando 𝑎 > 0 e concavidade voltada para baixo (CVPB) quando 𝑎 < 0. Não existe mudança de concavidade nos gráficos destas funções. Situação diferente acontece em y = sen ( x ) ou y = cos ( x ), onde verificamos essas mudanças.

Sabemos que os pontos de mudança de concavidade são chamados de Pontos de Inflexão. A(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão divide(m) a reta real em intervalos onde a curva tem CVPC ou CVPB.

Seja 𝒇 diferenciável em um intervalo aberto I. O gráfico de f é:

1. Côncavo para cima em I se 𝒇′ **for crescente no intervalo.

2. Côncavo para baixo em I se** 𝒇′ for decrescente no intervalo.

A partir da figura abaixo, é óbvio a seguinte interpretação gráfica da concavidade:

• Uma curva que é côncava para cima fica acima de sua reta tangente.
• Uma curva que é côncava para baixo fica abaixo de sua reta tangente

Este teste visual da concavidade é útil quando o gráfico de uma função é dado. Para determinar a concavidade sem ver o gráfico, é necessário um teste analítico. Para tanto usamos a segunda derivada da mesma forma que usamos a primeira para determinar os intervalos nos quais 𝑓 é crescente ou decrescente.

: Seja 𝑓 uma função cuja segunda derivada exista em um intervalo aberto I.

• Se 𝑓′′(𝑥) > 0 para todos os 𝑥 em I, então 𝑓 é côncava para cima em I. - Se 𝑓′′(𝑥) < 0 para todos os 𝑥 em I, então 𝑓 é côncava para baixo em I.

Assim, para determinar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função tem concavidade para cima ou para baixo devemos: (1) Achar os valores de 𝑥 para os quais 𝑓′′(𝑥) = 0 ou 𝑓′′ não é definida; (2) Escreva os intervalos determinados por esses valores e (2) Teste o sinal de 𝑓′′(𝑥) em cada intervalos do item 2.

𝑃𝑖 𝑃𝑖

𝑃𝑖 𝑃𝑖 𝑃𝑖

𝑃𝑖 𝑃𝑖 𝑃𝑖       

∄𝑃𝑖 ∄𝑃𝑖

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não apresenta assíntotas, nem vertical, nem horizontal, pois é uma função polinomial, não apresenta valores de 𝑥 para os quais a função não exista. Veja:

𝐥𝐢𝐦 𝒙→±∞

(−𝑥^3 − 𝑥^2 − 3𝑥) = 𝐥𝐢𝐦

𝒙→+∞

(−𝑥^3 ) = − ∞ e 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞

(−𝑥^3 ) = + ∞

Investigando se há Assíntota vertical , notamos que a função não está definida para 𝑥 = 2. Então...

∄ lim 𝑥→

) 𝑝𝑜𝑖𝑠, lim 𝑥→2−^

) = +∞ 𝑒 lim 𝑥→2+^

Logo, a Função apresenta Assíntota vertical de equação 𝒙 = 𝟐.

𝐈𝐧𝐯𝐞𝐬𝐭𝐢𝐠𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐬𝐞 𝐡á 𝐀𝐬𝐬í𝐧𝐭𝐨𝐭𝐚 𝐇𝐨𝐫𝐢𝐳𝐨𝐧𝐭𝐚𝐥: lim 𝑥→+∞

) = 1. Analogamente lim 𝑥→−∞

Logo, a Função apresenta Assíntota horizontal de equação 𝒚 = 𝟏.

𝐈𝐧𝐯𝐞𝐬𝐭𝐢𝐠𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐬𝐞 𝐡á 𝐀𝐬𝐬í𝐧𝐭𝐨𝐭𝐚 𝐨𝐛𝐥í𝐪𝐮𝐚: 𝑓(𝑥) =

𝑥^2 − 2𝑥

. Então …

= lim 𝑥→+∞

𝑥^2 − 2𝑥

) = lim 𝑥→+∞

= 0, analogamente para 𝑥 → −∞

Logo, concluímos que a função não apresenta assíntota oblíqua.

Segue o gráfico de 𝑓:

São os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 0. Esses valores de 𝑥 são denominados raízes ou zeros da função e são os pontos onde a curva intercepta o eixo das abscissas (𝑥).

As raízes ou zeros da função nem sempre podem ser determinados pelos métodos convencionais, sendo utilizado, para tanto, softwares gráficos que fornecem os valores das raízes, dentre outros.

𝒇(𝒙) =

𝒙 − 𝟑 𝒙 − 𝟐

Assíntota horizontal

Assíntota

vertical

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São os valores de 𝑦 para os quais 𝑥 = 0. É o termo independente da função.

Para fazer um estudo completo de uma função você pode seguir os passos abaixo:

1º) Determinar o domínio da função.

2º) Achar sua primeira derivada 𝑓′(𝑥)

3º) Achar os números críticos (c) da função fazendo 𝑓′(𝑥) = 0, e os respectivos intervalos determinados por eles.

4º) Testar o sinal da primeira derivada 𝑓′(𝑥), em cada intervalo do 3º passo, colocando-os num quadro de sinais com as raízes encontradas no 3º passo. A partir desse quadro determinamos todos os intervalos de crescimento (+) e/ou decrescimento (−) da função, além dos valores máximos ou mínimos. Os extremantes (pontos de máximos e/ou de mínimos) são obtidos calculando-se o valor numérico da função dada para cada 𝑥 máximo e/ou mínimo obtidos.

5º) Achar a segunda derivada 𝑓′′(𝑥)

6º) Fazer 𝑓′′^ (𝑥) = 0 e calcular sua(s) raiz(es) que serão os possíveis pontos de inflexão da função, os quais determinam o(s) intervalos sobre a reta.

7º) Efetuar o teste do sinal da segunda derivada 𝑓′′(𝑥), tomando um valor de cada intervalo e construindo o quadro de sinais. A partir desse quadro teremos todos os intervalos onde a curva tem concavidade voltada para cima (+) ou voltada para baixo (−) e a definição se as raízes da segunda derivada são ou não pontos de inflexão dependendo se há ou não mudança de sinal na passagem de uma para a outra. Vejamos:

Dada a função 𝑓(𝑥) = −𝑥^3 − 6𝑥^2 − 9𝑥 + 3, vamos determinar: (a) Domínio, (b) intervalos de crescimento e decrescimento, (c) extremantes, (d) pontos de inflexão, (e) concavidade, (g) comportamento no infinito (assíntotas), (b) cortes nos eixos 𝑥 𝑒 𝑦, (h) gráfico.

(Essa questão será feita em sala de aula)

1. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e os extremos da função

𝑎) ℎ(𝑥) = 𝑥^3 − 3𝑥^2 − 24𝑥 + 32 𝑐) 𝑓(𝑥) = (𝑥^2 − 4)2 3⁄

𝑏) 𝑝(𝑥) =

𝑥^4

− 𝑥^3 − 2𝑥^2 + 12𝑥 𝑑) 𝑔(𝑥) =

𝑥^4 + 1

𝑥^2

2. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠:

𝑥^3

− 2𝑥^2 + 4𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥^3 − 5𝑥^2 + 7𝑥 + 8

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COELHO, Paulo M. F. Demonstrações de Integrais Indefinidas. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2012.

HOFFMANN , Laurence D., BRADLEY, Gerald L. Cálculo – Um Curso Moderno e Suas Aplicações. 10 ed.

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HOWARD , Anton; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen, Cálculo – Vol 1 e 2, 8.ed. – Porto Alegre: Bookman, 2007.

IEZZI, Gelson ; MURAKAMI, Carlos ; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de Matemática Elementar – Vol. 8, 5.ed. – São Paulo: Atual, 1993.

LARSON , Ron. Cálculo Aplicado – Curso Rápido. 1. Ed. – São Paulo: Cergage Learning, 2011.

NOVAZZI , Adílson; LORETO , Armando P. Cálculo Básico – Teoria e exercícios. São Paulo: LCTE Editora,