Curso de Matemática: Integrais, Slides de Matemática

Baixe Curso de Matemática: Integrais e outras Slides em PDF para Matemática, somente na Docsity!

A INTEGRALA INTEGRAL

Professor Odimógenes

EXEMPLOEXEMPLO^ Use^ retângulos^ para

estimar^ a^ área^ sob

a

2 parábola y = xde^ x = 0

até^ x = 1.

EXEMPLOEXEMPLO

EXEMPLOEXEMPLO

DEFINIÇÃO:^ a^ área^ A^ da região

S^ que está sob o gráfico de uma função contínua

f^ é o limite das somas das áreas dos retângulos aproximantes:^ [^

]xxfxxf ÁREA^ ÁREA ***xxfA^ ∆+∆+∆=^ ).(...).().(^ n^21 limn∞→^ A altura do^ i-ésimo^ retângulo como sendo o valor de

f *^ em qualquer número xi (ponto amostral) no^ i-ésimo subintervalo^ [x;x].i-1i

Augustin-Louis^ CAUCHY

contribuiu em várias áreas, mas ele é particularmente lembrado porsua dedicação ao^ Rigor Matemático

Jean Baptiste le Rond^ D’ALEMBERT

, décadas antes havia dito que se dera “

mais atenção a aumentar o edifício do que iluminar sua entrada,a^ elevá-lo^ mais^ alto^ do

que^ fortalecer^ suas UM POUCO DA^ HIST^ UM POUCO DAHIST fundações”.

ÓRIAÓRIA

Georg Friedrich Bernhard

RIEMANN (1826-1866)

recebeu^ seu^ doutorado

sob^ a^ orientação^ do legendário Gauss na Universidade de Göttingen

e lá permaneceu para lecionar. Gauss que não tinha ohábito de elogiar outros matemáticos, referiu-se aRiemann^ como^ “uma^

mente^ criativa,^ ativa, verdadeiramente^ matemática,

e^ de^ uma^ imaginação gloriosamente^ fértil”.^ A^ definição

de^ integral^ que UM POUCO DA^ HIST^ UM POUCO DAHIST usamos deve-se a Riemann.

ÓRIAÓRIA

Riemann fez grandes contribuições para a teoria defunções^ de^ uma^ variável

complexa,^ física, matemática, teoria dos números e fundamentos degeometria. O conceito de espaço amplo de

Riemann e sua geometria resultaram ser a colocação correta,50 anos mais tarde, para a teoria da relatividadegeral de^ Albert EINSTEIN

. Riemann que nunca UM POUCO DA^ HIST^ UM POUCO DAHIST teve boa saúde, morreu de tuberculose aos 39 anos.Einstein em palavras proferidas na conferência deKyoto em 1922:

ÓRIAÓRIA

UM POUCO DA^ HISTUM POUCO DAHIST

ÓRIAÓRIA

RiemannRiemannRiemannRiemann^ RiemannRiemannRiemannRiemannCauchyCauchyCauchyCauchy CauchyCauchyCauchyCauchy WeierstrassWeierstrassWeierstrassWeierstrass WeierstrassWeierstrassWeierstrassWeierstrass

EinsteinEinsteinEinsteinEinstein^ EinsteinEinsteinEinsteinEinstein

Se^ f^ é uma função contínua definida por

a^ ≤x^ ≤b, dividimos o intervalo^ [a;b]

em n subintervalos de comprimentos iguais (^ ∆x). Sejam a=

x, x, x,..., x=b^012 n os extremos desses subintervalos e vamos escolheros^ pontos^ amostrais^ x^1

,^ x,^ x,...,^ x^ nesses^23 n subintervalos de tal forma que x

• está no i-ésimoi subintervalo [x; x]. Então a integral definida dei-1i

f,

INTEGRAL^ INTEGRALno intervalo^ [a;b], é:

(DEFINIÇÃO)(DEFINIÇÃO)^ n^ nbb*^ ∆=xxfdxxf )()( ∆=xxfdxxf )()( ∑i∑ilimlim∫ (^) ∫ (^) a (^) a ∞→n∞→n=i^1 =i^1

Se^ f^ assumir valores positivos e negativos, então asoma^ de^ Riemann^ é^

a^ soma^ das^ áreas^ dos SOMAS DE RIEMANN^ SOMAS DE RIEMANNretângulos que estão acima do eixo x e o negativodas áreas que estão abaixo do eixo x.

1. Expresse^

como^ uma EXEMPLOS^ EXEMPLOS^ ∑∞→= integral no intervalo [0;π]. 2) Calcule as integrais a seguir interpretando cadauma em termos de áreas.a) b) n^3 ∆⋅+^ xsenxxx][iiilimni^1 dxx 12 −^1 ∫ 0 3 dxx−)^1 (∫ 0