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ANÁLISE DE PLACAS COM
VARIAÇÃO DE ESPESSURA ATRAVÉS DO
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES
Dissertação apresentada à Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Engenharia de Estruturas.
ORIENTADOR : Prof. Tit. Wilson Sergio Venturini
São Carlos 1997
“..., nothing that has once been discovered
ever loses its value or has to be discarded; ...”
LOVE, A.E.H.
AGRADECIMENTOS
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Wilson Sergio Venturini, pela extraordinária orientação e paciência dedicadas a este trabalho, sem as quais seria difícil sua finalização. Agradeço-lhe também por me ensinar que as coisas difíceis podem se tornar fáceis. Aos professores do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos/USP, em especial ao Prof. Dr. João Batista de Paiva. Aos professores do Departamento de Engenharia Civil da UFPE, em especial ao Prof. Dr. Sílvio Romero Frej da Fonseca Lima, pela orientação durante a graduação e pela amizade. Aos meus eternos professores: meus pais. A Fernando, Anna, Mauro, Andréa, Gustavo, Débora e Carol, pelo sangue que nos une e por me apoiarem quando precisei, apesar da distância que nos separa. Ao amigo e colega Eng. Rodrigo de Carvalho Soares pelo companheirismo e amizade durante a graduação e o mestrado. Aos colegas do departamento em especial a: Enga.^ Ana Maria Brandão pela amizade e pelo apoio técnico dispensado nesta dissertação; Eng. Alex de Sousa e Eng. Osvaldo de Holanda pela hospitalidade. Aos funcionários do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos, especialmente a Rosi Aparecida Jordão Rodrigues, Maria Nadir Minatel e Rui Roberto Casale. Aos funcionários da Biblioteca Central, em especial a Milna Aiello, por fazer mais pelos alunos. Ao CNPq e à FAPESP que possibilitaram, através de bolsas de estudos, o desenvolvimento desta dissertação.
SUMÁRIO v
LISTA DE FIGURAS (^) viii
- 1 APRESENTAÇÃO............................................................................................. SUMÁRIO
- 1.1 Considerações Gerais........................................................................................
- 1.2 Revisão Bibliográfica
- 1.3 Objetivos..........................................................................................................
- 1.4 Conteúdo do Trabalho
- 2 RELAÇÕES BÁSICAS: TEORIA DA ELASTICIDADE E PLACAS
- 2.1 Introdução
- 2.2 Relação Deformação-Deslocamento..............................................................
- 2.3 Lei Constitutiva
- 2.4 Condições de Equilíbrio
- 2.5 Forças de Superfície
- 2.6 Elementos Estruturais
- 2.7 Placas
- 2.8 Hipóteses e Relações Básicas da Teoria de Kirchhoff
- 2.8.1 Campo de Deslocamento.........................................................................
- 2.8.2 Campo de Deformação
- 2.8.3 Campo de Tensão
- 2.8.4 Esforços de Placas
- 2.8.5 Equação Diferencial de Placas
- 2.8.6 Esforço Cortante Equivalente..................................................................
- 2.9 Condições de Contorno..................................................................................
- 2.10 Placa com Espessura Variável
- 2.11 Esforços Segundo um Sistema Genérico de Coordenadas SUMÁRIO vi
- 2.12 Equações de Placas em Coordenadas Polares
- 2.13 Soluções Fundamentais de Placas
- 3 EQUAÇÕES INTEGRAIS PARA FLEXÃO DE PLACA..................................
- 3.1 Introdução - Constante........................................................................................................ 3.2 Equação Integral de um Ponto do Domínio da Placa com Espessura
- Variável................................................................................................................... 3.3 Equação Integral de um Ponto do Domínio da Placa de Espessura
- 3.4 Equação Integral para um Ponto do Contorno da Placa
- 4 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS DO MEC PARA PLACA DE KIRCHHOFF
- 4.1 Introdução
- 4.2 Discretização do Contorno
- 4.3 Aproximação das Variáveis...........................................................................
- 4.3.1 Aproximação Constante
- 4.3.2 Aproximação Linear Contínua
- 4.3.3 Aproximação Linear Descontínua...........................................................
- 4.3.4 Aproximação Linear Mista......................................................................
- 4.3.5 Aproximação Quadrática Contínua
- 4.3.6 Aproximação Quadrática Descontínua....................................................
- 4.3.7 Aproximação Quadrática Mista...............................................................
- 4.3.8 Aproximação Adotada.............................................................................
- 4.4 Integrais de Domínio
- 4.4.1 Integrais de Domínio para o Carregamento
- 4.4.2 Integrais de Domínio sobre as Células
- 4.5 Definição das Posições do Ponto de Colocação
- 4.6 Transformação das Equações Integrais em Equações Algébricas...............
- 4.7 Propriedades da Matriz H~
- 4.8 Deslocamentos e Esforços para Pontos Internos
- 4.9 Integração sobre os Elementos
- 4.9.1 Integração Numérica
- 4.9.2 Integração Quase Singular..................................................................... SUMÁRIO vii
- 4.9.3 Integração Singular................................................................................
- 4.10 Representações Algébricas Alternativas
- 5 RESULTADOS E CONCLUSÃO
- 5.1 Aplicação Numérica
- 5.1.1 Exemplo 1..............................................................................................
- 5.1.2 Exemplo 2..............................................................................................
- 5.2 Conclusão
- BIBLIOGRAFIA...................................................................................................
- FIGURA 2.1 - Deformação de um Sólido Tridimensional LISTA DE FIGURA
- FIGURA 2.2 - Campo de Tensões em Três Dimensões.
- FIGURA 2.3 - Tensões e Forças de Superfície num Tetraedro Infinitesimal............
- FIGURA 2.4 - Co-senos Diretores do Vetor ON......................................................
- FIGURA 2.5 - Tensões e Forças de Superfície no Caso Bidimensional.
- FIGURA 2.6 - Exemplo de Placa...............................................................................
- FIGURA 2.7 - Exemplo de Chapa.
- FIGURA 2.8 - Exemplo de Casca..............................................................................
- FIGURA 2.9 - Exemplo de Sapata.............................................................................
- FIGURA 2.10 - Placa Delgada de Espessura t...........................................................
- FIGURA 2.11 - Plano Médio Indeformado da Placa.................................................
- FIGURA 2.12 - Plano Médio Deformado Conforme Teoria de Kirchhoff...............
- FIGURA 2.13 - Plano Médio Deformado Conforme Teoria de Reissner-Mindlin.
- FIGURA 2.14 - Deslocamento Positivo de um Ponto Qualquer.
- FIGURA 2.15 - Placa Antes e Após o Carregamento................................................ LISTA DE FIGURAS ix
- FIGURA 2.16 - Distribuição de Tensões..................................................................
- FIGURA 2.17 - Esforços Atuantes em um Elemento Infinitesimal de Placa.
- FIGURA 2.18 - Esforços em um Elemento Diferencial ( dx^1 dx^2 ) de Placa.
- FIGURA 2.19 - Condições nas bordas.......................................................................
- FIGURA 2.20 - Reação de Canto.
- FIGURA 2.21 - Placa com Condições de Contorno.
- FIGURA 2.22 - Variação Linear da Rigidez.
- FIGURA 2.22 - Sistemas de Coordenadas ( x 1 ,x 2 ) e ( n,s )
- FIGURA 2.24 - Tensões e Esforços no Elemento “ abc ”...........................................
- FIGURA 2.25 - Momento Volvente na Borda.........................................................
- FIGURA 2.26 - Sistema de Coordenadas Cartesianas e Polares.
- FIGURA 2.27 - Vetores n e s no Ponto P do Contorno da Placa.............................
- FIGURA 2.28 - Resposta em “ p ” Devido a Distribuição Delta de Dirac δ ( q p, )
- FIGURA 2.29 - Função Delta de Dirac.
- FIGURA 2.30 - Forças Atuantes no Círculo de Raio r e Centro q
- FIGURA 2.31 - Pontos de Carregamento “q” e de Resposta “p”.
- FIGURA 2.32 - Sistema de Coordenadas (n,s) e (m,u).
- FIGURA 3.1 - Placa Finita Contida em uma Placa Infinita, Ω ∈ Ω∞
- FIGURA 3.2 - Estados de Carregamentos Virtual g* e Real g
- FIGURA 3.3 - Sistema de Coordenadas ( n,s ), Normal e Tangente ao Contorno. LISTA DE FIGURAS x
- FIGURA 3.4 - Momentos Volventes em um Canto i da Placa.
- FIGURA 3.5 - Contorno Circular Acrescentado a um Ponto Q
- FIGURA 4.1 - Discretização do Contorno da Placa.
- FIGURA 4.2 - Geometria dos Elementos de Contorno.
- FIGURA 4.3 - Elemento de Contorno Linear..........................................................
- FIGURA 4.4 - Aproximação Constantes.
- FIGURA 4.5 - Aproximação Linear Contínua.........................................................
- Variáveis. FIGURA 4.6 - Funções de Forma para Aproximação Linear Contínua das
- FIGURA 4.7 - Descontinuidade do Contorno de uma Placa.
- FIGURA 4.8 - Função de Forma Linear Descontínua para as Variáveis.
- FIGURA 4.9 - Função de Forma Linear Mista para as Variáveis.
- FIGURA 4.10 - Aproximação Quadrática Contínua das Variáveis no Contorno.....
- Variáveis. FIGURA 4.11 - Funções de Forma para Aproximação Quadrática Contínua das
- FIGURA 4.12 - Funções Interpoladoras Quadráticas Descontínuas.
- FIGURA 4.13 - Nós Duplos.....................................................................................
- FIGURA 4.14 - Ponto de Colocação.
- FIGURA 4.15 - Placa com Carregamento Distribuído.
- FIGURA 4.16 - Divisão do Domínio em Células Triangulares...............................
- FIGURA 4.17 - Região Carregada Ω g LISTA DE FIGURAS xi
- FIGURA 4.18 - Discretização do Contorno do Carregamento..............................
- “ i ”. FIGURA 4.19 - Definição do Sistema de Coordenadas de uma Células Triangular
- ( r, θ ). FIGURA 4.20 - Célula Interna e os Sistemas de Coordenadas ( x 1 , x 2 ), ( ξ 1 , ξ 2 ) e
- FIGURA 4.21 - Posições do Ponto de Colocação.
- FIGURA 4.22 - Coeficiente de Posicionamento a
- FIGURA 4.23 - Recuo do Nó Duplo.
- FIGURA 4.24 - Função Quadrática no Elemento de Integração
- FIGURA 4.25 - Movimento de Corpo Rígido - Translação
- FIGURA 4.26 - Movimento de Corpo Rígido - Rotação.......................................
- FIGURA 4.27 - Funções de Forma Global φ n
- FIGURA 4.28 - Coordenadas Adimensionais η e ξ
- FIGURA 4.29 - Elemento de Contorno Linear Descontínuo.................................
- FIGURA 4.30 - Variação Linear da Rigidez no Contorno da Placa......................
- FIGURA 4.31 - Posição do Ponto Singular ξ s
- FIGURA 4.31 - Função de Forma φ
- FIGURA 4.32 - Função de Forma φ
- FIGURA 4.33 - Função de Forma φ
LISTA DE TABELAS (^) xiii
LISTA DE TABELAS
TABELA 5.1 - Discretização Via Elemento de Contorno - Placa de Espessura Constante.......................
TABELA 5.2 - Discretização Via Elemento Finito...............................................
TABELA 5.1 - Discretização Via Elemento de Contorno - Placa de Espessura Constante.......................
LISTA DE SÍMBOLOS (^) xiv
LISTA DE SÍMBOLOS
∇^2 : operador diferencial escalar, ∇^2 = + +
2 12
2 22
2 32
x x ∂ x Γ : coordenada que percorre o contorno; Γ 1 , Γ 2 : coordenadas dos limites do contorno no qual se realiza a integração; Γ (^) ∞ : contorno infinito; Γ j : elemento de contorno; Ω : coordenada de domínio; Ω g : área do carregamento distribuído; Ω (^) ε : região do domínio; β (^) c : angulosidade do canto da placa; Ω (^) ∞ : domínio infinito; δ (^) ij : delta de Kronecker; δ ( ,q p ) (^) : delta de Dirac; λ μ , : constantes de Lamé; ν : coeficiente de Poisson; ξ : ponto onde se aplica a equação integral; φ ~
T (^) : matriz que contém as funções de forma;
σ (^) ij : tensor das tensões; b (^) i : forças volumétricas; C (^) ijk λ : tensor de quarta ordem que contém as constantes elásticas;
LISTA DE SÍMBOLOS (^) xvi
r : distância de onde se aplicou o carregamento unitário ao ponto onde se deseja obter a força ou deslocamento na solução fundamental; r, θ : sistema de coordenadas polares; R : raio de curvatura do contorno no ponto P; R (^) c : reação de canto; *R c^ : valor de R (^) c na solução fundamental;
s : vetor unitário tangente ao contorno no plano da placa; T~ : matriz de transformação de coordenadas; u 1 , u 2 , u 3 : componentes de deslocamentos correspondente ao sistema cartesiano x,y,z; u~ : vetor dos deslocamentos internos ao elemento; U~ : vetor dos deslocamentos em todos os nós; ε (^) ij : representa as componentes de deformação no sistema global; Vn : cortante equivalente por unidade de comprimento; V (^) n*^ : valor de Vn na solução fundamental;
w : deslocamento na direção do eixo x 3 ;
w c : deslocamento do canto da placa; w *****^ : valor de w na solução fundamental; _w_* c : deslocamento fundamental do canto i da placa; ∂ w ∂ n : rotação normal ao contorno ∂ w ∂ s : rotação tangencial ao contorno; ∂ w ∂ x 1 : rotação contida na direção do eixo x 1 ; ∂ w ∂ x 2 : rotação contida na direção do eixo x 2 ; ∂ _w_*^ ∂ n : valor de ∂ w ∂ n na solução fundamental; w , (^) ij : curvaturas; w *, ij : valor de w , (^) ij na solução fundamental; x 1 , x 2 , x 3 : sistema de coordenadas cartesianas;
LISTA DE SÍMBOLOS (^) xvi i
~^ x : vetor das coordenadas do nó do elemento; X~ N : vetor de coordenadas do nó do elemento;
RESUMO (^) xix
RESUMO
CHAVES, E.W.V. (1997). Análise de placas com variação de espessura através do método dos elementos de contorno. São Carlos. 171p. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
Este trabalho trata da formulação do Método dos Elementos de Contorno para o problema de flexão de placas através da teoria clássica de Kirchhoff. Ênfase especial é dada a placas com variação de espessura uma vez que este tema é muito pouco abordado. O estudo de flexão de placas com variação de espessura é exercica em vários campos, tais como engenharia civil, engenharia aeroespacial e projeto de máquinas. Adotou-se uma variação linear da rigidez, resultando nas equações integrais de deslocamentos com termos de domínios, que serão tratados por discretização do domínio em células.
Palavras-chaves: Placas - elementos de contorno - rigidez variável.
ABSTRACT (^) xx
ABSTRACT
CHAVES, E.W.V. (1997). Análise de placas, considerando variação de espessura, através do método dos elementos de contorno. São Carlos,
- 271p. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
This work deals with the formulation of the Boundary Element Method applied to plate bending problem using the Kirchhoff’s theories. Special emphasis is given to plates with varying thickness since this subject is not much tackled. The study of the bending of plates of variable thickness is pursued in various fields, such as civil engineering, aerospace engineering, and the design of machines. It was adopted linearly varying rigidity, giving integral equations of displacements with domain terms, that will be treated by domain discretization into cells.
Keywords: Plate bending - boundary elements - varying thickness.
